Höhe (Geodäsie)

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Als Höhe wird in der höheren Geodäsie die Positionsangabe des lotrechten Abstands von einer Referenzfläche bezeichnet. Die Höhenreferenzfläche kann durch ein Geoid, ein Quasigeoid , ein angepasstes Referenzellipsoid oder eine andere geometrische Figur dargestellt werden. Das Nullniveau dieser Bezugsfläche wurde oft angelehnt an einen festgelegten mittleren Meeresspiegel definiert. Je nach Land oder Anwendung werden unterschiedliche Höhendefinitionen und unterschiedliche Nullniveaus verwendet (siehe Höhe über dem Meeresspiegel).

Die wichtigsten Höhendefinitionen: ellipsoidische Höhe h, Normalhöhe HN und orthometrische Höhe H

Höhendefinitionen[Bearbeiten]

Im Allgemeinen wird erwartet, dass

  1. eine Höhe eine geometrische Größe ist und in Längeneinheiten gemessen wird und
  2. zwischen Punkten gleicher Höhe kein Wasser fließt.

Dass Höhen nicht gleichzeitig geometrisch (1) und physikalisch (2) korrekt sein können, kann man sich wie folgt verdeutlichen: Zu Punkt (2) müssten die Punkte das gleiche Schwerepotential aufweisen und somit auf einer Äquipotentialfläche der Schwere liegen. Aufgrund der Erdrotation und lokaler Unregelmäßigkeiten im Masseaufbau der Erde verlaufen die Äquipotentialflächen jedoch nicht parallel. So ist die Schwerkraft aufgrund der Erdrotation an den Polen 1/200 größer als am Äquator, die Potentialflächen liegen damit an den Polen um 1/200 enger beisammen.

Es werden daher einige rein geometrisch bzw. physikalisch definierte Höhen verwendet:

  1. ellipsoidische Höhen (GPS-Höhen) als rein geometrische definierte Höhen, ausgedrückt in einer Längeneinheit,
  2. Geopotentielle Koten als rein physikalische Höhen, die Differenz zweier Schwerepotentiale.

Beim Nivellement erhält man abweichende Höhendifferenzen, wenn man entlang verschiedener Wege nivelliert. Grund für diesen sogenannten theoretischen Schleifenschlussfehler ist, dass die Höhenübertragung entlang der nicht parallelen Äquipotentialflächen erfolgt, die Differenzen aber in Meter gemessen werden. Um die Widersprüche zu beseitigen, ist für ausgedehnte Gebiete mit größeren Höhendifferenzen eine Berücksichtigung des Schwerefeldes notwendig. Für die Praxis sind verschiedene metrische Höhensysteme, die die Schwere berücksichtigen, entwickelt worden:

  • normal-orthometrische bzw. normal-sphäroidische Höhen
  • Normalhöhen
  • orthometrische Höhen.

Zwischen den Höhensystemen bestehen merkliche Unterschiede, die im Hochgebirge Größenordnungen von Zentimetern bis Dezimetern pro Kilometer erreichen können. Die Unregelmäßigkeiten im Erdschwerefeld werden seit etwa 100 Jahren unter den Begriffen Lotabweichung bzw. Schwereanomalie und Geoid erforscht und heute ausreichend genau messtechnisch erfasst.

Ellipsoidische Höhen[Bearbeiten]

Geometrisch definierte Höhen werden heute als ellipsoidische Höhe h bezeichnet. Diese geben den Abstand eines Punktes von einem geodynamisch definierten Referenzellipsoiden entlang der Ellipsoidnormalen an. Zwei Punkte gleicher ellipsoidischer Höhe liegen jedoch nicht auf derselben Äquipotentialfläche, sodass zwischen ihnen Wasser fließen kann.

Ellipsoidische Höhen können direkt mittels GPS bestimmt werden. Eine einfache Umrechnung von nivellierten in ellipsoidische Höhen ohne Kenntnis der Schwerestörungen ist nicht möglich. Alternativ können ellipsoidische Höhen durch Anlegen eines Raumpolygonzuges bestimmt werden.

Geopotentielle Koten[Bearbeiten]

Eine Geopotentielle Kote C ist die negative Schwerepotentialdifferenz eines Oberflächenpunktes der Erde zum Geoid. Punkte mit einer gleichen geopotentiellen Kote bilden eine Äquipotentialfläche.

