Elektromagnetische Induktion

Ein bewegter Permanentmagnet erzeugt an den Klemmen einer Spule eine elektrische Spannung.

Unter elektromagnetischer Induktion (auch Faradaysche Induktion, nach Michael Faraday, kurz Induktion) versteht man das Entstehen eines elektrischen Feldes bei einer Änderung der magnetischen Flussdichte.

In vielen Fällen lässt sich das elektrische Feld durch Messung einer elektrischen Spannung direkt nachweisen. Ein typisches Beispiel hierfür zeigt das nebenstehende Bild: Durch die Bewegung des Magneten wird eine elektrische Spannung induziert, die an den Klemmen der Spule messbar ist und für weitere Anwendungen bereitsteht.

Die elektromagnetische Induktion wurde 1831 von Michael Faraday bei dem Bemühen entdeckt, die Funktionsweise eines Elektromagneten („Strom erzeugt Magnetfeld“) umzukehren („Magnetfeld erzeugt Strom“). Der Zusammenhang ist eine der vier Maxwellschen Gleichungen. Die Induktionswirkung wird technisch vor allem bei elektrischen Maschinen wie Generatoren, Elektromotoren und Transformatoren genutzt. Bei diesen Anwendungen treten stets Wechselspannungen auf.

Geschichtliche Entwicklung und Zusammenhang

Zeichnung von Faradays historischem Experimentalaufbau: Eine Änderung des magnetischen Flusses in der linken Spule induziert einen Strom in der rechten Spule.

Michael Faraday – Entdecker der Induktion

Die elektromagnetische Induktion als Teil der Maxwellschen Gleichungen und der klassischen Elektrodynamik spiegelt den Kenntnisstand zum Ende des 19. Jahrhunderts wider. Zum damaligen Zeitpunkt wurden teilweise andere Begriffe und Formelzeichen benutzt, die grundlegenden Vorstellungen über den Induktionsvorgang wurden jedoch zu dieser Zeit geschaffen.

Als Entdecker des Induktionsgesetzes gelten Michael Faraday, Joseph Henry und Hans Christian Ørsted, die das Induktionsgesetz im Jahr 1831 unabhängig voneinander formulierten, wobei Faraday seine Ergebnisse als Erster veröffentlichte.

In Faradays erstem Demonstrationsaufbau zur Induktion vom 29. August 1831 wickelte er zwei Leiterdrähte auf die gegenüberliegenden Seiten eines Eisenkerns; eine Anordnung, die modernen Ringkerntransformatoren ähnelt. Er erwartete aufgrund seiner Kenntnisse über Permanentmagnete, dass sich – sobald in einer der beiden Leitungen ein Strom zu fließen beginnt – eine Welle entlang des Rings ausbreitet und zu einem Stromfluss in der Leitung auf der anderen Seite des Rings führt. Im Experiment schloss er an einer der beiden Leitungen ein Galvanometer an und beobachtete einen kurzzeitigen Zeigerausschlag, sooft er den anderen Draht an eine Batterie anschloss. Die Ursache dieser Induktionserscheinung war die Änderung des magnetischen Flusses in der von der Leiterschleife aufgespannten Fläche. In der folgenden Zeit identifizierte Faraday weitere Beispiele elektromagnetischer Induktion. So beobachtete er Ströme wechselnder Richtung, wenn er einen Permanentmagneten rasch in eine Spule hinein und wieder heraus bewegte. Aus den historischen Untersuchungen ging auch die sogenannte Faradayscheibe, ein Gleichstromgenerator, hervor, die aus heutiger Sicht als sogenannte Bewegungsinduktion beschrieben wird und ihre Ursache in der Bewegung des Leiters und der mitgeführten Ladungen im magnetischen Feld hat. Faraday veröffentlichte das Gesetz, beginnend mit Vorlage:"-en

Anfang des 20. Jahrhunderts erfolgte die relativistische Eingliederung des Induktionsgesetzes im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie. Anders als in der Mechanik, bei der sich die spezielle Relativitätstheorie erst bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit merklich auswirkt, sind relativistische Effekte in der Elektrodynamik schon bei sehr kleinen Geschwindigkeiten zu beobachten. So konnte im Rahmen der Relativitätstheorie beschrieben werden, wie sich beispielsweise die Beträge der elektrischen und magnetischen Feldkomponenten in Abhängigkeit von der Bewegung zwischen einem Beobachter und einer beobachteten elektrischen Ladung verändern. Diese Abhängigkeiten in der relativen Bewegung zueinander zwischen verschiedenen Bezugssystemen werden durch die Lorentz-Transformation beschrieben. Dabei zeigt sich, dass das Induktionsgesetz in Kombination mit den restlichen Maxwellschen Gleichungen „lorentzinvariant“ ist. Das heißt, die Struktur der Gleichungen wird durch die Lorentztransformation zwischen verschiedenen Bezugssystemen nicht verändert. Dabei wird deutlich, dass die elektrischen und magnetischen Felder nur zwei Erscheinungsformen desselben Phänomens sind.

In der Mitte des 20. Jahrhunderts gelang im Rahmen der Elektrodynamik die Verbindung der Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie, und das Induktionsgesetz wurde im Rahmen einer Quantenfeldtheorie des Elektromagnetismus formuliert. Diese Quantenfeldtheorie wird als Quantenelektrodynamik (QED) bezeichnet. Sie stellt heute, auch wegen des großen technischen Anwendungsgebietes, eine der durch Experimente am genauesten überprüften Theorien der Physik dar.

Allgemeines

Bei der durch Induktion infolge einer magnetischen Flussdichteänderung entstehenden elektrischen Spannung handelt es sich um eine sogenannte Umlaufspannung oder Induktionsspannung. Diese ist dadurch gekennzeichnet, dass sie durch geschlossene elektrische Feldlinien dargestellt wird (Wirbelfeld). Hierdurch unterscheidet sich die Induktionsspannung von Spannungen, wie sie beispielsweise bei einer Batterie vorkommen (Potentialfeld). Die Feldlinien der sog. Urspannungsquellen EMK einer Batterie (siehe elektromotorische Kräfte) verlaufen stets von positiven zu negativen Ladungen und sind daher niemals geschlossen.

In mathematischer Form lässt sich das Induktionsgesetz durch jede der folgenden drei gleichbedeutenden Gleichungen beschreiben:

Induktionsgesetz in SI-Einheiten

differentielle Form	Integralform I	Integralform II
$\operatorname {rot} {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$	$\oint \limits _{\partial A(t)}{{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-\int \limits _{A(t)}{{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}$	$\oint \limits _{\partial A(t)}{({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}(t))\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{A(t)}{\vec {B}}(t)\cdot {\text{d}}{\vec {A}}$

In den Gleichungen steht ${\vec {E}}$ für die elektrische Feldstärke und ${\vec {B}}$ für die magnetische Flussdichte. Die Größe ${\text{d}}{\vec {A}}$ ist das orientierte Flächenelement und $\partial A$ der Rand (die Konturlinie) der betrachteten Integrationsfläche $A$; ${\vec {u}}$ ist die lokale Geschwindigkeit der Konturlinie in Bezug auf das zugrundeliegende Bezugssystem. Das auftretende Linienintegral führt entlang einer geschlossenen Linie $\partial A$ und endet daher am Startpunkt. Ein Multiplikationspunkt zwischen zwei Vektoren markiert deren Skalarprodukt.

Grundlegende Experimente

Im Folgenden werden mehrere beliebte Experimente zur Demonstration der elektromagnetischen Induktion beschrieben, deren Bedeutung vor allem im schulischen und universitären Unterricht liegt. Ein grundlegendes Induktionsexperiment wird schon im Einleitungstext aufgegriffen. Bewegt man den im Einleitungstext dargestellten Permanentmagneten in der Spule auf und ab, so lässt sich an den Klemmen der Spule mit dem Oszilloskop eine elektrische Spannung abgreifen.

Ganz entsprechend lässt sich an den Klemmen einer Leiterschleife oder einer Spule eine elektrische Wechselspannung abgreifen, wenn man die Leiterschleife in einem zeitlich konstanten Magnetfeld dreht, wie im Abschnitt Leiterschleife im Magnetfeld gezeigt. Nach dem dort gezeigten Prinzip (aber einer grundlegend verbesserten Anordnung) funktionieren die in Kraftwerken eingesetzten Generatoren zur Bereitstellung elektrischer Energie im Stromversorgungsnetz. In dem gezeigten Experiment kann die Wirkungsrichtung grundsätzlich umgedreht werden: legt man an die Klemmen der drehbar gelagerten Leiterschleife eine elektrische Wechselspannung, so dreht sich die Leiterschleife um ihre Achse im magnetischen Feld (Synchronmotor).

