Dreieckszahl

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Ein Dreieck aus zehn Steinen

Eine Dreieckszahl ist eine Zahl, die der Summe aller Zahlen von 1 bis zu einer Obergrenze n entspricht. Beispielsweise ist die 10 eine Dreieckszahl, da 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ist. Die ersten Dreieckszahlen sind

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, … (Folge A000217 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Dreieckszahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die Bezeichnung Dreieckszahl leitet sich von der geometrischen Figur des Dreiecks her. Die Anzahl der Steine, die man zum Legen eines gleichseitigen Dreiecks benötigt, entspricht immer einer Dreieckszahl. Aus zehn Steinen lässt sich beispielsweise ein Dreieck legen, bei dem jede Seite von vier Steinen gebildet wird.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Dreieckszahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Quadratzahlen und Kubikzahlen gehören. Schon Pythagoras hat sich mit Dreieckszahlen beschäftigt.[1]

Berechnung[Bearbeiten]

Die n-te Dreieckszahl ist die Summe der Zahlen von 1 bis n.

\begin{align}
\Delta_1 &= 1             &=&\ 1\\
\Delta_2 &= 1 + 2         &=&\ 3\\
\Delta_3 &= 1 + 2 + 3     &=&\ 6\\
\Delta_4 &= 1 + 2 + 3 + 4 &=&\ 10\\
         & \qquad \vdots  &
\end{align}

Anstatt die einzelnen Zahlen zu addieren, können Dreieckszahlen auch durch die gaußsche Summenformel berechnet werden.

\Delta_n = \frac {n \cdot (n+1)}{2}

Diese Formel ist identisch mit dem Binomialkoeffizienten n+1 über 2.

\Delta_n = {n+1 \choose 2}

Diese Formel lässt sich durch Auslegen der Dreieckszahl veranschaulichen. Die Dreieckzahl lässt sich als Dreieck oder Treppe auslegen. Das Doppelte einer Dreieckszahl entspricht zwei gleichen Treppen, die sich zu einem Rechteck zusammenfügen lassen.

3eckszahl rechteck.PNG

Dieses Rechteck ist n Kugeln hoch und n + 1 Kugeln breit und enthält somit n \cdot (n + 1) Kugeln. Eine Dreieckszahl entspricht der Hälfte der Kugeln, woraus sich die oben genannte Formel für Dreieckszahlen ergibt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die Summe der ersten n Kubikzahlen ist gleich dem Quadrat der n-ten Dreieckszahl [Bsp.: 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102]
  • Die Differenz der Quadrate zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen ergibt eine Kubikzahl.
    Dies lässt sich aus der darüber gehenden Eigenschaft ableiten. Wenn das Quadrat der n-ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n Kubikzahlen gebildet wird, und das Quadrat der (n+1)-ten Dreieckszahl aus der Summe der ersten n+1 Kubikzahlen gebildet wird, muss als Differenz die (n+1)-te Kubikzahl herauskommen.
  • Das Achtfache einer Dreieckszahl addiert mit 1 ergibt immer eine ungerade Quadratzahl: 8\cdot \Delta_n + 1 = (2n + 1)^2
8 3eckszahl 3.PNG 8 3eckszahl 4.PNG
6 10
  • Jede gerade vollkommene Zahl ist auch eine Dreieckszahl:
    Nach Leonhard Euler lässt sich eine gerade vollkommene Zahl durch die Formel (2^n-1)\cdot 2^{n-1} darstellen, wobei 2^n-1\ eine Primzahl (Mersenne-Primzahl) sein muss. Wenn man die Formel (2^n-1)\cdot 2^{n-1} mit 2 multiplikativ erweitert, und 2^n\ durch m\ substituiert, kommt man auf die Formel, die Dreieckszahlen repräsentiert:
(2^n-1)\cdot 2^{n-1} = \frac{(2^n-1)\cdot 2^{n-1}\cdot 2}{2} = \frac{(2^n-1)\cdot 2^n}{2} = \frac{(m-1)\cdot m}{2}

Summe dreier Dreieckszahlen[Bearbeiten]

Pierre de Fermat stellte die Vermutung auf, dass sich jede natürliche Zahl als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen darstellen lässt. Diese Vermutung wurde von Carl Friedrich Gauß bewiesen, der am 10. Juli 1796 in sein Tagebuch schrieb: [2]

EYPHKA num = Δ + Δ + Δ.

Die allgemeinere Aussage ist als fermatscher Polygonalzahlensatz bekannt.

Beziehungen zu Quadratzahlen[Bearbeiten]

Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen[Bearbeiten]

10 + 15 = 25

Die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ergibt eine Quadratzahl. Das nebenstehende Bild zeigt beispielhaft, wie sich die Dreieckszahlen \Delta_4 = 10 und \Delta_5 = 15 zur Quadratzahl 25 addieren.