C=W_0-W_P=-\int_{P_0}^{P}\vec g\ \mathrm ds

Da es sich um eine Schwerepotentialdifferenz handelt, ist die SI-Einheit Joule pro Kilogramm (J/kg) bzw. (m²/s²). Zum Teil werden auch geopotential units (gpu) als Einheit verwendet (1 gpu = 10 J/kg). Früher wurden geopotentielle Koten auch in der Einheit geopotentieller Meter (gpm) angegeben. 1 gpm entspricht 9,80665 J/kg. Der Betrag entspricht dem der dynamischen Höhe. Geopotentielle Koten können aus nivellierten Höhenunterschieden \Delta n und Schweremessungen g bestimmt werden.

\Delta C=\int_1^2 g \ \mathrm dn

bzw.

\Delta C=\sum_i g_i\cdot\Delta n_i

Dynamische Höhen[Bearbeiten]

Dynamische Höhen HDyn werden aus den Geopotentiellen Koten in der Regel mit der Normalschwere auf Meeresniveau bei 45° Breite \gamma_0^{45} in die Dimension Meter umgerechnet. Sie drücken den Abstand aus, den die Äquipotentialflächen bei \gamma_0^{45} hätten. Der tatsächliche (metrische) Abstand variiert allerdings aufgrund der geringeren Schwerebeschleunigung am Äquator gegenüber den Polen um etwa 5/1000.

H_{Dyn}=\frac{C}{\gamma_0^{45}} mit \gamma_0^{45}=9{,}80665\, \mathrm {\frac{m}{s^2}}

Dynamische Höhen sind wegen der großen dynamischen Korrektionen für die Praxis unbrauchbar. Sie ergeben sich aber direkt durch eine "Umskalierung" der geopotentiellen Kote.

Orthometrische Höhen[Bearbeiten]

Die orthometrische Höhe H resultiert aus dem Abstand entlang der gekrümmten Lotlinie zwischen einem Punkt auf der Erdoberfläche und dem Geoid. Die geopotentiellen Koten werden mit der mittleren Schwerebeschleunigung \bar g entlang der Lotlinie umgerechnet. Die Schwere kann im Erdinneren nicht gemessen werden, so dass sie nur durch Aufstellen einer Hypothese über die Masseverteilung berechnet werden kann. Orthometrische Höhen sind somit hypothesenbehaftet. Punkte gleicher orthometrischer Höhe liegen in der Regel nicht auf der gleichen Niveaufläche.

H=\frac{C}{\bar g} mit \bar g=\frac{1}{H} \int_{0}^{H}g\ \mathrm dH

Die Abweichung zwischen der ellipsoidischen und der orthometrischen Höhe wird Geoidundulation N genannt. Sie beträgt global bis zu 100 m, innerhalb der Schweiz z. B. maximal 5 m.

N=h-H

Normalhöhen[Bearbeiten]

Normalhöhe, Quasigeoid und Höhenanomalie

Normalhöhen H_N beschreiben den Abstand eines Punktes entlang der leicht gekrümmten normalen Lotlinie vom Quasigeoid. Für die Umrechnung der geopotentiellen Koten wird die mittlere Normalschwere \bar\gamma benutzt. Die Normalhöhe ist anders als die orthometrische Höhe hypothesenfrei bestimmbar. Sie wurden von dem sowjetischen Geophysiker Michail Sergejewitsch Molodenski entwickelt.

H_{N}=\frac{C}{\bar\gamma} mit \bar\gamma=\frac{1}{H_N}\int_0^{H_N}\gamma\, \mathrm d{H_N}

Die Abweichung zwischen der ellipsoidischen Höhe und der Normalhöhe wird Höhenanomalie oder Quasigeoidhöhe \zeta genannt. Sie beträgt in Deutschland zwischen 36 und 50 m. Normalhöhen und orthometrische Höhen unterscheiden sich wegen Abweichung der tatsächlichen Schwere von der Normalschwere. Die Unterschiede können im Hochgebirge bis zu einem Meter oder mehr betragen, im Flachland liegen sie oft nur im Millimeterbereich. In den alten Bundesländern betragen sie −5 bis +4 cm.

\zeta=h-H_N

Normal-orthometrische Höhen[Bearbeiten]

Liegen keine Schweremessungen vor, kann die Schwerekorrektur der beobachteten Höhenunterschiede nur mit der Normalschwere durchgeführt werden. Die abgeleiteten Höhen nennt man dann normal-orthometrische Höhen oder sphäroidisch-orthometrische Höhen HSph. Die Abweichungen zu Normalhöhen fallen gering aus, da sich die Korrekturen nur wegen des kleinen Anteils des Oberflächenfreiluftgradienten unterscheiden.

