Elliptische Koordinaten

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Elliptische Koordinaten in der Ebene für c = 1. Die numerische Elliptizität ist hier mit e bezeichnet.

In einem elliptischen Koordinatensystem wird ein Punkt der Ebene durch Angabe der Lage auf konfokalen Ellipsen und Hyperbeln bestimmt. Allgemeiner existieren auch elliptische Koordinatensysteme im dreidimensionalen Raum.

Ebene elliptische Koordinaten[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Üblicherweise wählt man die zwei Brennpunkte an den Stellen -c und +c auf der x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems. Der Punkt mit den elliptischen Koordinaten (u,v) hat dann die kartesischen Koordinaten

 x = c \cdot  \cosh u \cdot \cos v; \quad y = c \sinh u \cdot \sin v .

mit u \in \left[0,\infty\right[ und v \in \left[0, 2\pi\right[. Fasst man die Ebene als komplexe Ebene auf, so gilt

x + i y = c \cdot \cosh (u + i v).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die u-Koordinatenlinien sind Hyperbeln, die v-Koordinatenlinien Ellipsen. Für u=0 ist die v-Koordinatenlinie zur Verbindungsstrecke der beiden Brennpunkte entartet. Für v=0 ist die u-Koordinatenlinie zur Halbgeraden \left [c, \infty \right [ auf der x-Achse entartet, für v=\pi zur dazu spiegelsymmetrischen Halbgerade auf der negativen x-Achse. Für v=\frac \pi 2 und v=\frac{3\pi}2 ist die u-Koordinatenlinie die positive bzw. die negative y-Achse.

Alle Ellipsen und Hyperbeln haben die gleiche lineare Exzentrizität e = c. Die Ellipsen, auf denen u konstant ist, haben die große Halbachse a = c \cosh u, die kleine Halbachse b = c \sinh u und numerische Exzentrizität \varepsilon = \frac 1 {\cosh u}. Die Hyperbeln, auf denen v konstant ist, haben die reelle Halbachse a = c \cos v, die imaginäre Halbachse b = c \sin v und numerische Exzentrizität \varepsilon = \frac 1 {\cos v}.

Verallgemeinerung auf drei Dimensionen[Bearbeiten]

Diese elliptischen Koordinaten können auf verschiedene Arten auf den dreidimensionalen Raum erweitert werden. Bei zylindrischen elliptischen Koordinaten wird einfach die kartesische z-Koordinate als weitere Koordinate hinzugefügt. Bei polaren elliptischen Koordinaten wird die Ebene um einen Winkel \theta gedreht, der dann die zusätzliche Koordinate bildet:

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = c \cdot \left[\cosh u \cdot \cos v \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \sinh u \cdot \sin v \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix}\right]

Schließlich gibt es noch räumlich elliptische Koordinaten:

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = c \cdot \left[\cosh u \cdot \cos v \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \sinh u \cdot \sin v \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ \cos\theta \\ b \cdot \sin\theta \end{pmatrix}\right]

Hier ist b ein weiterer Parameter des Koordinatensystems. Die \theta-Koordinatenlinien sind hier Ellipsen. Die Koordinate v läuft hier von 0 bis \pi, die Koordinate u von 0 bis unendlich und \theta von 0 bis 2\pi.

Anwendungen[Bearbeiten]

Durch die Transformation auf elliptische Koordinaten kann die Schrödinger-Gleichung für das H2+ - Molekül in Born-Oppenheimer-Näherung analytisch gelöst werden.