Die Bewegung eines Leiters im Magnetfeld kann auch genutzt werden, um eine elektrische Gleichspannung zu erzeugen. Dies ist beispielhaft im Abschnitt Bewegter Leiterstab im Magnetfeld gezeigt. Bewegt man den Leiterstab entlang der Schienen, die durch einen Schleifkontakt oder durch Räder elektrisch mit dem Leiterstab verbunden sind, so lässt sich am Voltmeter eine Gleichspannung messen, die von der Geschwindigkeit des Leiterstabes, der magnetischen Flussdichte und dem Abstand der Schienen abhängt.

Faradayscheibe: Bei Drehung der Aluminiumscheibe lässt sich am Voltmeter zufolge der Unipolarinduktion eine Gleichspannung abgreifen. Dreht man hingegen nur den Magneten, bleibt die Spannungsanzeige bei null. Dreht man gleichermaßen den Magneten und die Aluminiumscheibe, ist wiederum eine Spannung messbar.

Anstelle einer Linearbewegung lässt sich das Experiment auch mit einer Drehbewegung demonstrieren, wie am Beispiel der Faradayscheibe (Bild rechts) gezeigt. Im dargestellten Experiment übernimmt die Aluminiumscheibe die Funktion des bewegten Leiterstabes aus dem Experiment mit dem bewegten Leiterstab im Magnetfeld.

Dreht man die Aluminiumscheibe im magnetischen Feld, so lässt sich zwischen Schleifkontakt am äußeren Rand der Aluminiumscheibe und der Drehachse eine elektrische Spannung nachweisen, mit der sich beispielsweise auch eine Glühlampe betreiben lässt. Die Spannung an den Klemmen hängt dabei von der Stärke der magnetischen Flussdichte, der Drehgeschwindigkeit $\omega _{1}$ und dem Durchmesser der Scheibe ab.

Zum großen Erstaunen Faradays weist ein solcher Unipolargenerator jedoch unerwartete Eigenschaften auf, die in der Literatur noch lange nach Faradays Entdeckung diskutiert wurden und zu einer lange anhaltenden Kontroverse um die Frage führte, ob man dem Magnetfeld gleichsam wie einem materiellen Objekt eine Geschwindigkeit zuordnen könne und konkret, ob sich das Magnetfeld mit dem Magneten mitdreht. Die wesentliche Entdeckung war, dass die Spannung entgegen einer naheliegenden intuitiven Annahme nachweislich nicht von der Relativbewegung zwischen dem Permanentmagneten und der Aluminiumscheibe abhängt. Denn dreht man im dargestellten Experiment beispielsweise nur den Permanentmagneten und lässt die Aluminiumscheibe ruhen ($\omega _{1}=0,\,\omega _{2}\neq 0$), so ist trotz der vorhandenen Relativbewegung zwischen Magnet und Leiter keine Spannung zu beobachten. Dreht man hingegen beide Scheiben mit der gleichen Geschwindigkeit ($\omega _{1}=\omega _{2}\neq 0$), so zeigt sich eine Spannung an, obwohl die beiden Scheiben sich relativ zueinander nicht bewegen. Ebenso ist eine Spannungsanzeige zu beobachten, wenn man die Spannung anstelle an der Aluminiumscheibe direkt an dem als elektrisch leitfähig angenommenen Permanentmagneten abgreift.

Das Prinzip ist ebenfalls umkehrbar und lässt stromdurchflossene Magnetscheiben kreiseln, siehe Homopolarmotor.

Obwohl die Kontroverse um diese Frage im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie Einsteins aufgeklärt werden kann und es erwiesenermaßen nicht auf die Relativgeschwindigkeit zwischen Magnet und Leiter ankommt, wird im schulischen Unterricht auch heute teilweise noch das sogenannte Igelmodell des Magnetfeldes verwendet, dem zufolge die magnetischen Feldlinien wie Igelstacheln an dem Magneten befestigt seien. Induktion trete dem Modell entsprechend immer dann ein, wenn der Leiter die Feldlinien „schneide“ (Relativbewegung zwischen Leiter und Magnetfeld). Im Rahmen der Seminarlehrertagung „Physik“ in Dillingen 2002 wies Hübel ausdrücklich auf die mit dem Igelmodell verbundenen Schwierigkeiten hin und betonte, das Igelmodell solle nicht als kausale Erklärung der Induktion missverstanden werden; es sei vielmehr nicht haltbar und könne zu falschen Vorstellungen führen.

Induktion bei einer Leiterschleife

Die zeitliche Änderung des durch eine Leiterschleife eingeschlossenen magnetischen Flusses ist an den Enden der Leiterschleife als Spannung messbar.

Obwohl die allgemeine Formulierung des Induktionsgesetzes keine Leiterschleife erfordert, soll zunächst wie in vielen einführenden Lehrbüchern üblich die Induktion an einer aus dünnem, gut leitfähigem Draht bestehenden Leiterschleife betrachtet werden. Hierdurch lassen sich eine große Anzahl technischer Anwendungen wie beispielsweise Motoren und Generatoren für Dreh- und Wechselstrom beschreiben und verstehen, ohne dass dazu eine Behandlung der relativistischen Aspekte der Feldtheorie oder die Anwendung der Lorentztransformation erforderlich wäre.

Für die zwischen beiden Drahtenden mit einem im Laborsystem ruhenden Messgerät (beispielsweise mit einem Oszilloskop) messbare elektrische Spannung $U$ ergibt sich unter diesen Voraussetzungen:

$U=+{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}},$

wobei $\Phi$ der magnetische Fluss

$\Phi =\int \limits _{A}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}$

ist, der durch eine (beliebige) von der Leiterschleife, den Zuleitungen zum Messgerät und den Leitungen im Messgerät begrenzte Fläche hindurchtritt. Es kann gezeigt werden, dass es bei der Berechnung des Flusses nicht auf die genaue Form der Fläche, sondern ausschließlich auf deren Berandung ankommt.

Das angegebene positive Vorzeichen gilt für den Fall, dass die Orientierung der Fläche (angedeutet durch den Pfeil mit der Beschriftung $d{\vec {A}}$) und die Richtung des zur Spannung $U$ zugehörigen Pfeiles wie im nebenstehenden Bild entsprechend einer "Linke-Hand-Regel" zueinander stehen.

Bei der Rechnung ist es nicht notwendig zu unterscheiden, ob die elektrische Spannung der Anordnung durch eine Änderung der Flussdichte oder durch eine Bewegung des Leiters erzeugt wird.

Beispiel: Bewegter Leiterstab im Magnetfeld

Wird der Leiterstab bewegt, zeigt das Messgerät die Spannung $\textstyle U=vLB_{0}$ an. Aus Sicht eines im Laborsystem ruhenden Beobachters ergibt sich im bewegten Leiterstab eine von Null verschiedene elektrische Feldstärke. Das Feldlinienbild zeigt ein reines Quellenfeld, d. h. ein elektrostatisches Feld. Die beiden Schienen laden sich wie ein Kondensator gegeneinander auf. Die Wirbelstärke des E-Feldes ist überall gleich Null.

Der im nebenstehenden Bild skizzierte Messaufbau besteht aus einer ruhenden elektrisch leitfähigen Schienenanordnung, über die mit der Geschwindigkeit $v$ ein Leiterstab gleitet. Die Anordnung befindet sich in einem örtlich und zeitlich konstanten magnetischen Feld mit der Flussdichte ${\vec {B}}_{0}$, das durch einen ruhenden Permanentmagneten oder eine ruhende mit Gleichstrom betriebene Spulenanordnung hervorgerufen wird. Die Spannung zwischen den beiden Schienen wird mit einem Voltmeter gemessen.

