Eulersche Gerade

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Dieser Artikel behandelt die eulersche Gerade eines Dreiecks und eines Tetraeders. Die eulersche Linie oder der eulersche Kreis der Graphentheorie ist ein anderer Artikel.

Dreieck[Bearbeiten]

Unter der eulerschen Geraden eines Dreiecks (auch Eulergeraden, benannt nach dem Mathematiker Leonhard Euler) versteht man die Gerade, die durch den Schwerpunkt, den Umkreismittelpunkt und den Höhenschnittpunkt des Dreiecks geht. Für das allgemeine Tetraeder im dreidimensionalen Raum gibt es den analogen Begriff (s. u.).

Außerdem gilt \overline{HS}: \overline{SU} = 2: 1, wobei der Schwerpunkt S zwischen dem Höhenschnittpunkt H und dem Umkreismittelpunkt U liegt. Daraus ergibt sich auch 2 U + H = 3 S. Die eulersche Gerade geht auch durch den Mittelpunkt des Feuerbachkreises (der zugleich der Mittelpunkt der Strecke \overline{HU} ist).

Eulersche Gerade.svg

In einem gleichschenkligen Dreieck stimmt die eulersche Gerade mit der zur Basis gehörigen Seitenhalbierenden (Mittelsenkrechten, Höhe, Winkelhalbierenden) überein. Im Falle eines gleichseitigen Dreiecks kann man nicht mehr von der eulerschen Geraden sprechen, weil dann die drei bestimmenden Punkte S, U und H zu einem Punkt zusammenfallen. (Sonst könnte ja jede Gerade durch diesen einen Punkt als eulersche Gerade aufgefasst werden, was man aber der Eindeutigkeit halber vermeidet.)

Auf der eulerschen Geraden des Dreiecks ABC liegt auch der Umkreismittelpunkt des Dreiecks, das von den Tangenten an den Umkreis des Dreiecks ABC in den Punkten A, B und C gebildet wird. Darüber hinaus enthält die eulersche Gerade noch weitere ausgezeichnete Punkte des Dreiecks, unter anderem den Longchamps-Punkt und den Schiffler-Punkt.

Tetraeder[Bearbeiten]

Für ein allgemeines Tetraeder   \mathcal{T} \subset \R^3 nennt man (in Analogie zum zweidimensionalen Fall des Dreiecks) die eulersche Gerade oder Eulergerade (engl. Euler line ) von   \mathcal{T}  diejenige Gerade  e(\mathcal{T}) \subset \R^3 , welche den Schwerpunkt  S({\mathcal{T}}) von   \mathcal{T} und den Mittelpunkt  Z({\mathcal{T}}) der Umkugel von   \mathcal{T} verbindet[1].

Weblinks[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Altshiller-Court: S. 77.