Gauß-Strahl

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Das optische Konzept der Gauß-Strahlen (auch gaußsche Bündel genannt) verbindet Methoden der Strahlen- und Wellenoptik zur Beschreibung der Lichtausbreitung. Er ist eine Lösung der paraxial genäherten Helmholtz-Gleichung. Ein Gauß-Strahl zeichnet sich durch ein transversales Profil gemäß einer Gauß-Kurve (die Amplitude des elektromagnetischen Feldes nimmt mit dem Abstand zur Ausbreitungsachse exponentiell ab) und ein longitudinales Lorentzprofil (er ist an einer Stelle, der Taille, fokussiert und „zerläuft“ mit zunehmendem Abstand zu ihr) aus.

Gauß-Strahlen beschreiben besonders gut die Lichtemission vieler Laser (siehe Beugungsmaßzahl), aber sie lassen sich auch in vielen anderen Situationen elektromagnetischer Strahlung einsetzen. Besonders interessant sind sie, da sie Phasenbetrachtungen wie die Wellenoptik erlauben, aber einfachen Rechenmethoden der Strahlenoptik gehorchen.

Mathematische Beschreibung[Bearbeiten]

Gauß-Strahl (schematisch) mit Abmessungen, Strahlradius in Rot und Wellenfronten auf der positiven z-Achse

Zur mathematischen Beschreibung eines Gauß-Strahls werden vorzugsweise Zylinderkoordinaten verwendet. Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass die Ausbreitungsrichtung die z-Achse ist und die Strahltaille im Koordinatenursprung bei z = 0 liegt. Die komplexe Amplitude des elektrischen Feldes unter Berücksichtigung der Phase in Abhängigkeit vom Abstand r zur z-Achse und der Entfernung z zur Taille wird beschrieben durch die Funktion:

E(r, z) = E_0 \; \frac{w_0}{w(z)} \cdot \mathrm{e}^{-\left(\frac{r}{w(z)}\right)^2} \cdot \mathrm{e}^{-i k \frac{r^2}{2R(z)}} \cdot \mathrm{e}^{i (\zeta(z) - k z)}

Die Phasenfläche nähert sich in großem Abstand von der Taille der einer sphärischen Welle. Mit den Näherungen der unten angegebenen Funktionen w(z) und \zeta(z) für große |z| wird der Phasenfaktor:

\mathrm{e}^{-i k (z + \frac{r^2}{2z} \mp \frac{\pi}{2})}

Dieses Ergebnis wird nämlich ebenfalls nach Entwicklung des Quellabstands \textstyle \rho im Phasenfaktor \mathrm{e}^{-ik\rho} einer Kugelwelle erhalten: \textstyle \rho = \sqrt{r^2 + z^2} \approx z + r^2/(2z). – Jedoch zeigt die für den Gaußstrahl charakteristische Phasenreduktion von \pi nach vollständigem Durchgang durch die Taille der rotationssymmetrischen Grundmode den bedeutenden Unterschied zwischen der punktsymmetrisch strahlendenen Kugelwelle und dem gerichteten, axialsymmetrischen Strahlenbündel, siehe unten Gouy-Phase.

Die zur Feldstärke gehörende Intensität ist:

I(r, z) = \left| E(r, z) \right|^2 = I_0 \left(\frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \mathrm{e}^{- \frac{2 r^2}{w(z)^2}}

Dabei sind i die imaginäre Einheit, k = \tfrac{2 \pi}{\lambda} die Kreiswellenzahl und E_0 bzw. I_0 die Werte an der Stelle (r = 0, z = 0). Die Parameterfunktionen w(z), R(z) und \zeta(z) beschreiben die Geometrie des Gauß-Strahls und werden im Folgenden erläutert.

Transversales Profil[Bearbeiten]

Wie bereits erwähnt hat der Gauß-Strahl ein transversales Profil gemäß einer Gauß-Kurve. Als Strahlradius w definiert man bei einem bestimmten Wert z den Abstand zur z-Achse, an dem die Amplitude auf 1/e (ca. 36 %), die Intensität also auf 1/, gefallen ist. Der minimale Strahlradius, der an der Taille des Strahls (also bei z = 0) vorliegt, wird mit w_0 bezeichnet. In Abhängigkeit vom Abstand z entlang der Achse verhält sich der Strahlradius dann im Nahfeld gemäß

w(z) = w_0 \, \sqrt{1 + {\left( \frac{z}{z_0} \right)}^2 }

mit der Rayleigh-Länge

z_0 = \frac{\pi\cdot w_0^2}{\lambda}

Axiales Profil[Bearbeiten]

Im Abstand der Rayleighlänge von der Strahltaille ist der Strahl auf

 w(\pm z_0) = w_0 \sqrt{2}

verbreitert. Die Rayleighlänge ist folglich der Abstand, bei dem sich die Strahlfläche in Bezug auf die kleinste Taille verdoppelt hat.

