Interpolationssatz von Katětov

Der Interpolationssatz von Katětov (englisch : Katětov's interpolation theorem) ist ein Lehrsatz, welcher dem mathematischen Teilgebiet der Topologie zuzurechnen ist. Er geht zurück auf den tschechischen Mathematiker Miroslav Katětov und gibt eine Verallgemeinerung des Fortsetzungssatzes von Tietze.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben sei ein normaler topologischer Raum $X$.

Seien weiter gegeben zwei halbstetige reellwertige Funktionen $g\;,\;h:X\to \mathbb {R}$ und es sei vorausgesetzt, dass $g$ oberhalbstetig sei, dass $h$ unterhalbstetig sei und dass dabei stets die Ungleichung $g(x)\leq h(x)\;\;(x\in X)$ bestehe.

Dann existiert eine stetige Funktion $f:X\to \mathbb {R}$, welche $g$ und $h$ interpoliert,

für welche also punktweise die Ungleichung

$g\leq f\leq h$

besteht.

Korollar

Aus dem Interpolationssatz von Katětov lässt sich der tietzesche Fortsetzungssatz als unmittelbare Folgerung gewinnen:

Ist nämlich $A\subseteq X$ eine in $X$ abgeschlossene Menge und $f_{0}:A\to \mathbb {R}$ eine auf $A$ stetige Funktion, so definiert man:

$g\;,\;h:X\to [0,1]\subset \mathbb {R}$ wie folgt:

$g(a):=f_{0}(a)=:h(a)$   für   $a\in A$

$g(x):=0$   für   $x\in {S\setminus A}$

$h(x):=1$   für   $x\in {S\setminus A}$

Hierbei erweist sich $g$ oberhalbstetig und $h$ ist unterhalbstetig und dabei gilt punktweise $g\leq h$. Die nach dem Interpolationssatz existierende Interpolationsfunktion $f:X\to [0,1]\subset \mathbb {R}$ ist dann die gesuchte stetige Fortsetzung.

Anmerkungen

• In seiner Arbeit aus dem Jahre 1951 war Katětov bei der Herleitung seines Interpolationssatzes ein Fehler unterlaufen, welcher von Hing Tong mit dessen Arbeit aus dem Jahre 1952 bereinigt wurde. In der englischsprachigen Literatur wird der Interpolationssatz daher oft beiden genannten Autoren zugerechnet und dann - etwa von Tomasz Kubiak (s. u.) - als Katětov-Tong insertion theorem bezeichnet.
• Der Interpolationssatz lässt sich mit Hilfe des Lemmas von Urysohn herleiten. Da das Lemma von Urysohn und der Tietzesche Fortsetzungssatz im Wesentlichen gleichwertig sind und da der Interpolationssatz den Fortsetzungssatz - wie gesehen - nach sich zieht, erweisen sich alle drei Lehrsätze damit sogar als gleichwertig. Wie sich (nicht zuletzt anhand der genannten Arbeiten) zeigt, bedeuten diese im Kern, dass ein normaler Raum stets die in den drei Lehrsätzen behaupteten funktionalen Eigenschaften besitzt und dass ihn diese charakterisieren.

Literatur

• G. J. O. Jameson: Topology and Normed Spaces. Chapman and Hall, London 1974, ISBN 0-412-12880-2.  MR0463890
• M. Katětov: On real-valued functions in topological spaces. In: Fund. Math. Band 38, 1951, S. 85–91.  MR0050264
• Tomasz Kubiak: A stengthening of the Katětov-Tong insertion theorem. In: Comment. Math. Univ. Carolin. Band 34, 1993, S. 357–362 ([1]).  MR1241744
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.  MR0423277
• Hing Tong: Some characterizations of normal and perfectly normal spaces. In: Duke Math. J. Band 19, 1952, S. 289–292.  MR0050265