Die Spannung $U$ hängt von der Stärke der magnetischen Flussdichte $B$, der Geschwindigkeit $v$ und dem Schienenabstand $L$ ab:

$U=vLB_{0}$

Dieses soll im Folgenden mit dem Induktionsgesetz für die Leiterschleife erklärt werden:

• In der Zeichnung wird der Leiter von links nach rechts bewegt. Das schwachgraue Muster im Hintergrund des Bildes symbolisiert Feldlinien des Magnetfeldes ${\vec {B}}_{0}$, die senkrecht zur Ebene der Schienenanordnung vom Betrachter weg verlaufen. Daher bewegt eine Induktion im gezeichneten Leiterstab positive Ladungsträger von unten nach oben; ihre Richtung lässt sich mit der UVW-Regel oder der Rechte-Hand-Regel nachvollziehen. Beim Voltmeter links im Bild weist der nach unten gerichtete Zählpfeil den oberen Pol als Pluspol aus. Daher haben in der Gleichung $U=\mathrm {d} \Phi /\mathrm {d} t$ beide Seiten das gleiche Vorzeichen. Zu zeigen bleibt, dass $\mathrm {d} \Phi /\mathrm {d} t$ die als rechte Seite der Gleichung angegebene Form hat.
• Die durch den Leiter und das Messgerät eingeschlossene Fläche ist eben und hat den Flächeninhalt $A=x\cdot L$. Da die magnetischen Flusslinien diese Fläche senkrecht durchstoßen, gilt $\Phi =B_{0}\cdot A=B_{0}\cdot x\cdot L$.
• Die Spannung wird mit Hilfe des Induktionsgesetzes für die Leiterschleife berechnet. Der erste Term wird durch die Änderung der Flussdichte hervorgerufen und wird auch Ruheinduktion genannt. Da die magnetische Flussdichte sich mit der Zeit nicht ändert, ist der erste Term in diesem Beispiel gleich Null. Der zweite Term wird durch die Bewegung des Leiterstabes und der damit einhergehenden Vergrößerung der Fläche verursacht. Dieser Term wird auch Bewegungsinduktion genannt. Er beträgt $vLB_{0}$ und ist in diesem Fall für die Spannung an den Klemmen maßgeblich. Mithilfe der Produktregel für Ableitungen ergibt sich:

$U={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}=\underbrace {\frac {\partial B_{0}}{\partial t}} _{=0}\cdot A+B_{0}\cdot \underbrace {\frac {\partial A}{\partial t}} _{=vL}=vLB_{0}$

Beispiel: Bewegter Leiterstab im Magnetfeld (mit Stromfluss)

Ist die Leiterschleife geschlossen und bewegt sich der Stab im Magnetfeld, kommt es zu einem Stromfluss im Stromkreis.

Weist der Stromkreis einen endlichen Widerstand auf, so kommt es bei der Bewegung des Leiterstabes im Magnetfeld zu einem Stromfluss. Für die Stromstärke gilt:

$I={\frac {U}{R}}={\frac {\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}{R}}$

Hierbei wird die gesamte Flussänderung in der Leiterschleife betrachtet. Da aber die Induktivität $L_{\Phi }\approx 0$ für eine Leiteranordnung wie hier genähert werden kann, ist auch der stromabhängige magnetische Fluss $\Phi _{L}=L_{\Phi }I\approx 0$ und die dazugehörige Flussänderung ${\frac {\mathrm {d} \Phi _{L}}{\mathrm {d} t}}=L_{\Phi }{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}\approx 0$ vernachlässigbar. Die induzierte Stromstärke ist damit:

$I={\frac {vLB_{0}}{R}}$

Wird der Leiterstab mit der konstanten Geschwindigkeit $v$ bewegt, wird mechanische Arbeit verrichtet. Die Kraft ist die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter der Länge $L$ im Magnetfeld der Flussdichte $B_{0}$:

${\vec {F}}=I{\vec {L}}\times {\vec {B}}_{0}$ hier: $F=ILB_{0}$

Für die elektrische Leistung die im Widerstand umgesetzt wird gilt $P=UI$ und für die mechanische Leistung einer solchen gleichförmigen Bewegung gilt $P=vF=vILB_{0}={\frac {U}{LB_{0}}}ILB_{0}=UI$, nachdem man die entsprechenden Größen von oben eingesetzt hat. Es wird also mechanische Arbeit in elektrische umgewandelt.

Beispiel: Leiterschleife im Magnetfeld

Eine Leiterschleife dreht sich im Magnetfeld.

Dreht sich eine Leiterschleife mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega =2\pi f$ in einem aus dem Laborsystem betrachtet zeitlich konstanten Magnetfeld, so verändert sich aus Sicht der Leiterschleife die magnetische Flussdichte ständig, und es ergibt sich ein veränderter magnetischer Fluss durch die Leiterschleife.

Die an den Klemmen im sich drehenden System gemessene Spannung kann folgendermaßen berechnet werden:

• Die durch die Leiterschleife berandete ebene Fläche hat den Flächeninhalt $A=l_{1}\cdot l_{2}$.
• Die magnetische Flussdichte ändert im Koordinatensystem des mitbewegten Beobachters ständig ihren Betrag und ihre Richtung. Nimmt man an, dass das Bild die Fläche zum Zeitpunkt $t=0$ zeigt, so beträgt der senkrecht auf die Fläche auftretende Anteil der Flussdichte $B_{\mathrm {senkr} }(t)=\cos(2\pi ft)\cdot B$.
• Der durch die Fläche $A$ hindurchstoßende magnetische Fluss beträgt dementsprechend $\Phi (t)=B\cdot A\cdot \cos(2\pi ft)$.
• Für die Spannung $U$ folgt somit mit Hilfe der Kettenregel:

$U={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}=B\cdot A\cdot (-2\pi f)\cdot \sin(2\pi ft)$

Induktion bei einer elektrischen Spule mit mehreren Windungen

Beschreibung mithilfe der Ableitung des magnetischen Flusses

Fläche einer Spule mit drei Windungen

Das Induktionsgesetz ist auch für elektrische Spulen mit mehreren Windungen anwendbar. Die zur Berechnung des magnetischen Flusses erforderliche Fläche wird im nebenstehenden Bild veranschaulicht. Das Induktionsgesetz in seiner allgemeinen Form erfordert daher keinen Faktor $N$ für die Windungszahl der Spule, auch wenn der Spulendraht im konkreten Fall einen Zylinder mehrfach umläuft.

In den meisten Veröffentlichungen zur elektromagnetischen Induktion bei elektrischen Spulen wird der Einfachheit halber der Faktor $N$ für die Windungszahl eingeführt, und das Induktionsgesetz wird in der Form

$U={\frac {{\text{d}}\Psi }{{\text{d}}t}}\approx N{\frac {{\text{d}}\Phi _{\text{w}}}{{\text{d}}t}}$

angegeben. Hierbei bezeichnet $\Psi$ den Fluss durch eine von dem Spulendraht und den Anschlüssen berandete Fläche, $\Phi _{\text{w}}$ den von einer einzelnen Windung umschlossenen magnetischen Fluss, und $U$ ist die gemessene Spannung.

Zeitlich integrierte Form, Spannungszeitfläche

Die schraffierte Fläche stellt eine beispielhafte Spannungszeitfläche über die Dauer einer Viertelperiode der Sinusschwingung dar. (100 % bei 325 V Scheitelspannung).

Durch Integration über die Zeit lässt sich die angegebene Gleichung folgendermaßen umformen:

$\Phi _{\text{w}}(t)=\Phi _{\text{w}}(0)+{\frac {1}{N}}\cdot \int \limits _{0}^{t}U_{\mathrm {i} }(\tau )\,{\text{d}}\tau$

Diese Beziehung beschreibt den Flussverlauf als Integralfunktion des Spannungsverlaufs.

Betrachtet man den Vorgang in einem Zeitintervall von 0 bis T bei konstanter Fläche, durch die der magnetische Fluss tritt – das Zeitintervall kann sich beispielsweise über eine Halbperiode einer Wechselspannung erstrecken –, so folgt daraus für den sich dann ergebenden Fluss

$\Phi _{\mathrm {w} }(T)-\Phi _{\mathrm {w} }(0)={\frac {1}{N}}\cdot \int _{0}^{T}U_{\mathrm {i} }(\tau )\,\mathrm {d} \tau .$

Für den Fall $\Phi _{\mathrm {w} }(0)=0$ bedeutet das, dass der magnetische Fluss durch eine Leiterschleife bzw. eine Flussänderung in dieser, wie sie sich durch Anlegen einer Spannung nach der gegebenen Zeit T dort einstellt, immer von dem Spannungszeitintegral in den angegebenen Grenzen 0 bis T verursacht sein und diesem auch entsprechen muss. Die dafür relevante Spannung ist jeweils die induzierte Spannung $U_{\mathrm {i} }$. Diese entspricht der angelegten Spannung abzüglich ohmscher Spannungsabfälle (I·R), soweit diese nicht zu vernachlässigen sind.

