Gumbel-Verteilung

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Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Rossi-Verteilung und die Frechet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört.

Definition[Bearbeiten]

Dichtefunktion f(x) der Gumbel-Verteilung

Eine stetige Zufallsgröße X genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalierungsparameter \beta>0 und Lageparameter \mu\in\mathbb{R}, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x)= \frac{1}{\beta}\mathrm{e}^{-\frac{1}{\beta}(x-\mu)} \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-\frac{1}{\beta}(x-\mu)}},~ x\in\mathbb{R}

und damit die Verteilungsfunktion

F(x)= \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-\frac{1}{\beta}(x-\mu)}},~ x\in\mathbb{R}

besitzt.

Standard-Fall[Bearbeiten]

Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter \mu=0 und \beta=1 gemeint. Damit ergibt sich die Dichte

f(x)= \mathrm{e}^{-x} \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-x}},~ x\in\mathbb{R}

und die Verteilungsfunktion

F(x)= \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-x}},~ x\in\mathbb{R}

Durch die affin-linearen Transformationen X \mapsto Y := \mu + \beta X erhält man die ganze oben angegebene Klasse von Verteilungen mit den Eigenschaften

F_Y(x) = F\left(\frac{x-a}{b}\right)
f_Y(x) = \frac{1}{b} f\left(\frac{x-a}{b}\right)
\operatorname{E}(Y) = b \operatorname{E}(X) + a
\operatorname{Var}(Y) = b^2 \operatorname{Var}(X).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erwartungswert[Bearbeiten]

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

 \operatorname{E}(X) = \mu + \beta \gamma.

Dabei ist \gamma \approx 0,5772 die Euler-Mascheroni-Konstante.

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

\operatorname{Var}(X) = \frac{(\pi\beta)^{2}}{6}.

Standardabweichung[Bearbeiten]

Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

\sigma = \frac{\pi\beta}{\sqrt{6}}.

Anwendung[Bearbeiten]

Sie wird u.a. in folgenden Bereichen benutzt:

Die Gumbel-Verteilung ist eine typische Verteilungsfunktion für jährliche Serien. Sie kann nur auf Reihen angewendet werden, bei denen die Länge der Messreihe mit dem Stichprobenumfang übereinstimmt. Ansonsten erhält man negative Logarithmen.

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Beziehung zur Extremwertverteilung[Bearbeiten]

Die Gumbel-Verteilung ergibt sich aus der Extremwertverteilung mit den Parametern a=\mu, b=\beta und c=1.

Weblinks[Bearbeiten]