Faktorieller Ring

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Ein faktorieller Ring, auch ZPE-Ring (Abk. für: „Die Zerlegung in Primelemente ist eindeutig."), Gaußscher Ring oder EPZ-Ring ist eine algebraische Struktur, und zwar ein Integritätsring, in dem jedes Element a \neq 0 eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Faktorielle Ringe sind nicht zu verwechseln mit Faktorringen.

Definition[Bearbeiten]

Ein Integritätsring A heißt faktoriell, wenn er die folgende Eigenschaft besitzt:

  • Jedes Element a\ne0, besitzt eine bis auf Assoziierheit und Reihenfolge eindeutige Zerlegung in irreduzible Faktoren.[1]

Für einen Integritätsring ist die Eigenschaft, faktoriell zu sein, äquivalent zur Eigenschaft, ein ZPE-Ring zu sein:

  • Jedes Element a\ne0, besitzt eine Zerlegung in ein Produkt von Primelementen. (Darstellungen als Produkt von Primelementen sind stets im Wesentlichen eindeutig.)

Zerlegung in irreduzible Faktoren[Bearbeiten]

a \in R hat eine Zerlegung in irreduzible Faktoren, wenn a eine Darstellung

a=\varepsilon\, q_1\, q_2 \dots q_r

mit einer Einheit  \varepsilon und irreduziblen Elementen  q_i hat. Dabei ist das leere Produkt von irreduziblen Elementen, also r=0, zugelassen, welches dem Einselement des Ringes gleichzusetzen ist. Diese Zerlegung ist im Wesentlichen eindeutig, wenn bei jeder weiteren solchen Darstellung

a=\varepsilon'\, q_1'\, q_2' \dots q_{r'}'

gilt: r=r' und q_i \sim q_i' (nach eventuellem Umnummerieren).

q_i \sim q_i' bedeutet: q_i und q_i' sind assoziiert.

Sind die q_1, q_2, \dotsc , q_r nicht nur irreduzibel sondern sogar Primelemente, folgt daraus bereits die Eindeutigkeit der Darstellung (bis auf Assoziiertheit).

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Irreduzible Elemente in faktoriellen Ringen sind prim. (Damit folgt auch die Äquivalenz der oben angegebenen Beschreibungen.)
  • Nach dem Lemma von Gauß sind Polynomringe faktorieller Ringe wieder faktoriell.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring, und jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring. Beispiele sind die euklidischen Ringe \Bbb Z (ganze Zahlen) sowie der Polynomring K[X] in einer Veränderlichen über einem Körper K.
  • Umgekehrt ist aber nicht jeder faktorielle Ring automatisch Hauptidealring. Bei den Ganzheitsringen algebraischer Zahlenkörper fallen die beiden Begriffe jedoch zusammen.
  • Körper besitzen zwar weder irreduzible Elemente noch Primelemente, sind aber ebenfalls faktorielle Ringe, da jedes Element ungleich Null eines Körpers eine Einheit ist.
  • Polynomringe und Ringe formaler Potenzreihen über einem Körper
  • Polynomringe über einem faktoriellen Ring sind wieder faktoriell (Satz von Gauß, siehe Inhalt (Polynom))
  • Reguläre lokale Ringe

Gegenbeispiele[Bearbeiten]

Ein Beispiel für einen Ring, in dem es eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt, die nicht eindeutig ist, ist der Ring \mathbb Z\left[\sqrt{-5}\right] (siehe Adjunktion): In den beiden Produktdarstellungen

6=2\cdot 3=\left(1+\sqrt{-5}\right)\cdot\left(1-\sqrt{-5}\right)

sind die Faktoren jeweils irreduzibel, aber unter den vier Zahlen 2,3,1+\sqrt{-5} und 1-\sqrt{-5} sind keine zwei assoziiert. Die Einheiten in diesem Ring sind +1 und -1.


Ein Beispiel für einen Ring, in dem eine Zerlegung in irreduzible Elemente nicht immer existiert, diese aber eindeutig ist, wann immer sie existiert, ist der Ring der holomorphen Funktionen auf einem Gebiet U in der komplexen Ebene \mathbb{C} (mit punktweiser Addition und Multiplikation): Dieser Ring ist nullteilerfrei (das folgt aus dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen). Die Einheiten sind genau die holomorphen Funktionen ohne Nullstellen (also z.B. die komplexe Exponentialfunktion). Die irreduziblen Elemente sind bis auf Einheiten genau die Funktionen der Form (z\mapsto z-a) für einen Punkt a\in U. Daraus folgt, dass eine holomorphe Funktion genau dann ein Produkt aus irreduziblen Elementen ist, wenn sie nur endlich viele Nullstellen hat. Da es aber auf jedem Gebiet auch holomorphe Funktionen gibt mit unendlich vielen Nullstellen, ist dieser Ring kein faktorieller Ring. Falls eine holomorphe Funktion allerdings eine solche Darstellung hat, so ist diese im Wesentlichen eindeutig, weil die irreduziblen Elemente alle prim sind.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Serge Lang: Algebra. 3 Auflage. Springer, 2008, ISBN 978-0-387-95385-4, S. 111.