Dedekindring

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Ein Dedekindring (nach Richard Dedekind, auch ZPI-Ring) ist eine Verallgemeinerung des Ringes der ganzen Zahlen. Die Anwendungen dieses Begriffes finden sich hauptsächlich in den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Zahlentheorie und der kommutativen Algebra, besonders in der Idealtheorie.

[Bearbeiten] Definition

Ein Dedekindring ist ein höchstens eindimensionaler, noetherscher, normaler Integritätsbereich.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Analog zur eindeutigen Zerlegung ganzer Zahlen in Primzahlen gilt für Dedekindringe, dass in ihnen jedes Ideal eine eindeutige Zerlegung in Primideale besitzt. Dedekindringe sind gerade diejenigen Integritätsbereiche, die ZPI-Ringe sind.

[Bearbeiten] Beispiele

Jeder Hauptidealring ist ein Dedekindring.
Ist $A$ ein Hauptidealring, und $L$ eine endliche Erweiterung seines Quotientenkörpers, so ist der ganze Abschluss von $A$ in $L$ ein Dedekindring. Insbesondere gilt das für Ganzheitsringe in Zahlkörpern, also beispielsweise $\mathbb Z[\sqrt{-5}].$
Lokalisierungen von Dedekindringen sind wieder Dedekindringe.