Immersion (Mathematik)

Eine nicht injektive Immersion: R → R², t ↦ (t² − 1, t · (t² − 1))

In der Differentialgeometrie versteht man unter einer Immersion eine glatte Abbildung $F\colon M\rightarrow N$ zwischen Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$, wenn der Pushforward $F_{\ast p}\colon T_pM\to T_{F(p)}N$ dieser Abbildung an jedem Punkt $p\in M$ injektiv ist. Ist darüber hinaus $F$ eine topologische Einbettung, so spricht man von einer (glatten) Einbettung. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu $M$ diffeomorphe Untermannigfaltigkeit von $N.$

Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag Immersierte Mannigfaltigkeit beschrieben.

Immersion im euklidischen Raum

Liegt der Spezialfall $T_p\mathbb{R}^m\rightarrow T_{F(p)}\mathbb{R}^n$ vor, so stellt $F_\ast$ nichts anderes als die totale Ableitung $DF(p)\colon\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}^n$ dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum identifiziert wird.

Siehe auch

• Submersion

Literatur

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.