Eulersche Phi-Funktion

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Die ersten tausend Werte der Funktion

Die eulersche Phi-Funktion (andere Schreibweise: Eulersche φ-Funktion, auch eulersche Funktion genannt) ist eine zahlentheoretische Funktion. Sie gibt für jede natürliche Zahl n an, wie viele zu n teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als n sind:

\varphi(n) \; := \; \Big| \{a\in\N \, |\, 1 \le a \le n \and \operatorname{ggT}(a,n) = 1 \} \Big|

Dabei bezeichnet \operatorname{ggT}(a,n) den größten gemeinsamen Teiler von a und n. Außerdem wird hier und im ganzen weiteren Artikel unter der Menge \N der natürlichen Zahlen die Menge der positiven ganzen Zahlen verstanden, sodass also stets 0\notin\N gilt.

Die Phi-Funktion ist benannt nach Leonhard Euler.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die Zahl 6 ist zu genau zwei der sechs Zahlen von 1 bis 6 teilerfremd (nämlich zu 1 und zu 5), also ist \!\ \varphi(6) = 2.
  • Die Zahl 13 ist als Primzahl zu jeder der zwölf Zahlen von 1 bis 12 teilerfremd (aber natürlich nicht zu 13), also ist \!\ \varphi(13) = 12.

Die ersten 99 Werte der Phi-Funktion lauten:

\varphi(n) +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+   1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60

Eigenschaften[Bearbeiten]

Multiplikative Funktion[Bearbeiten]

Die Phi-Funktion ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, sodass für teilerfremde Zahlen m und n

\varphi (m \cdot n) = \varphi (m) \cdot \varphi (n)

gilt. Ein Beispiel dazu:

\varphi(18) = \varphi(2)\cdot\varphi(9) = 1\cdot 6 = 6

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Funktion \varphi\, ordnet jeder natürlichen Zahl n die Anzahl \varphi(n)\, der Einheiten im Restklassenring \Bbb{Z}/n\Bbb{Z} zu, also die Ordnung der primen Restklassengruppe.

Denn ist \overline{a}\in\Bbb{Z}/n\Bbb{Z} eine Einheit, also \overline{a}\in(\Bbb{Z}/n\Bbb{Z})^*, so gibt es ein \overline{b}\in\Bbb{Z}/n\Bbb{Z} mit \overline{a}\cdot\overline{b}=\overline{1}, was äquivalent zu ab\equiv 1 \, \mathrm{mod} \, n, also zur Existenz einer ganzen Zahl x mit ab+nx=1\, ist. Nach dem Lemma von Bézout ist dies äquivalent zur Teilerfremdheit von a\, und n.

\varphi(n) ist für n>2 stets eine gerade Zahl.

Ist a_n die Anzahl der Elemente im Bild \mathrm{im}(\varphi), die nicht größer als n sind, dann gilt \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}=0.

Das Bild der Phi-Funktion besitzt also die natürliche Dichte 0.

Erzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die Dirichlet-erzeugende Funktion der Phi-Funktion hängt mit der riemannschen Zetafunktion \zeta zusammen:

 \sum_{n=1}^\infty \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}

Berechnung[Bearbeiten]

Primzahlen[Bearbeiten]

Da eine Primzahl p nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, ist sie zu den Zahlen 1 bis p - 1 teilerfremd. Weil sie größer als 1 ist, ist sie außerdem nicht zu sich selbst teilerfremd. Es gilt daher

\varphi(p) = p-1.

Potenz von Primzahlen[Bearbeiten]

Eine Potenz p^k mit einer Primzahl p als Basis und einer natürlichen Zahl k als Exponent hat nur den einen Primfaktor p. Daher hat p^k nur mit Vielfachen von p einen von 1 verschiedenen gemeinsamen Teiler. Im Bereich von 1 bis p^k sind das die Zahlen

1\cdot p,\;2\cdot p,\;3\cdot p,\;\cdots,\;p^{k-1}\cdot p = p^k.

Das sind p^{k-1} Zahlen, die nicht teilerfremd zu p^k sind. Für die eulersche \!\ \varphi-Funktion gilt deshalb

\varphi(p^k) = p^k-p^{k-1} = p^{k-1}(p-1)= p^{k}\left(1-\frac1{p}\right).

Beispiel:

\varphi(16)=\varphi(2^4)=2^4-2^3=2^3\cdot (2-1)=2^4\cdot \left(1-\frac12\right) =8

Allgemeine Berechnungsformel[Bearbeiten]

Der Wert der eulerschen Phi-Funktion lässt sich für jede Zahl aus ihrer kanonischen Primfaktorzerlegung

n = \prod_{p\mid n} p^{k_p}

berechnen:

\varphi(n) = \prod_{p\mid n} p^{k_p-1}(p-1) = n \prod_{p\mid n}\left(1-\frac{1}{p}\right)

Diese Formel folgt direkt aus der Multiplikativität der Phi-Funktion und der Formel für Primzahlpotenzen.

Beispiel:

\varphi(72)=\varphi(2^3\cdot 3^2)=2^{3-1}\cdot (2-1)\cdot 3^{2-1}\cdot (3-1)=2^2\cdot 1\cdot 3\cdot 2=24

Abschätzung[Bearbeiten]

Eine Abschätzung für das arithmetische Mittel von  \!\ \varphi(n) erhält man über die Formel

\sum_{n=1}^N \varphi(n) = \frac{1}{2 \zeta(2)} N^2 + \mathcal{O}(N \log N),

wobei ζ die riemannsche Zetafunktion und \mathcal{O} das Landau-Symbol ist.

Das heißt: Im Mittel ist \varphi(n) \approx n\frac{3}{\pi^2}.

Weitere Beziehungen[Bearbeiten]

Für n \geq 2 gilt:

\sum_{1 \leq j \leq n-1 \atop ggT(n,j)=1} j = \frac{n}{2} \varphi(n)

Bedeutung[Bearbeiten]

Eine wichtige Anwendung findet die Phi-Funktion im Satz von Fermat-Euler:

Wenn zwei natürliche Zahlen a und m teilerfremd sind, ist m ein Teiler von a^{\varphi(m)}-1:

\operatorname{ggT}(a,m)=1 \Rightarrow m \mid a^{\varphi(m)}-1

Etwas anders formuliert:

\operatorname{ggT}(a,m)=1 \Rightarrow a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m

Ein Spezialfall (für Primzahlen p) dieses Satzes ist der kleine fermatsche Satz:

p \nmid a \Rightarrow p \mid a^{p-1}-1
p \nmid a \Rightarrow a^{p-1} \equiv 1 \pmod p

Der Satz von Fermat-Euler findet unter anderem Anwendung beim Erzeugen von Schlüsseln für das RSA-Verfahren in der Kryptographie.

Weblinks[Bearbeiten]