Dieses Phänomen lässt sich auch durch eine Formel beschreiben.

\begin{align}
\Delta_{n-1} + \Delta_n &= \frac{n(n-1)}{2} + \frac{(n+1)n}{2}\\
                        &= n^2
\end{align}

Für eine andere Erklärung dieses Phänomens zerlegt man die Dreieckszahl \frac{n\cdot (n+1)}{2} in die Summe von n und der vorhergehenden Dreieckszahl \frac{(n-1)\cdot n}{2}: 3eckszahl02.PNG. Dementsprechend gilt 2\cdot \frac{(n-1)\cdot n}{2} + n = (n-1)\cdot n + n = n^2 - n + n = n^2 3eckszahl03.PNG

Dass sich zwei aufeinanderfolgende Dreieckszahlen zu einer Quadratzahl addieren, wurde schon im 2. Jahrhundert vom griechischen Mathematiker Theon von Smyrna in seinem Werk „Das an mathematischem Wissen für die Lektüre Platons Nützliche“ niedergeschrieben.[3]

Alternierende Summe von Quadratzahlen[Bearbeiten]

Nimmt man die Quadratzahl n^2 und subtrahiert und addiert abwechselnd die kleineren Quadratzahlen, dann erhält man als Ergebnis die n-te Dreieckszahl. Beispielsweise berechnen sich die vierte und fünfte Dreieckszahl wie folgt:

16 - 9 + 4 - 1 = 10 = \Delta_4
25 - 16 + 9 - 4 + 1 = 15 = \Delta_5

Indem man sich zunutze macht, dass jede Quadratzahl die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist, kann man diesen Zusammenhang anhand seiner geometrischen Veranschaulichung erklären.

Triangular number 10 as alternating sum of square numbers.svg

Man sieht, dass mit Ausnahme des größten jedes Dreieck in der Summe genau zweimal vorkommt: je einmal mit Plus und Minus. Dadurch kürzen sich die kleinen Dreiecke in der Summe und übrig bleibt allein das große Dreieck.

Mit Hilfe des mathematischen Wortschatzes lässt sich obiger Sachverhalt sehr kurz wiedergeben: die n-te Dreieckszahl ist die alternierende Summe der Quadratzahlen von n^2 bis 1. Die entsprechende mathematische Formel ist

\Delta_n = \sum_{i=1}^n (-1)^{n+i} \cdot i^2

Quadrat-Dreieckszahlen[Bearbeiten]

Quadrat-Dreieckszahlen sind Dreieckszahlen, die gleichzeitig Quadratzahlen sind. Die ersten Quadrat-Dreieckszahlen sind

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, … Folge A001110 in OEIS

Dies sind die Dreieckszahlen mit den Indizes

0, 1, 8, 49, 288, 1681, … Folge A001108 in OEIS

Damit eine Dreieckszahl eine Quadratzahl sein kann, muss für diese Zahl

\frac{n\cdot (n+1)}{2}

Folgendes gelten: Von den beiden Ausdrücken n+1\ und n\ muss eine der beiden eine ungerade Quadratzahl sein. während der andere das Doppelte einer Quadratzahl sein muss. Angenommen, einer der beiden Ausdrücke n\ oder n+1\ sei eine gerade Quadratzahl und der andere Ausdruck das doppelte einer Quadratzahl. Das führt zu einem Widerspruch, da das Doppelte irgendeiner Quadratzahl eine gerade Zahl ergibt. Eine gerade Zahl plus eins aber muss eine ungerade Zahl ergeben, was sie nach unserer Überlegung aber nicht tut. Also muss der eine Ausdruck eine ungerade Quadratzahl sein.

Dreieckszahlen und zentrierte Polygonalzahlen[Bearbeiten]

Zentrierte Polygonalzahlen stehen im Zusammenhang mit regelmäßigen Polygonen, die nach folgendem Muster gelegt werden: ein einzelner Stein liegt im Mittelpunkt des Polygons. Um diesen Stein werden weitere Polygone gelegt, wobei sich deren Seitenlängen von innen nach außen jeweils um eins erhöhen.

Diese Muster können auch nach einer anderen Regel gelegt werden. Wieder wird mit dem einzelnen Stein in der Mitte begonnen. Doch im zweiten Schritt werden für die n-te zentrierte k-Eckszahl k Dreiecke nach dem Muster der (n-1)-ten Dreieckszahl um das Zentrum herumgelegt. Das folgende Bild zeigt dies für die erste bis vierte zentrierte Quadratzahl.

