Gruppenexponent

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Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem Gruppenexponent  \operatorname{Exp}(G) einer Gruppe (G, \cdot, e) die kleinste natürliche Zahl n, für die g^n=e (Potenz eines Gruppenelements)  \forall g\in G gilt.[1] Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, G habe Exponent \infty (sie muss dann auch unendliche Ordnung haben).

Die Existenz des (endlichen) Gruppenexponenten einer Gruppe endlicher Ordnung sichert der Satz von Lagrange.

Zur Bestimmung des Gruppenexponenten der Restklassengruppen (\Z /n\Z)^\times dient die Carmichael-Funktion.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Beispiele[Bearbeiten]

  • Der Gruppenexponent von  \big(\Z/p\Z\big)^* für eine beliebige Primzahl  p ist gleich der Gruppenordnung  p-1 .
  • Der Gruppenexponent von  \big(\Z/8\Z\big)^* ist 2 (vergleiche: Die Gruppenordnung ist 4).
  • Der Körper  \mathbb{F}_q mit  q=p^k Elementen aufgefasst als additive Gruppe hat Gruppenordnung  q und Gruppenexponent  p (vergleiche Charakteristik eines Körpers).
  • Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw. der Polynomring  \mathbb{F}_p [X] und der algebraische Abschluss von  \mathbb{F}_p , jeweils (wegen der Primzahlcharakteristik  p ) in der additiven Verknüpfung.
  • Ein jedes Element  m/n + \Z der (unendlichen) Torsionsgruppe  \Q/\Z hat die endliche Ordnung n, wenn n>0 und m und n teilerfremd sind. Da die Elementordnungen aber nicht beschränkt sind, ist  \operatorname{Exp}(\Q/\Z) = \infty.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Wikiversity Wikiversity. Aufgerufen am 13. August 2012
  2. Matroids Matheplanet Matroids Matheplanet. Beitrag von Gockel. Aufgerufen am 13. August 2012