Zu veranschaulichen ist das Spannungszeitintegral auch als Fläche zwischen dem Spannungsgraphen und der Zeitachse über dem Intervall [0; T], weshalb man es bisweilen auch als Spannungszeitfläche oder Spannungszeitsumme bezeichnet, in meist älterer Literatur in Anlehnung an den Begriff des Kraftstoßes auch als Spannungsstoß. (Ursächlich hierfür ist der Umstand, dass messtechnisch früher die Integration von induzierten Spannungsimpulsen mittels ballistischer Galvanometer durchgeführt wurde, vgl. auch Veranschaulichung des magnetischen Kraftflusses!)

Beispiel für 50 Hz bei U_eff=230 V: Auf grafische Weise durch Auszählen der kleinen Quadrate ermittelt, erhält man das Ergebnis von ca. 1,05 Voltsekunden zum Bild rechts oben, für eine Sinushalbschwingung folglich 2,1 Voltsekunden. Das ist die Spannungszeitfläche, welche die Induktion im Eisenkern eines Transformators von einem Ende der Hysteresekurve zum anderen Ende transportiert. Wenn ein Transformator passend zu den 230 V bei 50 Hz ausgelegt ist, läuft die Induktion im Dauerbetrieb hauptsächlich im senkrechten Bereich der Hysteresekurve. Höhere Spannung oder niedrigere Frequenz führt zum Übersteuern der Hysteresekurve in die waagerecht verlaufenden Bereiche, zur Kernsättigung, was dann auch in der Praxis durch den Anstieg des Magnetisierungsstromes anschaulich beobachtbar ist.

Als weiteres Beispiel kann ein vielfach praktiziertes Messprinzip für den magnetischen Fluss dienen: Hier wird der zu messende Fluss von einer Messspule erfasst, und die Spannung an der Spule auf einen Integrator gegeben, der an seinem Ausgang als Ergebnis unmittelbar den Fluss anzeigt.

Erkennen der Flussänderung

Bei der Bewegung der Leiterschleife tritt eine Flussänderung auf.

Bei der Bewegung der Leiterschleife tritt ebenfalls eine Flussänderung auf, die aber oft nicht erkannt wird.

Die magnetische Flussdichte in den Schenkeln des Hufeisenmagneten ist nicht konstant.

Wenn an den Klemmen einer starren Leiterschleife eine Spannung abgreifbar ist, so kann diese dem Induktionsgesetz für Leiterschleifen entsprechend immer auf eine Flussänderung in der Leiterschleife zurückgeführt werden.

Hübel weist unter dem Stichwort „Hufeisenparadoxon“ darauf hin, dass diese Flussänderung in manchen Fällen dem ungeübten Auge verborgen bleibt und diskutiert die Probleme anhand verschiedener Anordnungen mit Hufeisenmagneten, wie sie typischerweise im Schulunterricht verwendet werden (vgl. nebenstehende Bilder). Während die Flussänderung in der Leiterschleife in der ersten Anordnung für Anfänger normalerweise leicht erkennbar ist, misslingt dies vielen Lernenden bei dem zweiten Bild. Die Lernenden konzentrieren sich auf den mit Luft erfüllten Bereich der Anordnung und berücksichtigen nicht, dass die Flussdichte im Pol des Permanentmagneten zum Außenbereich hin kontinuierlich abnimmt (siehe drittes Bild).

Interessanterweise werden zwei verschiedene Beobachter, die nach der Ursache der Spannung gefragt werden, je nach ihrem Bezugssystem verschiedene Antworten geben:

• Ein Beobachter, für den der Hufeisenmagnet ruht („Beobachter sitzt auf dem Magneten“), sieht bei vernachlässigbarem Strom in der Leiterschleife ein zeitlich konstantes Feld der magnetischen Flussdichte ($\operatorname {rot} {\vec {E}}=-{\dot {\vec {B}}}=0$). Man sagt auch, dass aus der Sicht dieses Beobachters ein elektrisches Potentialfeld existiert. Die an den Klemmen der Leiterschleife messbare Spannung wird er folgerichtig auf die Wirkung der Lorentzkraft zurückführen.
• Ein Beobachter, für den die Leiterschleife ruht („Beobachter sitzt auf der Leiterschleife“), sieht hingegen, dass sich die magnetische Flussdichte in der Leiterschleife ändert, denn aus seiner Sicht bewegt sich der Hufeisenmagnet in die Leiterschleife hinein bzw. aus ihr heraus. Dieser Beobachter erklärt sich die an den Klemmen abgreifbare Spannung somit durch ein elektrisches Wirbelfeld, das von der Änderung der magnetischen Flussdichte herrührt. Da die Leiterschleife aus seiner Sicht ihre Position nicht ändert ($v=0$), kann er schließlich keine Lorentzkraft erkennen.

Obwohl die Fragestellung nach dem Bezugssystem (Inertialsystem), aus dem heraus eine Beobachtung getätigt wird, im Zusammenhang mit dem Spezialfall „Induktionsgesetz für eine Leiterschleife“ keine wesentliche Rolle spielt, muss es bei der Anwendung des allgemeinen Gesetzes strikt beachtet werden. Der Grund ist, dass elektromagnetische Größen (insbesondere die elektrische Feldstärke und damit die Spannung) vom Bezugssystem abhängen, in dem sie gemessen werden. Die Umrechnung erfolgt jeweils mithilfe der Lorentztransformation.

Flussregel

Die Flussregel stellt eine mögliche Verallgemeinerung des Induktionsgesetzes für eine Leiterschleife dar. Man betrachtet dabei einen Stromkreis, der durch die Kurve $\partial A$ dargestellt wird und die Randkurve einer Fläche $A$ bildet. Trennt man den Stromkreis an einer Stelle auf, so misst man dort die Spannung ${\begin{aligned}U=\oint \limits _{\partial A}{{\vec {E}}'}{\text{d}}{\vec {s}}=-\int \limits _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}{\text{d}}{\vec {A}}+\oint _{\partial A}{\vec {v}}\times {\vec {B}}\ {\text{d}}{\vec {s}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int _{A}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}.\end{aligned}}$

Hierbei ist die Größe ${\vec {E}}'$ die Feldstärke, die im Ruhesystem des mit der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ mitbewegten Wegelementes ${\text{d}}{\vec {s}}$ herrscht (d. h. im mitbewegten System). Die Gleichung gilt in der angegebenen Form ausschließlich für nichtrelativistische Geschwindigkeiten $v\ll c$. Da in nahezu allen technischen Anwendungen die Objekte vergleichsweise langsam bewegt werden, ist dies normalerweise keine relevante Nebenbedingung.

Allgemeines Induktionsgesetz in differentieller Form und in Integralform

Das Gesetz der elektromagnetischen Induktion, kurz Induktionsgesetz, beschreibt den Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Feldern. Es besagt, dass bei einer Änderung des magnetischen Flusses durch eine Fläche am Rand dieser Fläche eine Ringspannung entsteht. In besonders häufig verwendeten Formulierungen wird das Induktionsgesetz beschrieben, indem die Randlinie der Fläche als unterbrochene Leiterschleife dargestellt wird, an deren offenen Enden die Spannung gemessen werden kann.

Die zum Verständnis sinnvolle Beschreibung gliedert sich in zwei mögliche Darstellungsformen:

1. Die Integralform oder auch globale Form des Induktionsgesetzes: Dabei werden die globalen Eigenschaften eines räumlich ausgedehnten Feldgebietes (über den Integrationsweg) beschrieben.
2. Die differentielle Form oder auch lokale Form des Induktionsgesetzes: Dabei werden die Eigenschaften einzelner lokaler Feldpunkte in Form von Dichten beschrieben. Die Volumina der globalen Form streben gegen Null, und die auftretenden Feldstärken werden differenziert.

Beide Darstellungsformen beschreiben denselben Sachverhalt. Je nach konkretem Anwendungsfall und Problemstellung kann es sinnvoll sein, die eine oder die andere Form zu benutzen.

Bei der Anwendung des Induktionsgesetzes ist zu beachten, dass alle in den Gleichungen auftretenden Größen, d. h. die elektrische Feldstärke ${\vec {E}}$, die magnetische Flussdichte ${\vec {B}}$, die orientierte Fläche ${\vec {A}}$, die Konturlinie $\partial A$ dieser Fläche und ${\vec {u}}$ die lokale Geschwindigkeit eines Punktes auf der Fläche bzw. deren Randlinie von einem beliebigen, aber für alle Größen gleichen, Bezugssystem (Inertialsystem) aus beschrieben werden.

