Phasengang

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Der Phasengang, auch Phasenfrequenzgang oder Phasenmaß (englisch phase response), wird meistens im Zusammenhang mit dem Amplitudengang oder Amplitudenfrequenzgang betrachtet.

Beispiel eines Tiefpass-Phasengangs

Aus der Phasenverschiebung lässt sich über eine Ableitung nach der Frequenz die Gruppenlaufzeit errechnen, die anschaulich gesprochen die frequenzabhängige Signalverzögerung beschreibt.

Amplituden- und Phasengang zeigen in der Darstellung der Frequenzebene in einem Signal oder frequenzsensitiven System die Abhängigkeit der Amplitude und der Phase von der Frequenz (Amplituden- und Phasendiagramm).

Beide Größen als Graph dargestellt, bezeichnet man auch als Amplitudengang (Betragsfrequenzgang) bzw. Phasengang (Phasenfrequenzgang), in Kombination auch Bode-Diagramm genannt. Werden beide Informationen zu einer komplexen Funktion zusammengefasst, spricht man auch vom komplexen Frequenzgang.

Messtechnische Einschränkungen[Bearbeiten]

In der Messtechnik wird zum Aufnehmen des Phasengang üblicherweise ein kontinuierliches Sinussignal verwendet, was dazu führt, dass Phasenverschiebungen nur im Bereich von ±180° bzw. ±π gemessen werden können. Aus einem messtechnisch aufgenommenen Phasengang lässt sich daher nur bedingt die Gruppenlaufzeit ableiten.

Theorie[Bearbeiten]

Zunächst trennt man die Übertragungsfunktion eines kausalen, linearen, zeitinvarianten Systems nach Real- und Imaginärteil auf:


\mathcal {}H(\mathrm{j}\omega)=M(\omega)+\mathrm{j}N(\omega)

In einem zweiten Schritt benötigt man das Übertragungsmaß


\mathcal {}\Gamma(\omega) = A(\omega)+\mathrm{j}B(\omega)
,

das mit der Übertragungsfunktion durch folgende Gleichung zusammenhängt:



H(j\omega) = e^{-\Gamma} = e^{-(A(\omega)+\mathrm{j}B(\omega))} = e^{-A(\omega)}\cdot e^{-\mathrm{j}B(\omega)}


Der zweite Faktor, \mathcal {}e^{-jB(\omega)}, ist hierbei der Phasenterm, dementsprechend entspricht das \mathcal {}B(\omega) der Phase in Abhängigkeit von der Frequenz und stellt den Phasengang dar.

Führt man nun die Phase \mathcal {}B(\omega) auf die ursprüngliche Übertragungsfunktion zurück, ergibt sich


B(\omega) = -\arctan{\frac{N(\omega)}{M(\omega)}}

Die Nicht-Eindeutigkeit der Arkustangens-Funktion führt zu den in den oberen Abschnitten beschriebenen Einschränkungen (Wertebereich nur \mathcal {}-\pi bis \mathcal {}\pi).

Problematisch sind diejenigen Stellen, an denen die Übertragungsfunktion \mathcal {}H(j\omega) Null- oder Polstellen aufweist, da sich durch

\mathcal {}\Gamma = - \ln{H(\mathrm{j}\omega)}

für \mathcal {}\Gamma dort dann Singularitäten ergeben.

Um die Phase nun bestimmen zu können, ist es sinnvoll, vom Fourier-Bereich in den Laplace-Bereich (s-Ebene) zu wechseln (vgl. Laplace-Transformation), also nicht nur die imaginäre Achse, sondern die komplette komplexe Frequenzebene zu betrachten. Eine erste Forderung, die benötigt wird, um den Phasenverlauf bestimmen zu können ist


\mathcal {}\Gamma(0) = 0

Damit ist ein Startwert festgelegt, um die Nicht-Eindeutigkeit der Phase (\mathcal {}\pm 2\pi) zu umgehen. Um den Phasenverlauf nun tatsächlich bestimmen zu können, läuft man in der s-Ebene entlang der imaginären Achse ausgehend vom Ursprung zu den positiven Frequenzen und vom Ursprung aus in Richtung der negativen Frequenzen und umgeht dabei die Pol- und Nullstellen durch halbkreisförmige „Einbuchtungen“ in die rechte Halbebene.

Erklärung anhand eines Beispiels: n-fache Nullstelle von \mathcal {}H(s) bei \mathcal {}s = \mathrm{j}\omega_0.

Taylor-Entwicklung in der Nähe der Nullstelle, Abbruch nach dem ersten Glied:


\mathcal {}H(s) = (s-\mathrm{j}\omega_0)^n H^{(n)}

wobei \mathcal {}H^{(n)} den Wert der n-ten Ableitung an der Stelle \mathcal {}\mathrm{j}\omega_0 meint.


Halbkreisförmige Einbuchtung: Radius \mathcal {}\rho, Winkel \mathcal {}\theta = [-\tfrac{\pi}{2} \ldots \tfrac{\pi}{2}]


\mathcal {}s = \mathrm{j}\omega_0+\rho e^{\mathrm{j}\theta}

folgt:


\mathcal {}H(s)(s-\mathrm{j}\omega_0)^n H^{(n)} = (\mathrm{j}\omega_0+\rho e^{\mathrm{j}\theta}-\mathrm{j}\omega_0)^n H^{(n)} = \rho^nH^{(n)}e^{\mathrm{j}n\theta}

und demnach:


\mathcal {}\Gamma(\omega) = -\ln{H(s)}=-\ln(\rho^nH^{(n)}e^{\mathrm{j}n\theta})=-n\ln{\rho}-\ln {H^{(n)}}-\mathrm{j}n\theta

für die Phase gilt nun:


\mathcal {}B(\omega) = \arg(H^{(n)})-n\theta


Da sich \mathcal {}\theta entlang dieser Einbuchtung um \mathcal {}\pi ändert, ändert sich die Phase insgesamt um \mathcal {}-n\cdot \pi.

Bei einer Polstelle ergeben sich die umgekehrten Vorzeichenverhältnisse, die Phase nimmt um \mathcal {}n\cdot \pi zu.

Literatur[Bearbeiten]

  • Alfred Fettweis: Elemente nachrichtentechnischer Systeme. 2. Auflage. J.Schlembach Fachverlag, Wilburgstetten 2004, ISBN 3-935340-41-9.
  • Gert Hagmann: Grundlagen der Elektrotechnik. 6. Auflage. AULA-Verlag GmbH, Wiesbaden 1997, ISBN 3-89104-614-6.
  • Curt Rint: Handbuch für Hochfrequenz- und Elektro- Techniker Band 2. 13. Auflage. Hüthig und Pflaum Verlag GmbH, Heidelberg 1981, ISBN 3-7785-0699-4.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]