Dedekindring

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Ein Dedekindring (nach Richard Dedekind, auch Dedekindbereich oder ZPI-Ring) ist eine Verallgemeinerung des Ringes der ganzen Zahlen. Die Anwendungen dieses Begriffes finden sich hauptsächlich in den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Zahlentheorie und der kommutativen Algebra, besonders in der Idealtheorie.

Definition[Bearbeiten]

Ein Dedekindring ist ein höchstens eindimensionaler, noetherscher, normaler Integritätsring.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Analog zur eindeutigen Zerlegung ganzer Zahlen in Primzahlen gilt für Dedekindringe, dass in ihnen jedes Ideal eine eindeutige Zerlegung in Primideale besitzt. Dedekindringe sind gerade diejenigen Integritätsringe, die ZPI-Ringe sind.

Beispiele[Bearbeiten]

Keine Dedekindringe sind:

  • \mathbb Z[X] (zweidimensional),
  • \mathbb Z[\sqrt5] (nicht normal),
  • \mathbb Z[X]/(X^2) und \mathbb Z\times\mathbb Z (keine Integritätsringe).

Literatur[Bearbeiten]