Exakter Funktor

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Exakter Funktor ist ein mathematischer Begriff aus der Kategorientheorie.

Definition[Bearbeiten]

Ein additiver, kovarianter Funktor F:\mathfrak{C}\rightarrow \mathfrak{D} heißt

  • halbexakt, falls FA\rightarrow FA'\rightarrow FA'' exakt ist
  • linksexakt, falls 0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA'' exakt ist
  • rechtsexakt, falls FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0 exakt ist
  • exakt, falls 0\rightarrow FA\rightarrow FA'\rightarrow FA''\rightarrow 0 exakt ist

für alle kurzen exakten Sequenzen 0\rightarrow A \rightarrow A' \rightarrow A'' \rightarrow 0 in \mathfrak{C}.[1] [2]

Ein kontravarianter Funktor F:\mathfrak{C}\rightarrow \mathfrak{D} heißt halb/links/rechts/exakt, falls er dies als kovarianter Funktor \mathfrak{C}^{op}\rightarrow \mathfrak{D} ist.

Halbexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien sind additive Funktoren.[3]

Beispiele[Bearbeiten]

\mathfrak{Ab}\to\mathfrak{Ab},\quad M\mapsto nM
auf der Kategorie der abelschen Gruppen additiv und erhält Mono- und Epimorphismen, ist jedoch nicht exakt.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Definition 3.1.
  2. Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2 (formal falsche ISBN), Kapitel III, Definition 32.
  3. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.