Der Abstand zwischen dem linken und rechten Punkt mit |z| = z_0 wird bi- oder konfokaler Parameter genannt:

b = 2 z_0 = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}

Damit ist die Amplitude |E(0,z_0)| = E_0 \frac{w_0}{w(z_0)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \,E_0 also an einer bestimmten z-Koordinate auf das \tfrac{1}{\sqrt{2}}-fache abgefallen. Dies entspricht einem Lorentz-Profil.

Krümmung[Bearbeiten]

Radius der Wellenfronten über der Ausbreitungsrichtung. Für z \rightarrow 0 wird der Krümmungsradius unendlich, für großes z ergibt sich eine proportionale Abhängigkeit. Der kleinste Krümmungsradius liegt bei z_0.

Die Exponentialfunktionen mit imaginären Exponenten bestimmen die Phasenlage der Welle bei (r, z). Dabei bestimmt der Parameter R(z) anschaulich, wie stark die Phase an achsfernen Punkten verzögert ist, also, wie stark die Wellenfronten gekrümmt sind, und heißt deshalb Krümmungsradius. Er berechnet sich zu

R(z) = z \, \left( 1+ {\left( \frac{z_0}{z} \right)}^2 \right)  \ .

Direkt in der Strahltaille für z=0 ist der Krümmungsradius unendlich und es liegen ebene Wellenfronten vor. Im Vergleich zur ebenen homogenen Welle ist jedoch das Intensitätsprofil senkrecht zur Ausbreitungsrichtung nicht konstant, weshalb der Strahl außerhalb der Taille divergiert und die Wellenfronten sich krümmen.

Divergenz[Bearbeiten]

Betrachtet man den Verlauf von w(z) für z \gg z_0, nähert er sich einer Geraden - dies zeigt die Verbindung zur Strahlenoptik auf. Wie stark der Gauß-Strahl verläuft, sich also transversal ausdehnt, lässt sich dann durch den Winkel (genauer: 'Steigung', da wegen Strahlparameterprodukt w_0\theta_\mathrm{div}=\frac{\lambda}{\pi}M^2 auch \mathrm{Winkel}>\pi/2 für kleine Strahltaillen w_0 möglich \rightarrow \tan (\mathrm{Winkel})) zwischen dieser Geraden und der z-Achse angeben, dies nennt man die Divergenz:

\theta_\mathrm{div} = \frac{\Theta}{2} = \arctan \left( \frac{w(z)}{z} \right) = \arctan \left( \frac{\lambda}{\pi w_0} \right)

Diese Beziehung führt zu dem Effekt, dass die Divergenz bei starker Fokussierung größer wird: Ist die Strahltaille schmal, verläuft der Strahl in großen Entfernungen stark auseinander. Man muss also einen Kompromiss aus Fokussierung und Reichweite finden.

Gouy-Phase [Bearbeiten]

Ein Term der Wellenphase des Gauß-Strahls wird Gouy-Phase genannt:

\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_0} \right)

Der Phasenunterschied von \pi der Grundmode beim Übergang von { }_{\,z \ll -z_0} zu { }_{\,z \gg z_0} entspricht dem Umklappen im Fokus nach der klassischen Strahlenoptik.

Beim vollständigen Durchgang des Gauß-Bündels durch seine Taille erfährt der paraxiale Strahl im Vergleich zur ebenen Welle { }_{e^{-ikz} } die entsprechend einer halben Wellenlänge geringere Phasenverschiebung im Fall der rotationssymmetrischen Grundmode.

Zuerst beobachtete Louis Georges Gouy experimentell im Jahre 1890 den zunächst überraschenden Effekt. Gauß-Bündel sind gemäß dem Fourier-Theorem eine Superposition von Neigungsmoden ebener Wellen. Die zur Bündelachse geneigten Spektralkomponenten propagieren — in z-Richtung gemessen — offenbar mit einer kleineren Phasenschiebung verglichen mit einer achsparallelen Welle. Das stetige Neigungsspektrum ergibt überlagert die beobachtete endliche Phasenreduktion.

