Gumbel-Verteilung

Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört. Die Verteilung heißt auch doppelte Exponentialverteilung.

Definition

Dichtefunktion f(x) der Gumbel-Verteilung

Eine stetige Zufallsgröße $X$ genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalenparameter $\beta >0$ und Lageparameter $\mu \in \mathbb {R}$, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(x)={\frac {1}{\beta }}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}},~x\in \mathbb {R}$

und damit die Verteilungsfunktion

$F(x)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}},~x\in \mathbb {R}$

besitzt.

Standard-Fall

Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter $\mu =0$ und $\beta =1$ gemeint. Dieser Spezialfall wird manchmal auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet. Damit ergibt sich die Dichte

$f(x)=\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-x}},~x\in \mathbb {R}$

und die Verteilungsfunktion

$F(x)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-x}},~x\in \mathbb {R}$

Durch die affin-linearen Transformationen $X\mapsto Y:=\mu +\beta X$ mit $\beta >0$ erhält man die oben angegebene Lage-Skalen-Familie von Verteilungen mit den Eigenschaften

• $F_{Y}(x)=F\left({\frac {x-\mu }{\beta }}\right)$,
• $f_{Y}(x)={\frac {1}{\beta }}f\left({\frac {x-\mu }{\beta }}\right)$,
• $\operatorname {E} (Y)=\mu +\beta \operatorname {E} (X)$ und
• $\operatorname {Var} (Y)=\beta ^{2}\operatorname {Var} (X).$

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

$\operatorname {E} (X)=\mu +\beta \gamma$.

Dabei ist $\gamma \approx 0{,}5772$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Varianz

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

$\operatorname {Var} (X)={\frac {(\pi \beta )^{2}}{6}}$.

Standardabweichung

Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

$\sigma ={\frac {\pi \beta }{\sqrt {6}}}$.

Anwendung

Sie wird u. a. in folgenden Bereichen benutzt:

• Hydrologie, insbesondere Wasserwirtschaft für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten
• Verkehrsplanung
• Meteorologie (Wettervorhersage)

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Extremwertverteilung

Die Gumbel-Verteilung mit den Parametern $\mu =0$ und $\beta =1$ ist eine Extremwertverteilung vom Typ I und ergibt sich als Spezialfall für $\xi =0,\mu =0,\sigma =0$ aus der verallgemeinerten Extremwertverteilung, die die Extremwertverteilungen der Typen I, II und III und die zugehörigen Verteilungstypen in einer Verteilungsfamilie zusammenfasst.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Extreme Value Distribution auf MathWorld

Einzelnachweise

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart