Das Harmonische Dreieck oder Leibnizsches Harmonisches Dreieck von Gottfried Wilhelm Leibniz ist analog zum Pascalschen Dreieck aufgebaut:
Die n -te Zeile beginnt und schließt am Rand mit
1
n
{\displaystyle {\frac {1}{n}}}
Jede Zahl ist die Summe der beiden unter ihr stehenden Zahlen
1
1
2
1
2
1
3
1
6
1
3
1
4
1
12
1
12
1
4
1
5
1
20
1
30
1
20
1
5
1
6
1
30
1
60
1
60
1
30
1
6
1
7
1
42
1
105
1
140
1
105
1
42
1
7
1
8
1
56
1
168
1
280
1
280
1
168
1
56
1
8
⋮
⋮
⋮
{\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}}
Die Einträge werden mit dem Symbol
[
n
k
]
{\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}
Es gilt die Rekursion
[
n
1
]
=
[
n
n
]
=
1
n
,
[
n
k
]
=
[
n
+
1
k
]
+
[
n
+
1
k
+
1
]
,
n
≥
1
,
1
≤
k
≤
n
{\displaystyle \left[{n \atop 1}\right]=\left[{n \atop n}\right]={\frac {1}{n}},\qquad \left[{n \atop k}\right]=\left[{n+1 \atop k}\right]+\left[{n+1 \atop k+1}\right],\quad n\geq 1,1\leq k\leq n}
Ein Zusammenhang mit den Binomialkoeffizienten des Pascalschen Dreiecks ist gegeben durch
[
n
k
]
=
1
k
(
n
k
)
=
1
n
(
n
−
1
k
−
1
)
{\displaystyle \left[{n \atop k}\right]={\frac {1}{k{\binom {n}{k}}}}={\frac {1}{n{\binom {n-1}{k-1}}}}}
Stammbrüche .Wegen
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
=
2
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}}
n -ten Zeile
n
⋅
2
n
−
1
{\displaystyle n\cdot 2^{n-1}}
5
+
20
+
30
+
20
+
5
=
5
⋅
2
4
=
80
{\displaystyle 5+20+30+20+5=5\cdot 2^{4}=80}
Für die Summe einer Diagonale ergibt sich wegen
[
n
+
k
k
]
=
[
n
+
k
−
1
k
]
−
[
n
+
k
k
+
1
]
{\displaystyle \left[{n+k \atop k}\right]=\left[{n+k-1 \atop k}\right]-\left[{n+k \atop k+1}\right]}
die Teleskopsumme
∑
k
=
1
ν
[
n
+
k
k
]
=
[
n
1
]
−
[
n
+
ν
ν
+
1
]
=
1
n
−
[
n
+
ν
ν
+
1
]
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\nu }\left[{n+k \atop k}\right]=\left[{n \atop 1}\right]-\left[{n+\nu \atop \nu +1}\right]={\frac {1}{n}}-\left[{n+\nu \atop \nu +1}\right].}
Wegen der Stammbrüche folgt durch Grenzübergang die Reihe von Leibniz:
∑
k
=
1
∞
[
n
+
k
k
]
=
1
n
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left[{n+k \atop k}\right]={\frac {1}{n}}}
∑
k
=
0
∞
1
(
n
+
k
k
)
=
n
n
−
1
,
n
≥
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n+k}{k}}}={\frac {n}{n-1}},n\geq 2}
Geschichte Christiaan Huygens hatte 1672 seinem jungen Freund Leibniz die Summation der reziproken Dreieckszahlen als Aufgabe gestellt:
1
+
1
3
+
1
6
+
1
10
+
⋯
+
2
n
(
n
+
1
)
+
…
{\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}+\dots +{\frac {2}{n(n+1)}}+\dots }
Er gibt als Summe 2 an. Während seines Aufenthaltes in Paris beschäftigte er sich eingehend mit den Schriften von Blaise Pascal . In einer späteren Fassung seiner Historia et Origo stellt er dem Pascalschen Dreieck sein harmonisches Dreieck gegenüber. Die Reihe ergibt sich dann aus der allgemeinen Reihe für n=2 .
Literatur Weblinks 
![{\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e244be41a40ffd185e9edea632ba557f6ad945)
![{\displaystyle \left[{n \atop 1}\right]=\left[{n \atop n}\right]={\frac {1}{n}},\qquad \left[{n \atop k}\right]=\left[{n+1 \atop k}\right]+\left[{n+1 \atop k+1}\right],\quad n\geq 1,1\leq k\leq n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678e48b13421f65e49aa380db7fb99e238921fe7)
![{\displaystyle \left[{n \atop k}\right]={\frac {1}{k{\binom {n}{k}}}}={\frac {1}{n{\binom {n-1}{k-1}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c3c269bdb9e31d0b50b42c8ff631c3faa7f6143)
![{\displaystyle \left[{n+k \atop k}\right]=\left[{n+k-1 \atop k}\right]-\left[{n+k \atop k+1}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03b74190ab706cec00931337cedfb524ffbc09bf)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\nu }\left[{n+k \atop k}\right]=\left[{n \atop 1}\right]-\left[{n+\nu \atop \nu +1}\right]={\frac {1}{n}}-\left[{n+\nu \atop \nu +1}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65aa7e19f140bb7c45dac19a33a267584ba36328)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left[{n+k \atop k}\right]={\frac {1}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d2188ed5b545146fa73bf7ad423e966eb606a5)