Führt die Konturlinie durch Materie, ist zudem zu beachten:

• Die Konturlinie $\partial A$ ist eine gedachte Linie. Da sie keine physikalische Entsprechung hat, hat eine eventuelle zeitliche Bewegung der Konturlinie grundsätzlich keinen Einfluss auf die stattfindenden physikalischen Prozesse. Insbesondere verändert eine Bewegung der Konturlinie nicht die Feldgrößen ${\vec {E}}$ und ${\vec {B}}$. In der Integralform I wird die Bewegung der Konturlinie daher überhaupt nicht berücksichtigt. In der Integralform II beeinflusst die Bewegung der gedachten Konturlinie beide Seiten der Gleichung in gleichem Maße, sodass man bei der Berechnung beispielsweise einer elektrischen Spannung mit Integralform I zu dem gleichen Ergebnis kommt wie bei der Berechnung derselben Spannung mithilfe von Integralform II.
• Grundsätzlich darf die Geschwindigkeit der Konturlinie von der Geschwindigkeit der im Experiment verwendeten Körper (z. B. Leiterschleife, Magnete) abweichen. Die Geschwindigkeit der Konturlinie in Bezug auf den Beobachter wird im Rahmen des Artikels mit ${\vec {u}}$ gekennzeichnet, während die Geschwindigkeit von Objekten mit dem Buchstaben ${\vec {v}}$ beschrieben wird.
• Im Gegensatz zur Bewegung der Konturlinie hat die Geschwindigkeit der Körper im Allgemeinen einen Einfluss auf die stattfindenden physikalischen Vorgänge. Das gilt insbesondere für die Feldgrößen ${\vec {E}}$ und ${\vec {B}}$, die der jeweilige Beobachter misst.

Induktionsgesetz in differentieller Form

Das Induktionsgesetz in differentieller Form lautet:

$\operatorname {rot} {\vec {E}}=-{\dot {\vec {B}}}$

Das Vorhandensein von elektrischen Wirbeln bzw. einer zeitveränderlichen magnetischen Flussdichte ist das wesentliche Kennzeichen von Induktion. In elektrischen Feldern ohne Induktion (z. B. in dem Feld unbewegter Ladungen) existieren keine geschlossenen Feldlinien der elektrischen Feldstärke $E$, und das Umlaufintegral der elektrischen Feldstärke ergibt immer Null.

Seine Hauptanwendung findet das Induktionsgesetz in differentieller Form einerseits bei theoretischen Herleitungen und in der numerischen Feldberechnung, andererseits (jedoch seltener) in der analytischen Berechnung konkreter technischer Fragestellungen.

Wie in Einsteins erstem Werk über die spezielle Relativitätstheorie gezeigt wurde, stehen die Maxwellgleichungen in differentieller Form in Übereinstimmung mit der speziellen Relativitätstheorie. Eine an den heutigen Sprachgebrauch angepasste Herleitung hierzu findet sich in dem inzwischen vergriffenen Lehrbuch von Simonyi.

Übergang von der differentiellen Form zur Integralform

Der Zusammenhang zwischen der Integralform und der differentiellen Form kann mithilfe des Satzes von Stokes mathematisch beschrieben werden. Dabei werden die globalen Wirbel- und Quellenstärken in lokale, diskrete Wirbel- bzw. Quellendichten, die einzelnen Raumpunkten (Punkten eines Vektorfeldes) zugeordnet sind, übergeführt.

Ausgangspunkt ist das Induktionsgesetz in differentieller Form:

$\operatorname {rot} {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

Zur Überführung in die integrale Form wird der Satz von Stokes verwendet, der aus naheliegenden Gründen mit der Variablen ${\vec {E}}$ formuliert wird:

$\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}\,{\text{d}}{\vec {s}}=\int \limits _{A}\operatorname {rot} {\vec {E}}\,{\text{d}}{\vec {A}}$

Ersetzt man im rechten Term des Stokesschen Gesetzes das Vektorfeld ${\vec {E}}$ entsprechend dem Induktionsgesetz in differentieller Form durch den Term $-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$, so ergibt sich

$\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}\,{\text{d}}{\vec {s}}=-\int \limits _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,{\text{d}}{\vec {A}}.$

Dieses ist eine mögliche allgemeine Form des Induktionsgesetzes in Integralform, die entgegen vielen anderslautenden Behauptungen sowohl für Konturlinien in ruhenden Körpern als auch in bewegten Körpern angewendet werden kann.

Um eine Formulierung zu erhalten, die den magnetischen Fluss $\Phi =\int \limits _{A}{\vec {B}}{\text{d}}{\vec {A}}$ enthält, addiert man auf beiden Seiten der Gleichung den Term $\oint \limits _{\partial A}({\vec {u}}\times {\vec {B}}){\text{d}}{\vec {s}}$. Dabei ergibt sich:

$\oint \limits _{\partial A}\left({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}\right)\,{\text{d}}{\vec {s}}=-\int \limits _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,{\text{d}}{\vec {A}}+\oint \limits _{\partial A}({\vec {u}}\times {\vec {B}}){\text{d}}{\vec {s}}$

Der rechte Teil der Gleichung entspricht wegen $\operatorname {div} {\vec {B}}=0$ der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses, sodass das Induktionsgesetz in Integralform in voller Allgemeingültigkeit auch folgendermaßen notiert werden kann:

$\oint \limits _{\partial A}\left({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}\right)\,{\text{d}}{\vec {s}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{A}{\vec {B}}{\text{d}}{\vec {A}}$

In vielen Lehrbüchern werden diese Zusammenhänge leider nicht richtig notiert, was daran erkennbar ist, dass der auf der linken Gleichungsseite notierte Term ${\vec {u}}\times {\vec {B}}$ fehlt. Richtig notiert wird das Induktionsgesetz hingegen beispielsweise bei Fließbach.

Der Irrtum besteht wahrscheinlich darin, dass der fehlende Term irrtümlich der elektrischen Feldstärke zugeschlagen wird. (Manche Autoren sprechen in diesem Zusammenhang auch von einer effektiven elektrischen Feldstärke.) In seiner Konsequenz führt das Weglassen des Terms ${\vec {u}}\times {\vec {B}}$ dazu, dass die Größe E inkonsistent verwendet wird und je nach Zusammenhang eine unterschiedliche Bedeutung hat.

Induktionsgesetz in Integralform

Die Spannung zwischen den beiden Punkten A und B entlang des eingezeichneten Weges ist die Summe der Produkte$-{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {r}}$ aus der elektrischen Feldstärke ${\vec {E}}$ und dem Wegstückchen ${\text{d}}{\vec {r}}.$

Im folgenden Abschnitt wird die erste Integralform des Induktionsgesetzes betrachtet:

$\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}=-\int _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,{\text{d}}{\vec {A}}$

Entsprechend der mathematischen Formulierung des Integrals wird die Fläche $A$ zu einem konstanten Zeitpunkt betrachtet und deren zeitliche Änderung nicht berücksichtigt.

Im Hinblick auf den Begriff der induzierten Spannung – das Integral über die elektrische Feldstärke – wird zunächst die im nebenstehenden Bild eingezeichnete Verbindungslinie zwischen den Punkten A und B in einem elektrischen Feld betrachtet.

Die Spannung zwischen den Punkten A und B („äußerer Pole“ einer „Steckdose“) kann man näherungsweise berechnen, indem man den Weg in viele kleine Wegelemente ${\text{d}}{\vec {r}}$ unterteilt. Da man aufgrund der nur geringen Länge näherungsweise von einer konstanten elektrischen Feldstärke entlang eines solchen Wegstückes ausgehen kann, ergibt sich für die Teilspannung entlang eines Wegelementes im Innern der Wert

$\mathrm {d} U\approx +{\vec {E}}(x,y,z)\cdot {\text{d}}{\vec {r}}={+{E}_{\text{tan}}}\,{\text{d}}r.$

Als Gesamtspannung zwischen beiden Punkten ergibt sich somit

$\Delta U\approx +{\vec {E}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}})\cdot {\text{d}}{{\vec {r}}_{1}}+{\vec {E}}({{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}})\cdot {\text{d}}{{\vec {r}}_{2}}+\ldots +{\vec {E}}({{x}_{n}},{{y}_{n}},{{z}_{n}})\cdot {\text{d}}{{\vec {r}}_{n}}.$

Die exakte Darstellung wird mithilfe eines Integrals definiert. Dieses kann man sich als Grenzwert für unendlich viele Wegstücke mit unendlich kleiner Länge $\left|{\text{d}}{\vec {r}}\right|\to 0$ vorstellen. Zur Berechnung definiert man i. A. eine von einem Parameter $\xi$ abhängige Funktion ${\vec {r}}(\xi )$, die im Bereich $\xi =0\dots 1$ die Punkte entlang der Wegstrecke beschreibt (im Innern also in Pfeilrichtung). Die Spannung zwischen beiden Punkten kann dann über ein Kurvenintegral formal erfasst werden:

$\Delta U=\int _{\xi =0}^{1}{{\vec {E}}(}{\vec {r}})\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}(\xi )}{\partial \xi }}{\text{d}}\xi =:\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {r}}\,,$ berechnet in Pfeilrichtung

Lässt man nun den Punkt entlang der Kontur $C=\partial A$ eines Gesamtumlaufes weiterwandern, bis er die eingeschlossene Fläche genau einmal umrundet hat und wieder mit Ausgangspunkt identisch wird (B=A), ergibt sich als Gesamtwert die in der geschlossenen Leiterschleife induzierte Umlaufspannung $U_{\text{ind}}$:

$U_{\text{ind}}=\oint _{C}E_{\text{tan}}\mathrm {d} r=\oint _{C}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

Hinsichtlich des Vorzeichens ist zu berücksichtigen, dass die Kontur die Fläche dabei im Sinne der Rechte-Hand-Regel umrundet.

