Fréchet-Verteilung

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Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Fréchet-Verteilung ist eine stetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen echt positiven reellen Skalierparameter \alpha nutzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Verteilungs und Dichtefunktion[Bearbeiten]

Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter {\alpha} >0 die Verteilungsfunktion

 {{\Phi}_{\alpha}}(x) = \exp(-x^{-\alpha}) = \exp(-1/ x{^\alpha} )

Die dazugehörige Dichtefunktion ist

 {{\phi}_{\alpha}}(x)=\alpha \; x^{-(\alpha+1)} \; e^{-x^{-\alpha}}

Momente und Median[Bearbeiten]

Im Folgenden sei X eine \alpha-Fréchet-verteilten Zufallsvariable und \Gamma\left(x\right) die Gamma-Funktion.

Median[Bearbeiten]

Der Median ist

median(X)=\left(\frac{1}{\log_e(2)}\right)^{1/\alpha}

Existenz von Momenten[Bearbeiten]

Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn \alpha >k.

Erwartungswert[Bearbeiten]

Der Erwartungswert ist

 E(X)= \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right).

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz ist

var(X)= \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)- \left(\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)\right)^2

Schiefe[Bearbeiten]

Die Schiefe ist

skew(X)= \frac{\Gamma\left(1-\frac {3}{\alpha}\right)-3\Gamma\left(1-\frac {2}{\alpha}\right)\Gamma\left(1-\frac {1}{\alpha}\right)+2\Gamma^3\left(1-\frac {1}{\alpha} \right)}{\left( \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)-\Gamma^2\left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right)^{\frac{3}{2}} }

Kurtosis[Bearbeiten]

Die Kurtosis ist

kurtosis(X)= -6+ \frac{\Gamma \left(1-\frac{4}{\alpha}\right) -4\Gamma\left(1-\frac{3}{\alpha}\right) \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)+3 \Gamma^2\left(1-\frac{2}{\alpha} \right)} {\left[\Gamma \left(1-\frac{2}{\alpha}\right) - \Gamma^2 \left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right]^2}

Zusammenhang mit anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Ist X Frèchet-verteilt mit Parameter \alpha, so ist ln X Gumbel-verteilt mit Parametern \mu=0 und \beta=\frac{1}{\alpha}.

Nach dem Theorem von Fisher-Tippet kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.

Anwendung[Bearbeiten]

Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.

Literatur[Bearbeiten]

  • Franke, J., Härdle, W., Hafner, C. M.: Statistics of Financial Markets: An Introduction. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage (2008), ISBN 3-540-762698
  • Franke, J., Hafner, C. M., Härdle, W.: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage (2004), ISBN 3-540-405585

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  • [1] – Jean-Pierre-Stockis, Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern, Financial Statistics, Part II, abgerufen am 4. Januar 2011