Matrizenoptik[Bearbeiten]

Wenn ein Gaußstrahl auf Linsen oder Spiegel fällt, ist der resultierende Strahl wieder ein Gaußstrahl. Damit lassen sich die Regeln der Matrizenoptik aus der klassischen Optik vollständig übertragen. Definiert man den Parameter q(z) = z + iz_0, so wirkt die ABCD-Matrix eines optischen Elementes auf ihn gemäß

q_1(z) = \frac{Aq_0 + B}{Cq_0 + D}

Komplizierte Kombinationen von optischen Elementen lassen sich zu einer Matrix zusammenfassen. Für die Berechnung von Laserresonatoren und Strahlengängen ist das ein großer Vorteil.

Herleitung[Bearbeiten]

Als Ausgangspunkt dienen die Maxwell-Gleichungen, aus denen eine Wellengleichung für elektromagnetische Wellen hergeleitet werden kann:

c^2 \Delta \vec E(\vec x, t) = \ddot{\vec E}(\vec x, t)

Ein allgemeiner Ansatz zur Lösung dieser Gleichung lautet

\vec E(\vec x, t) = \vec e E(\vec x)e^{i\omega t}

mit der Polarisation \vec e. Einsetzen des Ansatzes in die Wellengleichung liefert die Helmholtzgleichung für die skalare Amplitude der Welle

\Delta E(\vec x) = - k^2 E(\vec x)

mit der Kreiswellenzahl k = \omega / c. Eine Lösung dieser Gleichung wären bspw. die ebenen Wellen, diese haben aber das Problem, dass sie für den gesamten Raum definiert sind, wohingegen Laserstrahlen räumlich stark begrenzt sind. Es ist deswegen sinnvoll für die Feldstärke den Ansatz

E(\vec x) = E_0 X(x,z) Y(y,z) e^{-ikz}

zu wählen. Dieser gibt eine harmonische, räumliche Oszillation in Ausbreitungsrichtung vor sowie zwei (bisher noch) beliebige Formen in transversaler Ebene (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung). Dieser Ansatz gilt weiterhin für den gesamten Raum, es wird deswegen noch eine weitere Annahme getroffen, die sogenannte Paraxialnäherung (engl. slowly varying envelope approximation) der Helmholtzgleichung, bei der gilt

k \frac{\partial}{\partial z} \gg \frac{\partial^2}{\partial z^2}, \frac{\partial X}{\partial z}\frac{\partial Y}{\partial z}

mit der Bedeutung, dass sich die Begrenzung des Strahls entlang der Flugrichtung nur langsam ändert. Einsetzen des Ansatzes in die Helmholtzgleichung, ausführen der Ableitung so weit wie möglich, Anwenden der Näherung (Terme mit mehr als einer z-Ableitung gleich null setzen) führt zu der Differentialgleichung

Y \frac{\partial^2 X}{\partial x^2} + X \frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} - 2ikY\frac{\partial X}{\partial z} - 2ikX\frac{\partial Y}{\partial z} = 0

die in zwei unabhängige Gleichungen separiert werden kann:


\begin{align}
 \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} - 2ik\frac{\partial}{\partial z} \right) X(x, z) &= 0 \\
 \left( \frac{\partial^2}{\partial y^2} - 2ik\frac{\partial}{\partial z} \right) Y(y, z) &= 0
\end{align}

Die Lösung dieser Gleichungen lauten


\begin{align}
  X_m(x, z) &= \sqrt{\frac{w_0}{w(z)}} H_m\left(\frac{\sqrt{2}x}{w(z)}\right) \exp\left(- \frac{x^2}{w^2(z)} - i\frac{kx^2}{2R(z)} + i\frac{2m+1}{2} \zeta(z)\right) \\
  Y_n(y, z) &= \sqrt{\frac{w_0}{w(z)}} H_n\left(\frac{\sqrt{2}y}{w(z)}\right) \exp\left(- \frac{y^2}{w^2(z)} - i\frac{ky^2}{2R(z)} + i\frac{2n+1}{2} \zeta(z)\right)
\end{align}

wobei H_m und H_n die Hermite-Polynome sind. Diese Lösungen stellen die allgemeine Beschreibung der transversalen Moden eines Laserstrahls dar. Der Gauß-Strahl ist jedoch nur die Lösung für m = n = 0 für die die Hermite-Polynome Eins sind. Verwenden von Zylinderkoordinaten und Einsetzen der Lösungen in den Ansatz liefert die eingangs angeführte Feldverteilung: die TEM00-Mode oder Gauß-Strahl.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]