Der dritte Ausdruck obiger Gleichungen ist dabei die dem zweiten Ausdruck gleichwertige vektorielle Darstellung des tangentialen Feldstärkeanteils mithilfe des Skalarproduktes, und die beiden Integrale sind sogenannte Ringintegrale, die immer dann verwendet werden, wenn (wie hier) längs eines geschlossenen Weges integriert wird, in diesem Fall entlang der Kontur der Leiterschleife C.

Die induzierte Spannung lässt sich bei einer nichtbewegten Leiterschleife näherungsweise als Spannungsabfall mit einem Spannungsmessgerät messen, wenn man entlang der geschlossenen Linie eine Leiterschleife anbringt und diese an einer Stelle auftrennt. Da über dem Leiterdraht nahezu keine elektrische Spannung abfällt, liegt die ganze induzierte Spannung zwischen den Klemmen.

Herleitung des Induktionsgesetzes für eine Leiterschleife

Um das Induktionsgesetz für die Leiterschleife

$U={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}$

herzuleiten, soll das Induktionsgesetz in Integralform II verwendet werden. Für eine wie im Induktionsgesetz für die Leiterschleife (ausnahmsweise) linkshändige Verknüpfung von Flächennormale und Umlaufrichtung entfällt das negative Vorzeichen, und das Induktionsgesetz lautet:

$\oint \limits _{\partial A}\left({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}\right)\,{\text{d}}{\vec {s}}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{A}{\vec {B}}{\text{d}}{\vec {A}}$

Die Konturlinie $\partial A$ soll dabei den Weg des Leiterdrahtes nachzeichnen und durch den kurzen Weg im Messgerät zu einem kompletten Umlauf vervollständigt werden. Aus diesem Grund sind die Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ der Konturlinie und die Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ der Leiterschleife immer identisch.

Zunächst soll gezeigt werden, dass das Integral über ${\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ innerhalb des Drahtes zu Null wird. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass sich das Leiterelement in die positive $x$-Richtung bewegt. Um diese differentielle Spannung in das Bezugssystem des als ruhend angenommenen Voltmeters zu transformieren, wird die Lorentztransformation angewendet. Für eine Bewegung des gestrichenen Bezugssystems mit der Geschwindigkeit $v$ in die positive x-Richtung lautet diese:

$E'_{x}=E_{x}~~~~~E'_{y}=\gamma (E_{y}-vB_{z})~~~~~E'_{z}=\gamma (E_{z}+vB_{y})$

Da der metallische Draht vereinbarungsgemäß sehr gut leitfähig ist, gilt dem ohmschen Gesetz entsprechend für die Feldstärke im bewegten System $E'_{x}=E'_{y}=E'_{z}=0$. Mithilfe der Lorentztransformation folgt daraus

$E_{x}=0~~~~~E_{y}=vB_{z}~~~~~E_{z}=-vB_{y}.$

Der Term ${\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ ergibt sich somit für einen Punkt innerhalb des Leiterdrahtes zu:

${\begin{pmatrix}0\\v\cdot B_{z}\\-v\cdot B_{y}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v\\0\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\v\cdot B_{z}\\-v\cdot B_{y}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-v\cdot B_{z}\\v\cdot B_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

Das Ringintegral $\oint ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})\,\mathrm {d} {\vec {s}}={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}$ wird aus diesem Grund vollständig in Form der Spannung $U={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}$ an den Klemmen der Anordnung sichtbar.

Ohmsches Gesetz für bewegte Leiter

Im Unterschied zu einem ruhenden Leiter, bei dem ausschließlich die elektrische Feldstärke stromtreibend wirkt, wirkt auf die Ladungen in einem bewegten Leiter die komplette Lorentzkraft

${\vec {F}}_{L}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}).$

Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten $v\ll c$ ist die im ruhenden Bezugssystem gemessene Lorentzkraft gleich groß wie die Kraft, die die Ladung im mitbewegten System erfährt.

Für bewegte Materialien, für die das ohmsche Gesetz gilt, kann die spezifische Leitfähigkeit $\kappa$ durch die Gleichung

${\vec {J}}=\kappa ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$

mit der elektrischen Feldstärke ${\vec {E}}$, der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ des jeweiligen Leiterelements und der magnetischen Flussdichte ${\vec {B}}$ definiert werden. Das ohmsche Gesetz lautet dann wie im Falle unbewegter Materialien

${\begin{aligned}\kappa ={\text{konstant}}\end{aligned}}.$

Anwendungen des allgemeinen Induktionsgesetzes

Bei Anwendungen des Induktionsgesetzes muss strikt darauf geachtet werden, in welchem Bezugssystem die zugehörigen Vorgänge beschrieben werden. Denn die elektromagnetischen Feldgrößen ändern sich bei einer Änderung des Bezugssystems. Dies soll an einem Beispiel erläutert werden:

• Ein Beobachter betrachtet eine Ladung $q$, die sich relativ zu ihm nicht bewegt. Er stellt fest, dass ein elektrisches Feld ${\vec {E}}$ existiert, die magnetische Flussdichte aber an allen Orten gleich Null ist: ${\vec {B}}=0$
• Bewegt sich der Beobachter von der Ladung weg, so erkennt er in der relativ zu ihm bewegten Ladung einen elektrischen Strom, der ein magnetisches Feld mit sich führt. Er wird also ein elektrisches Feld und ein magnetisches Feld beobachten.

Die gegenseitige Umwandlung der Felder ineinander wird durch die sogenannte Lorentztransformation beschrieben, die aus der speziellen Relativitätstheorie hervorgeht.

Bewegen sich die Ladungen relativ zum Beobachter nur mit kleinen Geschwindigkeiten $v\ll c$, so wird der Beobachter in jedem solchen Bezugssystem die gleiche Größe der Lorentzkraft

${\vec {F}}_{L}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$

messen. Das kann man so interpretieren, dass bei einer Änderung des Bezugssystems elektrische und magnetische Anteile der Kraft ineinander übergehen.

Bei relativistischen Geschwindigkeiten ist zu berücksichtigen, dass der Begriff der (dreikomponentigen) Kraft aus der klassischen (nichtrelativistischen) Mechanik stammt und zwei sehr schnell gegeneinander bewegte Beobachter bei dem gleichen physikalischen Vorgang stets unterschiedliche Kräfte beobachten. Zur korrekten Beschreibung relativistischer Kräfte eignen sich die sogenannten Viererkräfte, die Elemente eines Minkowski-Raumes sind.

Induktion in ruhenden Systemen

Einleitend sollen zwei Beispiele mit ruhenden Komponenten betrachtet werden. Da sich bei einer ruhenden Anordnung die Position der elektrischen Leitungen und Bauelemente mit der Zeit nicht ändert ($v=0$), ist es zweckmäßig, das Induktionsgesetz für eine ruhende Flächenkontur (${\vec {u}}=0$) zu wählen. In diesem Spezialfall sind das Flächenintegral über die zeitliche Ableitung der Flussdichte und die totale Flussänderung identisch, und es gilt:

$\int _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int _{A}{\vec {B}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$

Unterbrochene metallische Leiterschleife

Fast geschlossene Leiterschleife im Magnetfeld ${\vec {B}}(t)$

Im einfachsten Fall liegt eine metallische Leiterschleife mit Unterbrechung vor. Da das Innere eines Leiters bei vernachlässigbarem Stromfluss bzw. hoher elektrischer Leitfähigkeit feldfrei ist (${\vec {E}}=0$), tritt die gesamte Umlaufspannung an den Klemmen als Spannung

$u_{11'}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int _{A}{\vec {B}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=-{\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}$

auf.

