Zahlensystem

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Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet. Eine Zahl wird dabei nach den Regeln des jeweiligen Zahlensystems als Folge von Ziffern beziehungsweise Zahlzeichen dargestellt.

Die moderne Forschung unterscheidet zwischen additiven, hybriden und positionellen (Stellenwert-) Zahlensystemen.

Additionssysteme[Bearbeiten]

Hauptartikel: Additionssystem

In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Dabei spielt die Position der einzelnen Ziffern keine Rolle.

Ein Beispiel ist das Strichsystem (Unärsystem), das sich anbietet, wenn etwas schriftlich mitgezählt werden soll (wie zum Beispiel die Getränke auf einem Bierdeckel). Hierbei wird die Zahl n durch n Striche dargestellt. Dies ist vermutlich eines der ältesten Zählsysteme überhaupt. Das Unärsystem wird bei der Darstellung größerer Zahlen sehr schnell unübersichtlich. Deshalb ist es meist üblich, die Zahlen in Blöcke zusammenzufassen, indem man etwa jeden fünften Strich quer über die vier vorangegangenen Einzelstriche legt. Obwohl es aus diesem Grund nicht geeignet ist, große Zahlen darzustellen, wird es im Alltag dennoch in manchen Situationen verwendet. Eine Addition um einen Zahlenwert ist einfach durch das Hinzufügen eines Striches möglich. Herkömmliche Systeme lassen eine so einfache und schnelle Erweiterung im Allgemeinen nicht zu.

Hybridsysteme[Bearbeiten]

Hierbei wird eine Grundziffer einem Zeichen vorangestellt, das eine Potenz der Basis wiedergibt; die Werte beider werden miteinander multipliziert. In den europäischen Zahlensystemen kamen solche Hybridsysteme so gut wie nicht vor, wohl aber, schon seit Beginn des zweiten Jahrtausends v. Chr., in Mesopotamien, später auch in China und im Nahen Osten allgemein. Sowohl aus Äthiopien, als auch aus Südindien und Sri Lanka, sowie der Maya-Kultur sind solche hybriden Zahlensysteme bekannt.

Beispiele im japanisch/chinesischen Zahlensystem

    23:  二十三  (2 × 10 + 3)
30.000:  三万    (3 × 10.000)

Stellenwertsysteme[Bearbeiten]

Hauptartikel: Stellenwertsystem

Stelle[Bearbeiten]

In dem in Europa in Alltag und Wissenschaft verwendeten Stellenwertsystem (Positionssystem) wird eine Zahl durch eine Ziffernfolge angegeben, wobei jede Ziffer je nach Position im Verbund unterschiedlich zu bewerten ist. Jeder Platz in dieser Anordnung, den eine Ziffer einnimmt oder einnehmen soll, ist eine Stelle[1] („Einerstelle“, „Zehnerstelle“, …). Die „niederwertigste“ Stelle steht dabei ganz rechts.

Ein Stellenwertsystem hat eine Basis b (man spricht auch von einem b-adischen Zahlensystem). Jede Stelle oder Zifferposition hat einen Stellenwert, der einer Potenz der Basis entspricht. Nummeriert man die Einerstelle mit 0, so hat die i-te Stelle den Stellenwert b^i.

Die Berechnung des Zahlenwertes erfolgt durch Multiplikation der einzelnen Ziffernwerte z_i mit den zugehörigen Stellenwerten b^i und der Addition dieser Produkte:

Zahlenwert = z_n \cdot b^n + \dotsb + z_i \cdot b^i + \dotsb + z_0 \cdot b^0

Für die Darstellung dieses Zahlenwertes werden n+1 Stellen benötigt und belegt.

Ziffer[Bearbeiten]

Ziffern sind Zeichen (Ziffersymbole) für einstellige Zahlen.

Jede natürliche Zahl b>1 kann als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden. Die gängigsten Basen sind 2 (Dualsystem), 8 (Oktalsystem), 10 (unser vertrautes Dezimalsystem) oder 16 (das in der Datenverarbeitung wichtige Sedezimalsystem)[2].

Für die Darstellung in einem solchen System werden b Ziffern benötigt. Vorzugsweise verwendet man die ersten natürlichen Zahlen ab der Null bis b-1.[1] Jeder Ziffer ordnet man den Wert der verwendeten Zahl zu.

Eine andere Wertzuordnung verwendet man beispielsweise im Ternärsystem mit der Basis 3, wenn darin die Werte −1, 0 und +1 eingesetzt werden.

Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Es wurde nachgewiesen, dass sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden können. Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten Basen möglich. Beispiele hierfür findet man in Knuth: The Art of Computer Programming.

