Matrizenoptik

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Die Matrizenoptik ist eine Rechenmethode in der paraxialen Optik, bei der die Veränderung von Lichtstrahlen durch optische Bauelemente mit Hilfe von Matrizen dargestellt wird. Diese nennt man (Strahl-)Transfermatrizen oder auch, nach ihren vier Einträgen, ABCD-Matrizen.

Grundlagen[Bearbeiten]

Veranschaulichung von r, z, \alpha

Man betrachtet die Lichtausbreitung entlang der optischen Achse, hier als z-Achse definiert. Der Zustand eines Lichtstrahles an einem Punkt (also bei einem bestimmten z) kann durch zwei Werte beschrieben werden: seinen Abstand r zur optischen Achse und den Winkel \alpha, den er mit ihr einschließt. Man kann den Strahl also mit einem z-abhängigen Vektor aus diesen beiden Komponenten darstellen:

\vec r (z)= \begin{pmatrix} r(z) \\ \alpha(z) \end{pmatrix}

Der Winkel \alpha gibt dabei, da er die Neigung des Strahls darstellt, die Änderung von r mit z an. Im Rahmen der paraxialen Näherung, sprich mit nur geringen Abständen r zur optischen Achse und kleinen Neigungen \alpha, gilt \sin \alpha \approx \tan \alpha \approx \alpha. Somit besteht zwischen zwei Zustandsvektoren \vec r (z_1), \vec r (z_2) desselben Strahls bei verschiedenen z-Werten ein linearer Zusammenhang, der mit einer Matrix beschrieben werden kann. Man multipliziert dazu die durch die Eigenschaften eines optischen Elementes bestimmte Transformationsmatrix an den ersten Vektor und erhält den zweiten, also die Eigenschaften des Strahles nach Durchgang durch das Element:

\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{pmatrix} r_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r_2 \\ \alpha_2 \end{pmatrix}

Die übliche Konvention ist, dass die Strahlrichtung (also die positive z-Achse) von links nach rechts verläuft. r wird oberhalb der Achse positiv, unterhalb negativ gezählt. \alpha ist positiv, wenn der Strahl nach oben zeigt, und negativ, wenn der Strahl nach unten zeigt.

Transfermatrizen wichtiger Elemente[Bearbeiten]

Translation[Bearbeiten]

Breitet sich ein Lichtstrahl ungehindert über die Distanz d entlang der optischen Achse aus, wird dies mit der folgenden Matrix des optischen Weges beschrieben:

T = \begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Die Translationsmatrix ist unabhängig von dem Medium, durch das der Strahl propagiert. Es folgt der Vektor:

\begin{pmatrix} r_2 \\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} r_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r_1 + d \alpha_1 \\ \alpha_1 \end{pmatrix}

Ein sich einfach ausbreitender Strahl ändert also seine Neigung zur Achse nicht, sondern nur gemäß seiner Anfangsneigung seinen Abstand zu ihr.

Brechung an Linsenoberfläche[Bearbeiten]

Wird ein Lichtstrahl an einer Fläche gebrochen, so lautet die Transfermatrix gemäß dem Brechungsgesetz

R = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \left(\frac {n_1}{n_2} - 1 \right) \cdot \rho & \frac {n_1}{n_2} \end{bmatrix}.

Dabei sind n_1 und n_2 die Brechungsindizes der optischen Medien vor und nach der Grenzfläche, und \rho ist die Krümmung der Fläche in ihrem Scheitel (Flächenmitte). \rho ist positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt hinter der Fläche liegt (konvexe Fläche, in positiver z-Richtung gesehen). Bei einer sphärischen Fläche mit Radius r ist \rho = 1/r, und \rho = 0 ist der Fall einer ebenen Fläche.

Dünne Linse[Bearbeiten]

Durch Multiplikation zweier Flächen-Brechungsmatrizen und Anwendung der Linsenschleiferformel erhält man für den Durchgang durch eine dünne Linse

L = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \frac {1}{-f} & 1 \end{bmatrix},

wobei \mathit{f} die Brennweite der Linse ist. \mathit{f} ist größer 0, wenn die Linse fokussierend wirkt (Sammellinse), und kleiner 0 für eine defokussierende Linse (Zerstreuungslinse).

Spiegel[Bearbeiten]

Für einen Spiegel der Scheitelkrümmung \rho erhält man mit dem Reflexionsgesetz die Matrix

K = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 \rho & 1 \end{bmatrix},

wobei \rho = 0 einen ebenen Spiegel beschreibt. \rho ist positiv für einen Hohlspiegel und negativ für einen konvexen Spiegel. Bei einem sphärischen Spiegel ist der Radius r = 1 / \rho.