Bei Zunahme des B-Felds während des Zeitschrittes ${\text{d}}t$ liegt eine Vergrößerung des magnetischen Flusses

$\Phi =\int _{A}{\vec {B}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$

vor, da das B-Feld und die Flächennormale von $A$ in die gleiche Richtung zeigen. Dem Minuszeichen im Induktionsgesetz entsprechend ist die Spannung $u_{11'}$ negativ. Bei Abnahme des B-Felds während des Zeitschrittes ${\text{d}}t$ liegt eine Verringerung des Flusses vor. Dem Minuszeichen im Induktionsgesetz entsprechend ist die Spannung $u_{11'}$ positiv.

Geschlossene ideal-leitende Leiterschleife

Kurzschlussschleife

Eine geschlossene Leiterschleife mit idealer Leitfähigkeit verhindert, dass sich der magnetische Fluss durch die von der Leiterschleife aufgespannte Fläche ändert, denn wegen der idealen Leitfähigkeit des Metalls ist das Umlaufintegral des elektrischen Feldes gleich Null, und es gilt:

$0=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int _{A}{\vec {B}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$

Das Entstehen der Flussänderung wird durch die in der Leiterschleife induzierten Ströme verhindert, was i. A. eine lokale Änderung der Flussdichte erzeugt, da das magnetische Feld der induzierten Ströme in Leiternähe am größten ist und somit in der Nähe der Leiter die größte Kompensationswirkung stattfindet. Der Gesamtfluss, das heißt die über die gesamte Schleifenfläche integrierte Flussdichte, ändert sich dabei jedoch nicht.

Leiterschleife mit endlichem Widerstand

In der Praxis ist der elektrische Widerstand einer Leiterschleife stets größer als Null. Ist R der elektrische Widerstand des Leiters, so gilt

$R\cdot i(t)=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int _{A}{\vec {B}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}.$

Wegen des Widerstands des elektrischen Leiters fließt ein elektrischer Strom, der dem magnetischen Feld die Momentanleistung $P(t)=R\cdot i^{2}(t)$ entzieht und die Leiterschleife erwärmt. Nach diesem Prinzip arbeiten u. a. Induktionsherde, wobei die Energie zur ständigen Änderung des Magnetfeldes aus dem Haushaltsnetz stammt.

Die Aussage, dass der Strom $i(t)$ seiner Ursache entgegenwirkt, ist im Sinne des gewählten Beschreibungsmodells problematisch. Tatsächlich fließt bei steigendem magnetischen Fluss wegen des Minuszeichens im Induktionsgesetz ein Strom entgegen der eingezeichneten positiven Stromrichtung. Dieser Strom erzeugt gemäß dem Durchflutungssatz eine magnetische Feldstärke H, die andersherum zeigt als das B-Feld. Es ist jedoch zu beachten, dass das Induktionsgesetz nicht zwischen Selbsterregung und Fremderregung unterscheidet. Insofern ist die Kompensationswirkung des induzierten Stromes schon im magnetischen Fluss $\Phi$, der bei der Berechnung verwendet wird, enthalten.

Induktion in bewegten Systemen

In Messsystemen mit bewegten Komponenten treten auch schon bei kleinen Geschwindigkeiten $v\ll c$ relativistische Effekte auf. Diese grundsätzliche Tatsache wird durch ein einfaches Gedankenexperiment deutlich:

• Ein Beobachter, der eine (relativ zu ihm nicht bewegte) Ladung beobachtet, wird ein elektrisches Feld messen, jedoch aufgrund des fehlenden Stromflusses kein magnetisches Feld.
• Bewegt sich der Beobachter hingegen auf die Ladung zu oder von ihr weg, so wird er einerseits bemerken, dass sich aufgrund der Bewegung das elektrische Feld verändert. Das bedeutet, dass der Beobachter bei gleicher Entfernung von der Ladung, aber anderer Relativgeschwindigkeit zur Ladung ein unterschiedliches E-Feld misst. Andererseits interpretiert der Beobachter die Ladung aber auch als einen Strom, der sich von ihm fort oder auf ihn zubewegt. Der Beobachter wird also zusätzlich zum elektrischen Feld ein magnetisches Feld erkennen.

Damit bei Messungen mit bewegten Komponenten keine Missverständnisse auftreten, ist die Angabe des Bezugssystems, relativ zu dem die Beobachtungen beschrieben werden, unbedingt erforderlich.

Bewegter Leiterstab im Magnetfeld

Experiment mit einem bewegten Leiterstab im zeitl. konstanten B-Feld

Es herrschen die gleichen Bedingungen wie im Absatz 2.1.

Betrachtet wird der nebenstehende Leiterstab im Magnetfeld. Da die Leiterschleife geöffnet ist, gilt $I=0$ und daher:

${\vec {J}}=\kappa ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}_{0})=0$

In dem mit der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ bewegten Leiterstab ergibt sich somit aus Sicht eines Beobachters im Ruhesystem die Feldstärke

${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}_{0}\neq 0,$

während im Bereich des ruhenden Leiters mit ${\vec {v}}=0$ eine Feldstärke von

${\vec {E}}=0$

herrscht.

Berechnet man das Ringintegral über die elektrische Feldstärke entlang des gesamten Stromkreises im Uhrzeigersinn, so ergibt sich

$\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}=-U+vLB_{0}$

Das Ringintegral lässt sich jedoch auch über das Induktionsgesetz in der Integralform I

$\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}=-\int \limits _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}{\text{d}}{\vec {A}}$

formulieren, was sich wegen ${\dot {\vec {B}}}=0$ zu

$\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}=0$

vereinfacht.

Das Ergebnis für die an den Klemmen messbare Spannung lautet dementsprechend

${\begin{aligned}U=vLB_{0}\end{aligned}}.$

Da das genannte Beispiel in vielen Darstellungen als ein Beispiel für elektromagnetische Induktion dargestellt wird, soll ausdrücklich bekräftigt werden, dass die Klemmenspannung nicht auf Wirbel des elektrischen Feldes zurückgeführt werden kann, da wegen $\operatorname {rot} {\vec {E}}={\dot {\vec {B}}}=0$ keine solchen vorhanden sind. Wie das Feldlinienbild zeigt, liegt ein reines Potentialfeld vor. Diese zeigen von positiven Ladungen auf der Oberfläche der oberen Schiene zu negativen Ladungen auf der Oberfläche der unteren Schienen. In diesem Sinne kann der physikalische Vorgang, der bei diesem Experiment stattfindet, mit dem Aufladen eines Kondensators verglichen werden.

Heringsches Paradoxon

Ein Permanentmagnet wird in die Leiterschleife hineinbewegt. Obwohl in der betrachteten Fläche eine Flussänderung auftritt, schlägt das Voltmeter nicht aus.

Das nebenstehend dargestellte Experiment zum Heringschen Paradoxon, benannt nach Carl Hering, zeigt, dass am Spannungsmessgerät kein Ausschlag stattfindet, obwohl eine Flussänderung vorliegt.

Anordnung: Ein elektrisch ideal leitfähiger Permanentmagnet wird mit der Geschwindigkeit $v$ in eine Leiterschleife hineinbewegt. Die obere und untere Kontaktfläche des Magneten sind über feststehende Rollen elektrisch leitend mit den eingezeichneten Leiterdrähten verbunden.

Intuitive Herangehensweise: Außerhalb einer formalen Betrachtung ist die Klemmenspannung $U=0$ unmittelbar einleuchtend. Denn letztlich besteht die Anordnung aus einer von einem Voltmeter unterbrochenen ruhenden Leiterschleife im feldfreien Raum. Die Tatsache, dass die zwei Enden der Leiterschleife mit einem bewegten Permanentmagneten in Kontakt kommen, ändert daran nichts, da die Ladung des Permanentmagneten diesen erfahrungsgemäß nicht ohne Einwirkung einer äußeren Kraft verlässt.

Paradoxon: Der scheinbare Widerspruch des Experimentes wird bei einer formalen Betrachtung deutlich. Hierzu ist es günstig, sich in das Bezugssystem zu versetzen, in dem das Voltmeter ruht (Laborsystem). Es soll untersucht werden, ob das experimentelle Ergebnis dem Induktionsgesetz widerspricht. Zur Anwendung des Induktionsgesetzes muss zunächst ein geschlossener Integrationsweg gewählt werden. Es soll vereinbart werden, dass dieser durch das Voltmeter und entlang der Leiterschleife verläuft und durch die rote (feststehende) Linie komplettiert wird, die durch den Magneten geht. Die Fläche, durch die der magnetische Fluss definiert wird, wird von diesem Umlaufweg berandet und soll sich zeitlich nicht verändern.

