Fakultätsbasiertes Zahlensystem

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In der Kombinatorik wird das fakultätsbasierte Zahlensystem verwendet, um einen eindeutigen Index für Permutationen zu erzeugen.

Definition[Bearbeiten]

Das fakultätsbasierte Zahlensystem ist das Zahlensystem, das die ersten Fakultäten als Grundzahlen hat.

Stelle: 7 6 5 4 3 2 1 0
Stellenwert: 7! 6! 5! 4! 3! 2! 1! 0!
in Dezimaldarstellung: 5040 720 120 24 6 2 1 1

In diesem Zahlensystem ist die Stelle ganz rechts immer 0, die zweite Stelle von rechts 0 oder 1, die dritte 0, 1 oder 2 usw. Es gibt außerdem eine Variante des fakultätsbasierten Zahlensystems, bei dem die rechte Zahl weggelassen wird, da sie immer 0 ist.

Beispiel[Bearbeiten]

Die Zahl 35 würde man in diesem Zahlensystem folgendermaßen schreiben.

35=1 \cdot 4! + 1 \cdot 3! + 2 \cdot 2! + 1 \cdot 1! + 0 \cdot 0! = 1_{4}1_{3}2_{2}1_{1}0_{0}

Eigenschaften[Bearbeiten]

Die Summe der aufeinanderfolgenden Fakultäten, multipliziert mit ihrem Index, ist immer die nächste Fakultät minus eins:

 \sum_{i=0}^{n} {i\cdot i!} = {(n+1)!} - 1.

Daher kann jede Zahl in diesem Zahlensystem dargestellt werden und diese Darstellung ist eindeutig, d.h. keine Zahl kann auf mehr als eine Art dargestellt werden.

Allerdings benötigt man dafür eine unendliche Anzahl an Zeichen. Die einfache Verknüpfung von dezimalen Ziffern wäre mehrdeutig für Zahlen mit einer "Ziffer", die größer als 9 ist. Das kleinste Beispiel hierfür ist die Zahl 10×10!, ausgeschrieben 101009080706050403020100 wobei 11! 11101009080706050403020100 ist. Daher reicht ein einzelnes Subskript (wie im Dezimalsystem) für Zahlen mit mehr als 10 Stellen nicht aus.

Anwendung[Bearbeiten]

Das fakultätsbasierte Zahlensystem wird benutzt, um eine kanonische Zuordnung zwischen den ganzen Zahlen 0, \dots, n!-1 (bzw. den äquivalenten Zahlen mit n Stellen im fakultätsbasierten Zahlensystem) und Permutationen von n Elementen in lexikographischer Reihenfolge vorzunehmen, wenn die ganzen Zahlen bezüglich dieses Zahlensystems dargestellt werden. Diese Zuordnung wird Lehmer-Code oder Lucas-Lehmer-Code genannt. Zum Beispiel ergibt sich mit n = 3 folgende Zuordnung:

dezimal fakultätsbasiert Permutation
010 020100 (0,1,2)
110 021100 (0,2,1)
210 120100 (1,0,2)
310 121100 (1,2,0)
410 220100 (2,0,1)
510 221100 (2,1,0)

dabei wählt die linke Ziffer 0, 1 oder 2 sich selbst als Permutationsziffer aus der sortierten Liste (0,1,2) aus und entfernt sich aus der Liste. Es entsteht eine kürzere Liste, bei der die erste Permutationsziffer fehlt. Mit der zweiten Ziffer wird die zweite Permutationsziffer ausgewählt. Dabei beginnt das Abzählen mit 0. Das Element wird aus der Liste wieder entfernt. Die dritte Stelle ist "0". Da die Liste nur noch ein Element enthält, wird dieses als letzte Permutationsziffer ausgewählt.

Dieser Vorgang wird mit einem längeren Beispiel deutlicher. Im Folgenden werden mit den Ziffern aus dem fakultätsbasierten Zahlensystem 46054413020100 die Ziffern aus der Permutation (4,0,6,2,1,3,5) erzeugt.

                                 46054413020100 → (4,0,6,2,1,3,5)
Fakultätsbasiert: 46        05                      44      13        02        01      00
                  |         |                       |       |         |         |       |
         (0,1,2,3,4,5,6) → (0,1,2,3,5,6) → (1,2,3,5,6) → (1,2,3,5) → (1,3,5) → (3,5) → (5)
                  |         |                       |       |         |         |       |
Permutation:     (4,        0,                      6,      2,        1,        3,      5)

Der natürliche Index für die direkte Summe zweier Permutationen ist einfach die Konkatenation.

dezimal fakultätsbasiert Permutationspaar
010 020100020100 ((0,1,2),(0,1,2))
110 020100021100 ((0,1,2),(0,2,1))
...
510 020100221100 ((0,1,2),(2,1,0))
610 021100020100 ((0,2,1),(0,1,2))
710 021100021100 ((0,2,1),(0,2,1))
...
2210 121100220100 ((1,2,0),(2,0,1))
...
3410 221100220100 ((2,1,0),(2,0,1))
3510 221100221100 ((2,1,0),(2,1,0))

Literatur[Bearbeiten]

  • Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997, ISBN 0-201-89684-2. Pages 65–66 (englisch).

Weblinks[Bearbeiten]