Gruppenexponent

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Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem Gruppenexponent  \operatorname{Exp}(G) einer Gruppe (G, \cdot, e) die kleinste natürliche Zahl n, für die g^n=e (Potenz eines Gruppenelements)  \forall g\in G gilt.[1] Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, G habe Exponent \infty (sie muss dann auch unendliche Ordnung haben).

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Nach dem Satz von Lagrange ist der Gruppenexponent für eine endliche Gruppe ein Teiler der Gruppenordnung und somit insbesondere endlich.
  • In einer zyklischen Gruppe stimmt der Gruppenexponent mit der Gruppenordnung überein.
  • Die Gruppenordnung stimmt genau dann mit dem Gruppenexponent überein, wenn alle Sylowgruppen der Gruppe zyklisch sind. [2]
  • Der Gruppenexponent ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Ordnung aller Gruppenelemente.
  • Der Gruppenexponent einer jeden Untergruppe ist ein Teiler des Exponenten der Gruppe.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Für Restklassengruppen (\Z /n\Z)^\times erhält man den Gruppenexponenten durch die Carmichael-Funktion.
  • Der Gruppenexponent von  \big(\Z/p\Z\big)^* für eine beliebige Primzahl  p ist gleich der Gruppenordnung  p-1 .
  • Der Gruppenexponent von  \big(\Z/8\Z\big)^* ist 2 (vergleiche: Die Gruppenordnung ist 4).
  • Der Körper  \mathbb{F}_q mit  q=p^k Elementen aufgefasst als additive Gruppe hat Gruppenordnung  q und Gruppenexponent  p (vergleiche Charakteristik eines Körpers).
  • Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw. der Polynomring  \mathbb{F}_p [X] und der algebraische Abschluss von  \mathbb{F}_p , jeweils (wegen der Primzahlcharakteristik  p ) in der additiven Verknüpfung.
  • Ein jedes Element  m/n + \Z der (unendlichen) Torsionsgruppe  \Q/\Z hat die endliche Ordnung n, wenn n>0 und m und n teilerfremd sind. Da die Elementordnungen aber nicht beschränkt sind, ist  \operatorname{Exp}(\Q/\Z) = \infty.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Wikiversity Wikiversity. Aufgerufen am 13. August 2012
  2. Matroids Matheplanet Matroids Matheplanet. Beitrag von Gockel. Aufgerufen am 13. August 2012