Carmichael-Funktion

Die Carmichael-Funktion aus dem Bereich der Mathematik ist eine zahlentheoretische Funktion, die zu jeder natürlichen Zahl n das kleinste $m=:\lambda (n)$ bestimmt, so dass:

$a^{m}\equiv 1\mod n$

für jedes $a$ gilt, das teilerfremd zu n ist. In gruppentheoretischer Sprechweise ist $\lambda (n)$ der Gruppenexponent der Restklassengruppe $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }$.

Die Carmichael-Funktion geht auf den Mathematiker Robert Daniel Carmichael zurück. Eine Bedeutung spielt die Funktion bei Primzahlen und fermatschen Pseudoprimzahlen.

Berechnung

Die Carmichael-Funktion lässt sich nach folgendem Schema berechnen:

${\begin{aligned}\lambda (1)&=1\\\lambda (2)&=1\\\lambda (4)&=2\\\lambda (2^{k})&=2^{k-2}\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ k>2\\\lambda (p^{k})&=p^{k-1}\cdot (p-1)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \ p\geq 3\ \mathrm {prim} ,k>0\\\lambda (p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdot \cdot \cdot p_{s}^{k_{s}})&=\operatorname {kgV} \{\lambda (p_{1}^{k_{1}}),\lambda (p_{2}^{k_{2}}),...,\lambda (p_{s}^{k_{s}})\}\end{aligned}}$

Dabei stehen die $p_{i}$ für paarweise verschiedene Primzahlen und die $k_{i}$ für positive ganze Zahlen.

Die folgende Formel kommt zum selben Ergebnis:

Sei $m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdot \cdot \cdot p_{s}^{k_{s}}$ die Primfaktorzerlegung von $m\in \mathbb {N}$ (mit $p_{1}=2$, falls $m$ gerade):

• $\lambda (m)=\operatorname {kgV} \{\varphi (p_{1}^{k_{1}}),\varphi (p_{2}^{k_{2}}),...,\varphi (p_{s}^{k_{s}})\}$ falls $m\not \equiv 0\mod 8$
• $\lambda (m)=\operatorname {kgV} \{\varphi (p_{1}^{k_{1}})/2,\varphi (p_{2}^{k_{2}}),...,\varphi (p_{s}^{k_{s}})\}$ falls $m\equiv 0\mod 8$

Dabei bezeichnet $\varphi (x)$ die Eulersche φ-Funktion. Für Potenzen ungerader Primzahlen $p$ gilt $\varphi (p^{k})=\lambda (p^{k})$

Beispiel

$\lambda (15)=\lambda (3\cdot 5)=\operatorname {kgV} \{\varphi (3),\varphi (5)\}=\operatorname {kgV} \{2,4\}=4$

$a^{4}\equiv 1\mod 15$ gilt für alle a, die teilerfremd zur Zahl 15 sind.

Die Carmichael-Funktion und die Carmichael-Zahl

Da die Carmichael-Funktion zu jeder natürlichen Zahl $n\$ das kleinste $m=\lambda (n)$ bestimmt, so dass $a^{m}\equiv 1\mod n$ für jedes $a\$ gilt, das teilerfremd zu $n\$ ist, und $c-1\$ zu jeder Carmichael-Zahl $c\$ durch $m=\lambda (c)$ teilbar ist, folgt aus:

$a^{\lambda (c)}\equiv 1\mod c$

auch

$a^{c-1}\equiv 1\mod c$

Zu jeder Carmichael-Zahl $c\$ gibt es ein $d\$, so dass für jedes $a\$ gilt $a^{c-1}=a^{\lambda (c)\cdot d}$. Man nehme $d:={\tfrac {c-1}{\lambda (c)}}$.

Die Carmichael-Funktion und die eulersche φ-Funktion

Für die Zahlen Eins, Zwei, Vier, für jede ungerade Primzahlpotenz und für alle Doppelten von ungeraden Primzahlpotenzen sind die Carmichael-Funktion und die Eulersche φ-Funktion identisch. Genau dann, wenn $\lambda (n)=\varphi (n)$, existieren auch Primitivwurzeln modulo $n$. Im Allgemeinen unterscheiden sich beide Funktionen; $\lambda (n)$ ist jedoch stets ein Teiler von $\varphi (n)$.

• Eulersche φ-Funktion:

$\varphi (105)=\varphi (3\cdot 5\cdot 7)=\varphi (3)\cdot \varphi (5)\cdot \varphi (7)=2\cdot 4\cdot 6=48$

• Carmichael-Funktion:

$\lambda (105)=\lambda (3\cdot 5\cdot 7)=\operatorname {kgV} \{\varphi (3),\varphi (5),\varphi (7)\}=\operatorname {kgV} \{2,4,6\}=12$