Elliptische Koordinaten

Elliptische Koordinaten in der Ebene für c = 1. Die numerische Elliptizität ist hier mit e bezeichnet.

In einem elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt der Ebene durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt. Allgemeiner existieren auch elliptische Koordinatensysteme im dreidimensionalen Raum.

Ebene elliptische Koordinaten

Definition

Üblicherweise wählt man die zwei Brennpunkte an den Stellen $-c$ und $+c$ auf der x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Der Punkt mit den elliptischen Koordinaten $(u,v)$ hat dann die kartesischen Koordinaten

$x=c\cdot \cosh u\cdot \cos v;\quad y=c\sinh u\cdot \sin v.$

mit $u\in \left[0,\infty \right[$ und $v\in \left[0,2\pi \right[$. Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf, so gilt

$x+iy=c\cdot \cosh(u+iv).$

Eigenschaften

Die $u$-Koordinatenlinien sind Hyperbeln, die $v$-Koordinatenlinien Ellipsen. Für $u=0$ ist die $v$-Koordinatenlinie zur Verbindungsstrecke der beiden Brennpunkte entartet. Für $v=0$ ist die $u$-Koordinatenlinie zur Halbgeraden $\left[c,\infty \right[$ auf der x-Achse entartet, für $v=\pi$ zur dazu spiegelsymmetrischen Halbgerade auf der negativen x-Achse. Für $v={\frac {\pi }{2}}$ und $v={\frac {3\pi }{2}}$ ist die $u$-Koordinatenlinie die positive bzw. die negative y-Achse.

Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizität e = c. Die Ellipsen, auf denen $u$ konstant ist, haben die große Halbachse $a=c\cosh u$, die kleine Halbachse $b=c\sinh u$ und numerische Exzentrizität $\varepsilon ={\frac {1}{\cosh u}}$. Die Hyperbeln, auf denen $v$ konstant ist, haben die reelle Halbachse $a=c\cos v$, die imaginäre Halbachse $b=c\sin v$ und numerische Exzentrizität $\varepsilon ={\frac {1}{\cos v}}$.

Verallgemeinerung auf drei Dimensionen

Diese elliptischen Koordinaten können auf verschiedene Arten auf den dreidimensionalen Raum erweitert werden. Bei zylindrischen elliptischen Koordinaten wird einfach die kartesische z-Koordinate als weitere Koordinate hinzugefügt. Bei polaren elliptischen Koordinaten wird die Ebene um einen Winkel $\theta$ gedreht, der dann die zusätzliche Koordinate bildet:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=c\cdot \left[\cosh u\cdot \cos v\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\sinh u\cdot \sin v\cdot {\begin{pmatrix}0\\\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\right]$

Schließlich gibt es noch räumlich elliptische Koordinaten:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=c\cdot \left[\cosh u\cdot \cos v\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+\sinh u\cdot \sin v\cdot {\begin{pmatrix}0\\\cos \theta \\b\cdot \sin \theta \end{pmatrix}}\right]$

Hier ist b ein weiterer Parameter des Koordinatensystems. Die $\theta$-Koordinatenlinien sind hier Ellipsen. Die Koordinate $v$ läuft hier von 0 bis $\pi$, die Koordinate $u$ von 0 bis unendlich und $\theta$ von 0 bis $2\pi$.

Anwendungen

Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H₂⁺-Molekül in Born-Oppenheimer-Näherung analytisch gelöst werden.