Dedekindring

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Ein Dedekindring (nach Richard Dedekind, auch ZPI-Ring) ist eine Verallgemeinerung des Ringes der ganzen Zahlen. Die Anwendungen dieses Begriffes finden sich hauptsächlich in den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Zahlentheorie und der kommutativen Algebra, besonders in der Idealtheorie.

[Bearbeiten] Definition

Ein Dedekindring ist ein höchstens eindimensionaler, noetherscher, normaler Integritätsbereich.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Analog zur eindeutigen Zerlegung ganzer Zahlen in Primzahlen gilt für Dedekindringe, dass in ihnen jedes Ideal eine eindeutige Zerlegung in Primideale besitzt. Dedekindringe sind gerade diejenigen Integritätsbereiche, die ZPI-Ringe sind.

[Bearbeiten] Beispiele

Keine Dedekindringe sind:

  • \mathbb Z[T] (zweidimensional),
  • \mathbb Z[\sqrt5] (nicht normal),
  • \mathbb Z[T]/(T^2) oder \mathbb Z\times\mathbb Z (kein Integritätsbereich).
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