Minkowski-Ungleichung

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Die Minkowski-Ungleichung (nach Hermann Minkowski) ist eine Aussage der Funktionalanalysis. Sie besagt, dass die Dreiecksungleichung in den Lp-Räumen gilt.

Formulierung[Bearbeiten]

Sei S ein Maßraum,  1 \leq p \leq \infty sowie  f, g \in L^p(S). Dann folgt f + g \in L^p(S), und es gilt

\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p ,

wobei die Gleichheit im Fall 1 < p < \infty genau dann vorliegt, wenn f und g positiv linear abhängig sind (d.h. es gibt \lambda\ge0 mit f=\lambda\,g oder g=\lambda\,f).

Hierbei ist für 1 \leq p < \infty die Norm durch

\|f\|_p = \left(\int_S |f(x)|^p \, d\mu(x) \right)^{\frac{1}{p}}

gegeben, falls \mu das Maß auf S bezeichnet.

Beweis[Bearbeiten]

Die Minkowski-Ungleichung ist für p=1 und p = \infty trivial. Es sei daher 1 < p < \infty. Da x \mapsto |x|^p eine konvexe Funktion ist, gilt

|f+g|^p = 2^p \cdot |\frac{1}{2}\, f + \frac{1}{2}\, g|^p \leq 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p)

und daher f+g \in L^p(S).

Sei im Folgenden ohne Beschränkung der Allgemeinheit \|f+g\|_p > 0. Es gilt:

 \begin{align}
|f+g|^p
&= (|f+g|)(|f+g|)^{p-1}\\
&\leq (|f|+|g|)(|f+g|)^{p-1}\\
&= \left(|f|\cdot|f+g|^{p-1}\right) + \left(|g|\cdot|f+g|^{p-1}\right)\\
\end{align}

Sei q:= \tfrac{p}{p - 1}. Dann ist q der zu p konjugierte Hölder-Exponent, es gilt: \tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q}=1

Nach der Hölder-Ungleichung gilt:

 \begin{align}
\| f+g \|_{p}^{p} = \int_S|f+g|^p
&\leq \int_S\left(|f|\cdot|f+g|^{p-1}\right) + \int_S\left(|g|\cdot|f+g|^{p-1}\right)\\
&\leq \|f\|_p\cdot\||f+g|^{p-1}\|_q + \|g\|_p\cdot\||f+g|^{p-1}\|_q\\[.2em]
&= (\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\||f+g|^{p-1}\|_{q}\\
&= (\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\left(\int_S |f+g|^{(p-1)\cdot \frac{p}{p - 1}}\right)^{1 - \frac{1}{p}}\\
&= (\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\frac{\int_S |f+g|^{p}}{\left(\int_S |f+g|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}}\\
&= (\|f\|_p + \|g\|_p)\cdot\frac{\| f+g \|_{p}^{p}}{\| f+g \|_{p}},\\
\end{align}

Dies impliziert die Minkowski-Ungleichung nach Multiplikation beider Seiten mit \tfrac{\| f+g \|_{p}}{\| f+g \|_{p}^{p}}.

Spezialfall[Bearbeiten]

Wie die Höldersche Ungleichung kann auch die Minkowski-Ungleichung auf Folgen (im ersten Bsp. unten: endliche Folgen, also n-Tupel mit reellen (oder komplexen) Einträgen) spezialisiert werden, indem man das Zählmaß verwendet:

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

für alle reellen (oder komplexen) Zahlen x_1, \ldots , x_n, y_1, \ldots, y_n . Die Minkowski-Ungleichung ist somit die Dreiecksungleichung für die p-Normen. Allgemein kann man, für unendliche Folgen {(x_n)}_n, {(y_n)}_n, auch

\left( \sum_{k=1}^\infty |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^\infty |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^\infty |y_k|^p \right)^{1/p}

schreiben. (Dies gilt stets: Denn wenn eine der beiden Summen rechterhand divergiert, so gilt die Ungleichung dann wegen \infty \ge r für alle r \in [0,\infty].)

Verallgemeinerung (Minkowski-Ungleichung für Integrale)[Bearbeiten]

Seien (S_1, \mu_1) und (S_2,\mu_2) zwei Maßräume und F: S_1 \times S_2 \to \mathbb K eine messbare Funktion, dann gilt (Minkowski-Ungleichung für Integrale):

\left[\int_{S_2}\left(\int_{S_1}|F(x,y)|\,d\mu_1(x)\right)^pd\mu_2(y)\right]^{1/p} \le \int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,d\mu_2(y)\right)^{1/p}d\mu_1(x),

für p < \infty. Ist 1 < p < \infty und beide Seiten endlich, so gilt Gleichheit genau dann, wenn sich |F| als Produkt |F|(x,y) = \varphi(x)\psi(y) zweier messbarer Funktionen \phi: S_1 \to [0,\infty) und \psi: S_2 \to [0,\infty) schreiben lässt.

Wählen wir (S_1, \mu_1) als die zwei-elementige Menge \{1,2\} mit dem zählenden Maß, so erhalten wir als Spezialfall wieder die übliche Minkowski-Ungleichung, mit f_i = F(i, \,\cdot\,) für i = 1,2 ist nämlich


\begin{align}
\|f_1 + f_2\|_p  &= \left[\int_{S_2}\left|\int_{S_1}F(x,y)\,d\mu_1(x)\right|^pd\mu_2(y)\right]^{1/p} \\
&\le\int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,d\mu_2(y)\right)^{1/p}d\mu_1(x)\\
&=\|f_1\|_p + \|f_2\|_p.
\end{align}

Literatur[Bearbeiten]

  • Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag Basel Boston Berlin, 2001, ISBN 3-7643-6613-3