Symmetrische Algebra

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

In der Mathematik dienen symmetrische Algebren zur Definition von Polynomen über beliebigen Vektorräumen. Sie spielen eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der Lie-Gruppen und in der Theorie der charakteristischen Klassen.

Formale Definition[Bearbeiten]

Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Weiter sei

 T^k(V) = \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{k\text{-mal}}

das k-fache Tensorprodukt von V mit den Konventionen T^0(V)=K und T^1(V)=V. Die direkte Summe

T(V)=\bigoplus_{k=0}^\infty T^k(V)

ist die Tensoralgebra von V.

Das zweiseitige, homogene Ideal I(V)\subseteq T(V) sei erzeugt durch Differenzen von Elementartensoren mit "vertauschter Reihenfolge":

 I(V) := \mathrm{span}\left\{v\otimes w - w \otimes v\Big|\; v, w\in V \right\}.

Die symmetrische Algebra ist dann definiert als der Quotientenraum

S(V) = T(V) / I(V).

Die k-te symmetrische Potenz von V ist definiert als das Bild von T^k(V) in S(V), sie wird mit S^k(V) bezeichnet. Man hat eine Zerlegung

S(V) = \bigoplus_{k=0}^\infty S^k(V).

Das Produkt in der symmetrischen Algebra wird traditionell als a b geschrieben.

Analog kann man die symmetrische Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.

Beispiele[Bearbeiten]

Für V=K ist S(V) isomorph zum Polynomring K\left[x\right].

Allgemein kann man die Elemente von S(V) als Polynome in den Elementen einer fest gewählten K-Basis von V interpretieren.

Speziell für V:=\mathfrak gl(n,K)=Mat(n,K), den Vektorraum der n\times n-Matrizen über K, kann man die Elemente von S(V) als Polynome in den Einträgen der Matrizen interpretieren:

S(\mathfrak gl(n,K))\simeq K\left[x_{11},\ldots,x_{nn}\right].

Polynome über Vektorräumen[Bearbeiten]

Polynome vom Grad k über einem \mathbb K-Vektorraum V sind - per Definition - die Elemente aus S^k(V^*), wobei V^* den Dualraum bezeichnet. Diese Polynome sind lineare Abbildungen

P:\underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{k\text{-mal}}\rightarrow \mathbb K

welche unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe S_k invariant sind. (Man beachte, dass ein solches Polynom durch seine Werte P(x,x,\ldots,x) für alle x\in V bereits eindeutig festgelegt wird.)

Das Produkt

S^k(V^*)\otimes S^l(V^*)\rightarrow S^{k+l}(V^*)

ist definiert durch

(PQ)(v_1,\ldots,v_{k+l})=\frac{1}{(k+l)!}\sum_{\sigma\in S_{k+l}}P(v_{\sigma(1)},\ldots.v_{\sigma(k)})Q(v_{\sigma(k+1)},\ldots,v_{\sigma(k+l)}).

Siehe auch[Bearbeiten]

Graßmann-Algebra

Literatur[Bearbeiten]