Kombination von Elementen[Bearbeiten]

Durchläuft ein Strahl mehrere optische Elemente hintereinander, so werden nacheinander die entsprechenden Transfermatrizen auf den Strahlvektor angewandt, was äquivalent dazu ist, sie zu multiplizieren und dann die Produktmatrix auf den Vektor anzuwenden. Dabei gelten die Regeln der Matrizenmultiplikation: durchläuft der Strahl drei Elemente in der Reihenfolge T_1, T_2, T_3, so wird das Produkt in der Reihenfolge T_3 \cdot T_2 \cdot T_1 gebildet.

So ergeben sich die Matrizen komplizierterer Systeme als Produkt der Matrizen der elementaren Systemteile, etwa die einer dicken Linse aus denen einer Linsenoberfläche, einer Translation durch das Linsenglas und einer weiteren Fläche, oder die eines Linsensystems aus einer Abfolge von Linse, Translation, Linse, ... bzw. Fläche, Translation, Fläche, ....

Alternative Konvention[Bearbeiten]

Von einigen Autoren wird abweichend zur hier verwendeten Konvention der Strahlvektor definiert als \vec r (z)= \begin{pmatrix} r(z) \\ n \alpha(z) \end{pmatrix}, wobei n der Brechungsindex des Mediums am Ort (r,z) ist. Dies hat zur Folge, dass etwa in der Matrix für Translation durch ein Medium für dieses zusätzliche n korrigiert werden muss, sie lautet in dieser Konvention T = \begin{bmatrix} 1 & \frac {d}{n} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} und ist somit selbst explizit vom Medium abhängig. Der Vorteil dieser Konvention ist, dass die Matrix für Brechung an einer ebenen Fläche zur Einheitsmatrix wird.

Manche Autoren vertauschen auch die beiden Einträge des Strahlenvektors, sodass er folgendermaßen definiert ist:

\vec r (z)= \begin{pmatrix} n \alpha(z) \\ r(z) \end{pmatrix}.

Die Matrizen verändern sich entsprechend.[1][2]

Weitere Anwendungen[Bearbeiten]

Gaußstrahlen[Bearbeiten]

Die Anwendung der Matrizenoptik ist nicht auf die geometrische Optik beschränkt, sie lässt sich durch den Übergang von Matrizen zu Möbius-Abbildungen auch auf das Konzept der Gauß-Strahlen übertragen. Hierzu bleiben die ABCD-Matrizen und ihre Multiplikationsregeln komplett erhalten, man wendet sie aber nicht mehr per Multiplikation auf einen Strahlvektor an, sondern auf den Strahlparameter q gemäß folgender Vorschrift:

q_1(z) = \frac{Aq_0+B}{Cq_0+D}.

Der Strahlparameter berechnet sich hierbei nach {1\over q}={1\over R}-{i\lambda\over \pi w^2} mit R dem Krümmungsradius des Gaußschen Strahls, \lambda der Wellenlänge und w dem Radius des Gauß-Strahls.

Polarisation[Bearbeiten]

Ein zur geometrischen Matrizenoptik analoges Verfahren wird verwendet, um die Veränderung der Polarisation beim Durchgang durch optische Elemente zu berechnen. Der Polarisationszustand wird durch Jones-Vektoren ausgedrückt und mit Jones-Matrizen manipuliert.

Technische Nutzung[Bearbeiten]

Neben der mathematischen Anwendung des Verfahrens mit z.B. Programmen wie MATLAB zur Berechnung von Strahlengängen, werden Adaptionen desselben dazu herangezogen, um Strahlengänge bewegter Linsensystem zu antizipieren und zu erwartende Abbildungen vorauszuberechnen, wie z.B. bei der Echtzeit-Objektverfolgung oder der Justage von verbundenen Linsensystemen zur Fokussieren, wie astronomischen Spiegeln.

Literatur[Bearbeiten]

  • D. Meschede: Optik, Licht und Laser. B.G. Teubner, Stuttgart/ Leipzig 2005, ISBN 3-519-13248-6.
  • F. Pedrotti, L. Pedrotti, Werner Bausch, Hartmut Schmidt: Optik. Prentice Hall, München u. a. 1996, ISBN 3-8272-9510-6.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. E. Hecht: Optik. 4. Auflage. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-27359-0.
  2. W. & U. Zinth: Optik – Lichtstrahlen – Wellen – Photonen. 2, Auflage. Oldenbourg, München, 2009, ISBN 978-3-486-58801-9.