Satz von Lagrange

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Dieser Artikel bezeichnet einen mathematischen Satz der Gruppentheorie. Für den Vier-Quadrate-Satz siehe hier.

Der Satz von Lagrange ist ein mathematischer Satz der Gruppentheorie, der besagt, dass die Mächtigkeit (oder Ordnung) jeder Untergruppe einer endlichen Gruppe deren Mächtigkeit teilt. Er wurde nach dem italienischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange benannt.

Aussage[Bearbeiten]

Sei G eine endliche Gruppe, dann gilt:

  1. Ist H eine Untergruppe von G, so ist ihre Kardinalität \left| H \right| ein Teiler von \left| G \right|.
  2. Insbesondere teilt die Ordnung \operatorname{ord}(x) eines Elements x von G die Kardinalität \left| G \right| von G.

Für eine endliche Gruppe G lautet der Satz von Lagrange genauer:

\left| G \right| = \left| H \right| \cdot (G\colon H)

mit (G\colon H) als dem Index, das ist die Anzahl der Nebenklassen, von H in G. Da der Index eine ganze Zahl ist, folgt auch, dass \left| H \right| ein Teiler von \left| G \right| ist.

Beweis des Satzes[Bearbeiten]

Sei H Untergruppe der endlichen Gruppe G.

Betrachte für jedes g\in G die (linke) Nebenklasse gH := \{gh \mid h\in H\}.

Es ist h\mapsto gh eine Bijektion zwischen H und gH, denn gh_1 = gh_2 \Rightarrow h_1 = h_2. Darum sind alle Nebenklassen gleich groß (und haben |H| Elemente).

Haben zwei Nebenklassen g_1H, g_2H ein Element g_1h_1=g_2h_2 gemeinsam, so sind die Nebenklassen sogar gleich: g_1H=g_1(h_1H)=(g_1h_1)H=g_2h_2H=g_2H.

Da schließlich die Nebenklassen ganz G überdecken (es ist g\in gH), wird G in endlich viele disjunkte |H|-elementige Teilmengen zerlegt, so dass |G| ein Vielfaches von |H| sein muss.

Die zweite Aussage des Satzes ist eine einfache Folgerung der ersten, da die von x erzeugte Untergruppe gerade die Kardinalität \operatorname{ord}(x) besitzt.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]