Kosinussatz

In der Trigonometrie stellt der Kosinussatz eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines Dreiecks und dem Kosinus eines der drei Winkel des Dreiecks her.

Formulierung

Bezeichnungen im Dreieck

Für die drei Seiten $a$, $b$ und $c$ eines Dreiecks sowie für den der Seite $c$ gegenüberliegenden Winkel (d. h. den zwischen den Seiten $a$ und $b$ liegenden Winkel) $\gamma$ gilt:

$c^2=a^2+b^2-2\,a\,b\,\cos\gamma$

Entsprechend gilt für die anderen Winkel:

$b^2=a^2+c^2-2\,a\,c\,\cos\beta$

$a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos\alpha$

Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes

Mit $\textstyle \gamma = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$, also bei einem rechtwinkligen Dreieck, gilt $\textstyle \cos\gamma = \cos\frac{\pi}{2} = 0$. Dadurch ergibt sich als Spezialfall des Kosinussatzes im rechtwinkligen Dreieck der Satz des Pythagoras:

$c^2=a^2+b^2\,$

Der Kosinussatz stellt daher eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras dar.

Anwendungen

Zahlenbeispiel

Die folgenden Zahlenwerte sind grobe Näherungen. In einem Dreieck ABC sind folgende Seitengrößen bekannt (Bezeichnungen wie üblich):

$a = 4{,}9\;\rm cm$

$b = 2{,}8\;\rm cm$

$c = 3{,}5\;\rm cm$

Gesucht ist die Winkelgröße $\beta$ (Bezeichnungen wie üblich).

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \beta$

$2 \cdot a \cdot c \cdot \cos \beta = a^2 + c^2 - b^2$

$\cos \beta \, = \, \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2 \cdot a \cdot c} = \frac{(4{,}9\,{\rm cm})^2 + (3{,}5\,{\rm cm})^2 - (2{,}8\,{\rm cm})^2} {2 \cdot 4{,}9\,{\rm cm} \cdot 3{,}5\,{\rm cm}} = 0{,}83$

$\beta = 34^\circ$

Kongruenzsätze

Die Kongruenzsätze SSS (Seite-Seite-Seite) und SWS (Seite-Winkel-Seite) besagen, dass ein Dreieck durch die Vorgabe von drei Seiten oder von zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel vollständig bestimmt ist. Alternativ kann man auch jeweils zwei Vektoren angeben, aus denen der eingeschlossene Winkel berechnet werden kann. Der Kosinussatz erlaubt es in diesen Fällen, aus den drei gegebenen Stücken ein viertes Stück, nämlich einen Winkel (im Fall SSS) beziehungsweise die dritte Seite (im Fall SWS) zu berechnen. Wenn man anschließend auch die übrigen Winkel eines Dreiecks ermitteln möchte, kann man wahlweise nochmal den Kosinussatz (mit auf den gesuchten Winkel angepassten Seitenbezeichnungen) oder den Sinussatz anwenden. Den letzten Winkel berechnet man am zweckmäßigsten über die Winkelsumme von 180°.

Wenn nur eine Seite und zwei Winkel gegeben sind (Kongruenzsätze SWW oder WSW) oder zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite (Kongruenzsatz SsW), so berechnet man zunächst eines der fehlenden Stücke mit dem Sinussatz und den fehlenden Winkel über die Winkelsumme, bevor man mit dem Kosinussatz die dritte Seite bestimmen kann.

Beweis

Im folgenden Beweis wird $\gamma < 90^\circ$ vorausgesetzt. Für $\gamma > 90^\circ$ muss der Beweis geringfügig modifiziert werden. Für $\gamma = 90^\circ$ ergibt sich der Kosinussatz direkt aus dem Satz des Pythagoras.

In den Teildreiecken soll der Satz des Pythagoras angewandt werden, um einen Rechenausdruck für $c^2$ zu finden. Dazu benötigt man die Quadrate der Kathetenlängen dieses Teildreiecks:

$h^2 \,= b^2 - e^2$ (Satz des Pythagoras für das rechte Teildreieck)

$d^2 = (a-e)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot e + e^2$ (binomische Formel)

Nach Pythagoras gilt für das linke Teildreieck:

$c^2 \,= h^2 + d^2$

Es müssen also die beiden oben gefundenen Rechenausdrücke addiert werden:

$c^2 = b^2 - e^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot e + e^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot e$

Nun gilt

$\cos \gamma = \frac{e}{b}$ $\left(=\frac{\rm Ankathete}{\rm Hypotenuse}\right)$

mit der Folgerung

$e = b \cdot \cos\gamma$.

Einsetzen dieses Zwischenergebnisses in die Gleichung für $c^2$ ergibt die Behauptung:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma$

Verallgemeinerung

Mit Vektoren in Skalarprodukträumen (also Vektorräumen mit Skalarprodukt) kann auch der Kosinussatz leicht verallgemeinert werden. Aus

${\mathbf c}={\mathbf b}-{\mathbf a}$

folgt beispielsweise:

$|{\mathbf c}|^2=|{\mathbf b}|^2 + |{\mathbf a}|^2- 2|{\mathbf a}| \, |{\mathbf b}| \cos \theta_{a,b}$,

wobei $\theta_{a,b}$ der von den Vektoren eingeschlossene Winkel ist und die Beträge und der Winkelterm aus dem Skalarprodukt berechnet werden können, das heißt

$|{\mathbf a}| \, |{\mathbf b}| \cos \theta_{a,b}=\langle {\mathbf a},{\mathbf b} \rangle$ und $|{\mathbf a}|^2=\langle {\mathbf a},{\mathbf a} \rangle$.

Siehe auch

• Sinussatz
• Tangenssatz
• Geometrie auf der Kugeloberfläche

Literatur

• Manfred Leppig (Hrsg.): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 192–193

Weblinks

 Commons: Law of cosines – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Kosinussatz – Illustration und Beweis auf www.arndt-bruenner.de
• Herleitung des Kosinussatzes sowie Anwendung (Video)
• Law of Cosines – 2 Beweise auf proofwiki.org (engl.)