Offensichtlich führt die Bewegung des Permanentmagneten zu einer Flussänderung in der aufgespannten Fläche, denn vor dem Einbringen des Magneten durchdringt keine Flusslinie die Fläche, danach aber schon. Aufgrund der Gültigkeit des Induktionsgesetzes

$\oint \limits _{\partial A(t)}{{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {s}}}=-\int \limits _{A(t)}{{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}}\neq 0$

könnte man nun glauben, dass das Voltmeter eine Spannung der Größe $\oint \limits _{\partial A(t)}{{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}}$ anzeigen müsste. Denn schließlich, so die falsche Überlegung, kann weder im gut leitenden Magneten, noch im Leiterdraht ein E-Feld vorliegen; das vom Induktionsgesetz vorausgesagte elektrische Feld muss sich also zwischen den Klemmen des Voltmeters befinden und vom Voltmeter angezeigt werden. Im Experiment zeigt das Voltmeter überraschenderweise jedoch zu keinem Zeitpunkt einen Ausschlag. Diesen scheinbaren Widerspruch beschreibt das Heringsche Paradoxon.

Lösung: Die Überlegung, die zu dem scheinbaren (paradoxen) Widerspruch führt, berücksichtigt nicht die Lorentztransformation für die elektrische Feldstärke und kommt daher zu einem falschen Ergebnis. Die folgende Darstellung dient dazu zu zeigen, dass das Problem bei richtiger Anwendung der Lorentztransformation nicht zu einem Widerspruch führt:

Wie zuvor betrachten wir die Vorgänge aus Sicht eines Beobachters beim Voltmeter. Der Integrationsweg führt entlang der Leiterschleife und wird durch die rote Linie komplettiert. Für die elektrische Feldstärke gilt Folgendes:

1. In der unbewegten Drahtschleife wirkt aufgrund der hohen Leitfähigkeit eine elektrische Feldstärke von $E=0.$
2. Im Voltmeter herrscht offenbar ebenfalls keine elektrische Feldstärke (Beweis: das Voltmeter zeigt $U=0$ an).
3. Im Bereich des sich bewegenden Magneten gilt aus Sicht eines mit dem Magneten mitbewegten Beobachters ${\vec {E}}'=0,$ da der Magnet voraussetzungsgemäß eine gute elektrische Leitfähigkeit aufweisen soll. Entsprechend der Lorentztransformation für die elektrische Feldstärke ergibt sich daraus für den Beobachter im Laborsystem eine Feldstärke ${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}.$ (Diese elektrische Feldstärke wurde bei der Erklärung, die zu dem scheinbaren Widerspruch führt, übersehen!)

Wir setzen das Induktionsgesetz in der zweiten Integralform

$\oint \limits _{\partial A}{({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}(t)){\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}$

an. Da sich der Integrationsweg zeitlich nicht ändert (${\vec {u}}=0$), kann es auch als

$\oint \limits _{\partial A}{{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}$

geschrieben werden.

Die induzierte Spannung $\oint {\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}$ setzt sich aus der Klemmenspannung am Voltmeter und der über die Länge $L$ im Magneten integrierten elektrischen Feldstärke zusammen. Entsprechend der Gleichung ${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ für die Lorentztransformation zeigt die elektrische Feldstärke im Magneten „nach oben“. Wird das Ringintegral über die elektrische Feldstärke wie üblich rechtshändig zur Flächennormalen durchgeführt (d. h. hier: im Uhrzeigersinn), so ergibt sich

$\oint \limits _{\partial A}{{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}}=(-U)-LvB.$

In der Zeit ${\text{d}}t$ vergrößert sich die vom Integrationsweg eingeschlossene Fläche des Magneten um ${\text{d}}A_{\Phi }=Lv{\text{d}}t$ und der magnetische Fluss somit um ${\text{d}}\Phi =LvB{\text{d}}t.$ Der rechte Teil der Gleichung ergibt somit

${\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}=LvB.$

Setzt man diese Größen in das Induktionsgesetz ein, so ergibt sich $-U-LvB=-LvB,$ d. h.

$U=0{\frac {}{}}.$

Das elektrische Feld, das man eigentlich im Voltmeter zu finden erwartet hätte, befindet sich Permanentmagneten. Das bereitet vielen Lernenden Verständnisprobleme, da sie in einem Analogieschluss zum Induktionsgesetz für eine Leiterschleife implizit davon ausgehen, dass die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses immer an den Klemmen abgreifbar ist. Der wesentliche Unterschied zum Induktionsgesetz für eine Leiterschleife besteht darin, dass im vorliegenden Fall die Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ der Konturlinie der Schleife, die rote Linie im Magneten und die Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ des Leiters (hier: des Magneten) sich voneinander unterscheiden. Das Heringsche Paradoxon zeigt keine Ausnahme vom Induktionsgesetz, sondern es ist – wie gezeigt – problemlos mit dem Induktionsgesetz vereinbar.

Technische Anwendungen

Historischer Induktionsapparat aus dem Physikunterricht

• Induktionsschleife für Kfz zur Steuerung von Verkehrsampelanlagen und Schranken
• dynamisches Mikrofon
• dynamisches (Magnet-) Tonabnehmersystem für Plattenspieler
• Tonabnehmer für elektrische Saiteninstrumente (z. B. E-Gitarre und E-Bass)
• Tonkopf zur Abtastung von Magnetbändern
• Generator = Dynamo = Lichtmaschine
• RFID-Tag (beispielsweise Ski-Pass)
• Transkranielle Magnetstimulation
• Induktionsgeber (auch induktiver Impulsgeber) als Drehzahlsensor (z. B. im Kfz–Bereich)
• Induktionshärten
• Induktionslampe
• Induktionssender
• Transformator
• Ringschleifenanlage für die Übertragung von Audiosignalen in Hörgeräte
• Aufwärtswandler
• Betatron
• Induktions-Linearbeschleuniger

Eine elektromagnetische Kraft (EMK), d. h. eine an den Klemmen messbare Spannung, ist immer dann vorhanden, wenn sich der magnetische Fluss durch die Spule ändert: Da der Fluss das Produkt aus Flussdichte und Fläche ist, kann sich dazu entweder die Flussdichte B oder die Fläche A ändern; oder beides geschieht. Eine Änderung der Fläche wird erreicht, indem man z. B. die Spule in einem konstanten Magnetfeld oder einen Magneten in einer Spule dreht. Die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche ist Null, wenn die Spule quer zum Magnetfeld steht, sie ist maximal, wenn das Feld die Spule axial durchsetzt. Nach diesem Prinzip wird in einem Generator (Dynamomaschine) Strom erzeugt, der z. B. an nicht mitrotierenden Kontaktschleifen abgegriffen werden kann.

Eine Änderung der Flussdichte erreicht man u. a. durch ein veränderliches Magnetfeld. Nach diesem Prinzip wird in der Sekundärwicklung eines Transformators bei Speisung der Primärwicklung mit einer Wechselspannung eine Wechselspannung induziert, deren Höhe proportional zum Verhältnis der Windungszahlen ist.

Hierunter fallen auch alle Arten der induktiven Erwärmung durch Wirbelstrom: der Induktionsofen, Induktionshärten, das Induktionsfeld usw.

Induktive Erwärmung von Werkstoffen: Induktionsöfen werden vorwiegend in der Industrie zum Härten, Löten, Schmelzen usw. eingesetzt. Diese Technik kommt aber zunehmend auch in der privaten Anwendung vor, beispielsweise in der Küche als Induktionskochfeld.

Selbstinduktion

→ Hauptartikel: Selbstinduktion

Literatur

• Karl Küpfmüller, Gerhard Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik. 14. Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-56500-0. 
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Elektromagnetische Felder, Maxwell-Gleichungen, Gradient, Rotation, Divergenz. 6. Auflage. Springer, 2002, ISBN 3-540-42018-5. 
• Heinrich Frohne, Karl-Heinz Löcherer, Hans Müller, Thomas Marienhausen, Dieter Schwarzenau: Moeller Grundlagen der Elektrotechnik (Studium). 22. Auflage. Vieweg + Teubner Verlag, Springer Fachmedien, Berlin und Offenbach 2011, ISBN 978-3-8348-0898-1, S. 252 ff. 

Weblinks

• Elektromagnetische Induktion. Induktion auf Schülerniveau bei LeiFi-Physik.
• Helmut Haase: Spannungsinduktion und Flussregel. (Memento vom 29. August 2014 im Internet Archive) (PDF, 21 Seiten, 2,5 MB).