Extremwerttheorie

Die Extremwerttheorie (Englische Benennung: Extreme-event statistics) ist eine mathematische Disziplin, die sich mit Ausreißern, d. h. maximalen und minimalen Werten von Stichproben, beschäftigt.

Ein zentrales Resultat ist die Tatsache, dass für das Maximum (und das Minimum) einer Stichprobe (egal welcher Verteilung) im Wesentlichen nur drei Grenzverteilungen möglich sind.

Formal: Es seien $X_{1},\ldots ,X_{n}$ unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in den reellen Zahlen und $M_{n}=\max _{i}X_{i}$ ihr Maximum. Ferner bezeichne $F(x)=P(M_{n}<x)\;$ die Verteilungsfunktion von $M_{n}$, und sei G eine nicht-degenerierte Verteilungsfunktion - also keine Funktion, die nur einen Wert annehmen kann. Falls dann Folgen $a_{n},b_{n}\;$ existieren, so dass die Konvergenz $F(b_{n}+a_{n}x)\rightarrow G(x)\;$ gilt, so kann G nur eine der folgenden Verteilungen sein, je nachdem, ob die Ausläufer der Verteilung exponentiell abfallen, polynomiell abfallen, oder an einer Stelle den Wert Null erreichen:

• Gumbel-Typ (Typ I). Genauer: Wenn die Variable $x$ eine Gumbel-Verteilung hat, so hat $\log(x)$ eine Extremwertverteilung vom Typ I.
• Fréchet-Typ (Typ II). Genauer: Wenn die Variable $x$ eine Fréchet-Verteilung hat, so hat $1/x$ eine Extremwertverteilung vom Typ II.
• Weibull-Typ (Typ III). Genauer: Wenn die Variable $x$ eine Weibull-Verteilung hat, so hat $-x$ eine Extremwertverteilung vom Typ III.

Diese drei Verteilungen können auch zu einer einzigen Klasse (Jenkinson-von-Mises-Darstellung) parametrisiert werden. Die (oder eine) verallgemeinerte Verteilung heißt Extremwertverteilung. Als Parameter werden oft K, σ und μ verwendet, wobei K<0 eine Typ III Verteilung beschreibt und K>0 eine Typ II Verteilung.

Sie findet unter anderem Anwendung in der Finanzmathematik und Versicherungsmathematik. Die Theorie wurde u.a. angewendet für die Untersuchung der Rekordentwicklung in der Leichtathletik und von Klimarekorden.

Typische Fragestellungen könnten unter anderem sein:

• Wie hoch soll ein Staudamm gebaut werden, wenn man sichergehen möchte, dass er in den nächsten 100 Jahren nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % überschwemmt wird?
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines Börsencrashs im kommenden Jahr, der zu einem Kursverfall von mehr als 15 % führt?

Anwendungen: Nicht-Normalverteilungen mit "Fat tails"

Für solche sehr seltene Ereignisse, also z. B. sehr hohe wirtschaftliche Gewinne bzw. Verluste, sind in der Wahrscheinlichkeitstheorie der extremen Ereignisse unter Umständen nicht mehr die gewohnten Normalverteilungen (oder Überlagerungen davon) charakteristisch, die sich wie Gaußfunktionen verhalten, also wie „Standard-Glockenkurven“ der Breite $\sigma$, genauer: wie $dx'/{\sqrt {2\pi \sigma }}\,\cdot e^{-{(x-x')^{2}}/(2\sigma )},$ die also im Randbereich rascher als exponentiell abfallen. Stattdessen dominieren Verteilungsfunktionen, die im Zentralbereich wie Gaußfunktionen aussehen, aber im Randbereich nur algebraisch klein werden, $\sim dx'\cdot |x-x'|^{-\alpha },$ mit einem charakteristischen „fat tail“-Exponenten, der in der physikalischen Literatur mit $\alpha$ bezeichnet wird und bestimmte „universelle“ Werte annehmen kann.

Literatur

• Emil Julius Gumbel: Statistics of extremes. Columbia University Press, New York (1958).
• Laurens de Haan, Ana Ferreira: Extreme Value Theory, Springer 2006

Weblinks

• Advanced Extremal Models for Operational Risk (pdf-Datei)
• Wenn es um Kopf und Kragen geht: Extremwerttheorie (pdf-Datei)