Clausen-Funktion

Graph der Clausen-Funktion $\mathrm {Cl} _{2}(\theta )$ (rot) und $\mathrm {Cl} _{4}(\theta )$ (grün)

In der Mathematik ist die Clausen-Funktion durch das folgende Integral definiert:

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log |2\sin(t/2)|\,\mathrm {d} t.$

Allgemeine Definition

Allgemeiner definiert man für komplexe $s$ mit $\operatorname {Re} (s)>1$:

$\operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n\theta )}{n^{s}}}=\sin(\theta )+{\frac {\sin(2\theta )}{2^{s}}}+{\frac {\sin(3\theta )}{3^{s}}}+{\frac {\sin(4\theta )}{4^{s}}}+\cdots$

Diese Definition kann auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden.

Beziehung zum Polylogarithmus

Die Clausen-Funktion steht in Beziehung zum Polylogarithmus:

$\operatorname {Cl} _{s}(\theta )=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{s}(e^{i\theta }))$.

Kummers Beziehung

Ernst Kummer und Rogers führen folgende für $0\leq \theta \leq 2\pi$ gültige Beziehung an:

$\operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

Beziehung zu den Dirichlet L-Funktionen

Für rationale Werte von $\theta /\pi$ kann die Funktion $\sin(n\theta )$ als periodischer Orbit eines Elementes einer zyklischen Gruppe aufgefasst werden. Folglich kann $\operatorname {Cl} _{s}(\theta )$ als einfache Summe aufgefasst werden, welche die Hurwitzsche Zeta-Funktion beinhaltet. Das erlaubt es, Beziehungen zwischen bestimmten Dirichlet L-Funktionen einfach zu berechnen.

Die Clausen-Function als eine Regularisierungs-Methode

Die Clausen-Funktion kann auch als Methode betrachtet werden, um folgenden divergenten Fourier-Reihen eine Bedeutung zu geben:

$\sin(\theta )+2\sin(2\theta )+3\sin(3\theta )+\dots$

was mit $\operatorname {Cl} _{-1}(\theta )$ bezeichnet werden kann. Durch Integration erhält man:

$\cos(\theta )+\cos(2\theta )+\cos(3\theta )+\dots =-\int d{\theta }\operatorname {Cl} _{-1}(\theta )$

Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung für alle negativen $s$ verallgemeinert werden.

Reihenentwicklung

Eine Reihenentwicklung für die Clausen-Funktion (für $|\theta |<2\pi$) ist

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{n}{\text{.}}$

$\zeta (s)$ ist dabei die Riemannsche Zeta-Funktion. Eine schneller konvergierende Reihe ist

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{n}{\text{.}}$

Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt, dass $\zeta (n)-1$ für große $n$ schnell gegen 0 konvergiert.

Spezielle Werte

Einige spezielle Werte sind:

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=G$,

wobei G die Catalansche Konstante ist.

Allgemeiner:

$\operatorname {Cl} _{s}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (s)$

wobei $\beta (s)$ die Dirichletsche Beta-Funktion ist.

Literatur

• Leonard Lewin (Ed.): Structural Properties of Polylogarithms. American Mathematical Society, Providence (RI) 1991, ISBN 0-8218-4532-2.
• Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall: Computational Strategies for the Riemann Zeta Function (PDF; 526 kB). In: J. Comp. App. Math. 121. Jahrgang, 2000, S. 11.