Fortsetzungssatz von Tietze

Der Fortsetzungssatz von Tietze ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er setzt normale topologische Räume mit stetigen Fortsetzungen in Beziehung. Veröffentlicht wurde der Satz im Jahr 1915 von Heinrich Tietze.

Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Urysohnschen Lemmas und kann in vielen Fällen angewendet werden, da alle metrischen Räume und alle kompakten Hausdorff-Räume normal sind.

Fortsetzungssatz von Tietze

Ein topologischer Raum $X$ ist genau dann ein normaler Raum, wenn zu jeder auf einer abgeschlossenen Teilmenge $A$ von $X$ definierten, stetigen Funktion

$f\colon A \rightarrow \mathbb{R}$

eine stetige Funktion

$F\colon X \rightarrow \mathbb{R}$

existiert mit $F|_A=f$, d.h. $F(a)=f(a)$ für alle $a\in A$.

Die Funktion $F$ wird als (stetige) Fortsetzung von $f$ bezeichnet.

Dies ist ein reiner Existenzsatz. Bis auf wenige Ausnahmen ist eine solche stetige Fortsetzung nicht eindeutig, d. h. es kann zu gegebener Funktion $f$ mehr als eine Funktion $F$ mit der gesuchten Eigenschaft geben.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).
• Heinrich Tietze: Über Funktionen, die auf einer abgeschlossenen Menge stetig sind. In: Journal für Reine und Angewandte Mathematik. 145, 1915, S. 9–14 (Digitalisierte Version [1].)