Zahl[Bearbeiten]

Natürliche Zahl[Bearbeiten]

Das Stellenwertsystem basiert auf folgender Konstruktion: Durch den Rechenschritt „Addition einer Eins“ wird auf der Einerstelle die nächst höherwertigere Ziffer geschrieben. Steht da bereits die höchstwertigste Ziffer, wird an ihrer Stelle eine Null geschrieben und der Rechenschritt wird auf der nächst höherwertigeren Stelle ausgeführt. Gibt es keine höherwertigere Stelle, so denkt man sich dort eine Null und führt daran den Rechenschritt durch. Dieses wird veranschaulicht an der einseitigen Unbegrenztheit des Zahlenstrahls. Das System ist für weiter links stehende höherwertigere Stellen unbeschränkt; es können beliebig viele Nullen vor eine Zahl geschrieben werden, was aber regelmäßig unterbleibt.

Reelle Zahl[Bearbeiten]

Mit der oben vorgenommenen Beschränkung des Stellenwert-Exponenten auf ≥ 0 kann man nur positive ganze Zahlen darstellen. Lässt man auch negative Exponenten zu, kann man beliebige positive rationale Zahlen in einem Stellenwertsystem schreiben, wobei der Übergang vom nichtnegativen zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen markiert wird, beispielsweise ein Komma:

1 \cdot 10^3 + 2 \cdot 10^2 + 3 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0 + 5 \cdot 10^{-1} + 6 \cdot 10^{-2} = 1234{,}56

Die Ziffern einer rationalen Zahl p/q erhält man durch Ausführung der Division. Im Zehner-System spricht man auch von Dezimalbruch-Entwicklung. Bei vielen rationalen Zahlen sowie bei den irrationalen Zahlen ist die Anzahl der Stellen nach rechts unbegrenzt. Die notwendige Beschränkung in der Anzahl der anzugebenden Stellen orientiert sich daran, wie weit die Stellen signifikante Stellen sind. Alternativ gibt man bei rationalen Zahlen die Periode an.

Negative Zahl[Bearbeiten]

Für die Erweiterung auf negative Zahlen ist die bekannte Methode die Verwendung eines speziellen Zeichens, das als Vorzeichen links vor die Ziffernzeichen gesetzt wird. Diese stehen dann für den Betrag der Zahl.

Das Ternärsystem kann mit den Ziffernwerten 0, 1 und −1 und den Stellenwerten 3^i vorzeichenlos positive wie negative Zahlen darstellen.

Zahlensystem mit begrenztem Wertevorrat[Bearbeiten]

Bei beschränktem Platz für Zeichen, wie im Rechenwerk eines Mikroprozessors, ist die Verwendung eines unbeschränkten Zahlensystems nicht möglich. Bei Zahlen aus einem begrenzten Wertevorrat werden führende Nullen mitgeschrieben. Entsprechend der Anwendung bei Digitalrechnern beschränkt sich die Beschreibung hier auf Dualzahlen. Mit 2 Ziffern sind die Zahlen 000…000 bis 111…111 möglich mit der durch die Auslegung des Rechenwerkes festgelegten Anzahl von Stellen.

Zahlenkreis mit 8-Bit-Zahlen und unterschiedlichen Dezimalzahl-Zuordnungen

Mit n Stellen lassen sich 2^n natürliche Zahlen darstellen, und das oben beschriebene Stellenwertsystem kann weiterhin eingesetzt werden. Der Rechenschritt „Addition einer Eins“ wird ausgeführt wie dort, aber bei der Dualzahl 111…111 gibt es keinen Übertrag auf eine höherwertigere Stelle, so dass die Addition auf die Zahl 000…000 zurückführt. Dieses wird veranschaulicht an einem Zahlenkreis.[3]

Zur Darstellung negativer ganzer Zahlen ist das Zweierkomplement üblich, siehe auch Integer (Datentyp). Dadurch bleibt die Verarbeitung im Rechenwerk einfach; der Rechenschritt „Addition einer Eins“ bleibt in seiner Ausführung unverändert. Allerdings ist eine Stellenwertigkeit für negative Zahlen nicht mehr vorhanden.

Bei bipolaren Digital-Analog- und Analog-Digital-Umsetzern, die positive wie negative Spannungswerte verarbeiten, ist die Darstellung mit einem Offset (Nullpunktversatz) im Gebrauch. Beispielsweise gehört dann der niedrigste (am weitesten negative) Wert eines symmetrischen Spannungsbereiches zur Dualzahl 000…000, der höchste Wert zu 111…111, und der in der Mitte liegende Wert Null gehört zur Dualzahl in der Mitte, zu 100…000. Der Rechenschritt „Addition einer Eins“ läuft auch hier wie beim Stellenwertsystem, aber eine Stellenwertigkeit ist zu keiner Zahl gegeben.

Siehe auch[Bearbeiten]

  • Base62 (Zahlensystem zur Basis 62)

Literatur[Bearbeiten]

  •  Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen. 2. Auflage. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1987, ISBN 3-593-33666-9.
  •  John D. Barrow: Warum die Welt mathematisch ist. Campus-Verlag, Frankfurt/Main 1993, ISBN 3-593-34956-6.

Weblinks[Bearbeiten]

 Wiktionary: Zahlensystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Numeral systems – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b DIN 1333, Zahlenangaben, 1992, Kap. 10.1
  2. DIN 1333, Kap. 8
  3. Erich Leonhardt, Grundlagen der Digitaltechnik, Carl Hanser, 1984