Immersion (Mathematik)

Eine nicht injektive Immersion: R → R², t ↦ (t² − 1, t · (t² − 1))

In der Differentialgeometrie versteht man unter einer Immersion eine glatte Abbildung $F\colon M\rightarrow N$ zwischen Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$, wenn der Pushforward $F_{\ast p}\colon T_pM\to T_{F(p)}N$ dieser Abbildung an jedem Punkt $p\in M$ injektiv ist. Ist darüber hinaus $F$ eine topologische Einbettung, so spricht man von einer (glatten) Einbettung. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu $M$ diffeomorphe Untermannigfaltigkeit von $N.$

Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag Immersierte Mannigfaltigkeit beschrieben.

Immersion im euklidischen Raum

Liegt der Spezialfall $F:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n$ einer Abbildung zwischen euklidischen Räumen vor, dann stellt $F_\ast: T_p\mathbb{R}^m\rightarrow T_{F(p)}\mathbb{R}^n$ nichts anderes als die totale Ableitung bzw. die Jacobi-Matrix $DF(p)\colon\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$ dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum und eine lineare Abbildung mit einer Matrix identifiziert werden.

Allgemein ist eine differenzierbare Abbildung $F:M\rightarrow N$ genau dann eine Immersion, wenn für alle $p\in M$ der Rang der linearen Abbildung $F_\ast$ gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit $M$ ist, also gilt

$\operatorname{rang} F_p = \dim(\operatorname{Bild}(T_p F)) = \dim M.$

Siehe auch

• Submersion

Literatur

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.