H_{Sph}=\frac{C^{*}}{\bar\gamma} mit C^{*}=\int_0^1\gamma \ \mathrm dn

Korrektionen[Bearbeiten]

Die eigentliche Messgröße der Höhenmessung sind keine Höhen über dem Meeresspiegel, sondern Höhenunterschiede \Delta H. Diese werden in der Landesvermessung üblicherweise durch Nivellement bestimmt. Um die gemessenen Höhenunterschiede dn in eine der Höhendefinitionen umzurechnen, sind Korrektionen E anzubringen.

\Delta H_{12} = H_2-H_1=\int_1^2\ \mathrm dn+E_{12}

dynamische Korrektion[Bearbeiten]

Durch dynamische Korrektion lassen sich die nivellierten Höhenunterschiede in dynamische Höhenunterschiede umrechnen.

E_{12}=\int_1^2\frac{g-\gamma_0^{45}}{\gamma_0^{45}} \ \mathrm dn

orthometrische Korrektion[Bearbeiten]

Bei der orthometrischen Korrektion kommen zum streng bestimmbaren dynamischen Anteil zwei hypothesenbehaftete ortsabhänge Anteile.

E_{12}=\int_1^2\frac{g-\gamma_0^{45}}{\gamma_0^{45}}\ \mathrm dn
+ \frac{\bar g_1-\gamma_0^{45}}{\gamma_0^{45}}H_1
- \frac{\bar g_2-\gamma_0^{45}}{\gamma_0^{45}}H_2

Unter der Annahme der mittleren Erdkrustendichte von 2,67 g/cm³ gilt für die mittlere Schwere \bar g:

\bar g = g + 0{,}424 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-2}\,H

normale Korrektion[Bearbeiten]

Analog dazu können mit der normalen Korrektion Normalhöhenunterschiede berechnet werden. Hier werden anstelle der mittleren Schweren \bar g die hypothesefreien mittleren Normalschweren \bar\gamma verwendet.

E_{12}=\int_1^2\frac{g-\gamma_0^{45}}{\gamma_0^{45}} \ \mathrm dn
+ \frac{\bar\gamma_1-\gamma_0^{45}}{\gamma_0^{45}}H_1
- \frac{\bar\gamma_2-\gamma_0^{45}}{\gamma_0^{45}}H_2

normal-orthometrische Korrektion[Bearbeiten]

Bei der normal-orthometrischen Korrektion wird anstelle der gemessenen Schwere g die Normalschwere \gamma zur dynamischen Korrektion benutzt.

E_{12}=\int_1^2\frac{\gamma-\gamma_0^{45}}{\gamma_0^{45}}\ \mathrm dn
+ \frac{\bar\gamma_1-\gamma_0^{45}}{\gamma_0^{45}}H_1
- \frac{\bar\gamma_2-\gamma_0^{45}}{\gamma_0^{45}}H_2

Übersicht[Bearbeiten]

Name Geopotentielle Kote Dynamische Höhe Orthometrische Höhe Normalhöhe normal-ortho-
metrische Höhe
Nivellierte Höhe Ellipsoidische Höhe
Kürzel C HDyn H HN HSph h
Einheit m²/s² = J/kg = 0,1 gpu m (*) m m m m m
Bezugsfläche Geoid Geoid Geoid Quasigeoid Referenzellipsoid
Bestimmung Nivellement Nivellement Nivellement Nivellement Nivellement Nivellement GPS / Raumpolygon
Messung der lokalen Erdbeschleunigung notwendig ja ja ja ja nein nein nein
Annahmen zur Dichteverteilung im Erdinneren notwendig nein nein ja nein nein nein nein
Nivellementschleifen-schlussfehler nein nein nein nein auf der Oberfläche ja (-) ja (--)
Äquipotentialflächen alle Höhen alle Höhen bei Höhe null keine (genähert bei Höhe null) keine (-) keine (--) keine (---)

(*) Die dynamische Höhe gibt nicht den Abstand von der Bezugsfläche an.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Wolfgang Torge: Geodäsie. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin u.a. 2003, ISBN 3-11-017545-2.
  • S. Schneid, H. Meichle: Normalhöhen in Baden-Württemberg. Arbeiten zur Einführung von Höhen im System des Deutschen Haupthöhennetzes 1992 (DHHN92). In: DVW Mitteilungen. Heft 2 / 2005, DVW Landesverein Baden-Württemberg.

Weblinks[Bearbeiten]