Zentrierte Quadratzahl3.PNG

Daraus folgt für die n-te zentrierte k-Eckszahl folgende Formel:

1 + k \cdot \Delta_{n-1} = 1 + \frac{kn(n-1)}{2}

Zahlenpalindrome unter den Dreieckszahlen[Bearbeiten]

Unter den Dreieckszahlen gibt es mehrere Zahlenpalindrome. Beispiele sind

1, 3, 6, 55, 66, 171, 595, 666, 3003, 5995, 8778, … (Folge A003098 in OEIS)

Unter diesen sind die 11te, die 1.111te, die 111.111te und die 11.111.111te Dreieckszahl. Von der 1.111ten und der 111.111ten Dreieckszahl hat Charles Trigg herausgefunden, dass es sich um Zahlenpalindrome handelt.

Reihe der Kehrwerte[Bearbeiten]

Die Summe der Kehrwerte aller Dreieckszahlen ist

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\Delta_n} = \frac{2}{1 \cdot 2} + \frac{2}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3 \cdot 4} + \dots = 2


Lösung nach Gottfried Wilhelm Leibniz, mit \frac1{\Delta_n}=\frac2{n(n+1)}=\frac{2(n+1)-2n}{n(n+1)}=\frac2n-\frac2{n+1}

\begin{align}
1/\Delta_1 &= \tfrac{1}{1}  &= \tfrac21\color{Red}-\tfrac22\\
1/\Delta_2 &= \tfrac{1}{3}  &= \color{Red}\tfrac22-\tfrac{2}{3}\\
1/\Delta_3 &= \tfrac{1}{6}  &= \color{Red}\tfrac{2}{3}- \color{Red}\tfrac{2}{4}\\
1/\Delta_4 &= \tfrac{1}{10} &= \color{Red}\tfrac{2}{4}- \color{Red}\tfrac{2}{5}\\
1/\Delta_5 &= \tfrac{1}{15} &= \color{Red}\tfrac{2}{5}- \color{Red}\tfrac{2}{6}\\
1/\Delta_6 &= \tfrac{1}{21} &= \color{Red}\tfrac{2}{6}- \color{Red}\tfrac{2}{7}\\
         & \qquad \vdots & \qquad \vdots
\end{align}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\Delta_n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10}+ \frac{1}{15}+ \frac{1}{21}+ \dots = 2

Dreieckswurzel[Bearbeiten]

Analog zur Quadratwurzel bei der Quadratzahl lässt sich auch mit der Dreieckswurzel n die Seitenlänge einer Dreieckszahl x bestimmen:

n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}.

So wird z.B. die Dreieickszahl x=10 aus n=4 Reihen gebildet.

Diverses[Bearbeiten]

  • Die zehnte, hundertste, tausendste, zehntausendste usw. Dreieckszahl ist 55, 5.050, 500.500, 50.005.000 usw. (OEIS, A037156).
Allgemein gilt \Delta_{10^n} = \frac{10^{2n} + 10^n}{2} = 5 \cdot (10^{2n-1}+10^{n-1}).
3 \cdot \left( \sum_{k=1}^n \Delta_k \right)^3 = \sum_{k=1}^n \Delta_k^3 + 2 \cdot \sum_{k=1}^n \Delta_k^4 = \frac{1}{72}n^3(n+1)^3(n+2)^3
zwischen Summen und Potenzen von Dreieckszahlen.[4]

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Hauptartikel: Polygonalzahl, reguläre figurierte Zahl

Es gibt im Wesentlichen zwei Verallgemeinerungen der Dreieckszahlen. Bleibt man in der Ebene, dann kann man das Konstruktionsprinzip der Dreieckszahlen auf Polygone mit mehr Ecken anwenden. Dadurch entstehen die Polygonalzahlen, zu denen beispielsweise die Quadratzahlen und Fünfeckszahlen zählen.

Die zweite Verallgemeinerung besteht darin, die Ebene zu verlassen und zu höheren Dimensionen überzugehen. Im Dreidimensionalen betrachtet man dann einen Tetraeder, das ist eine Pyramide mit gleichseitigen Dreiecken als Seiten. Im Vierdimensionalen gelangt man zum Pentatop, dessen Seiten Tetraeder sind. Dies lässt sich beliebig fortsetzen. Die zugehörigen figurierten Zahlen heißen Tetraederzahlen, Pentatopzahlen und im allgemeinen Fall reguläre figurierte Zahlen. Im Eindimensionalen sind noch die natürlichen Zahlen zu erwähnen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Dreieckszahlen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 2: Diophantine Analysis. Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 1.
  2. Hubert Mania: Gauß. Eine Biographie. Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2008, ISBN 978-3-498-04506-7, S. 108.
  3. Leonard Eugene Dickson: History of the Theory of Numbers. Volume 2: Diophantine Analysis. Dover Publications, Mineola NY 2005, ISBN 0-486-44233-0, S. 2
  4. Pedro Antonio Pizá: Sums of Powers of triangular numbers. In: Scripta Mathematica 16 (1950), S. 127.