Kempner-Reihe

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In der Mathematik bezeichnen die zehn Kempner-Reihen, benannt nach Aubrey J. Kempner, diejenigen Reihen, die dadurch entstehen, dass man aus der harmonischen Reihe H_n=\sum_{k=1}^n \frac1k alle Summanden entfernt, die eine bestimmte dezimale Ziffer in ihrem Nenner enthalten. Die Kempner-Reihen gehören daher zu den subharmonischen Reihen.

Lässt man etwa alle Summanden weg, deren Nenner die Ziffer 0 in seiner Dezimalschreibweise enthält, ergibt sich die Kempner-Reihe K_0 als

K_0=1+\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac19+\frac1{11}+\cdots+\frac1{19}+\frac1{21}+\cdots+\text{ usw. }+\cdots+\frac1{99}+\frac1{111}+\ldots

Oder durch Auslassen der Summanden mit einer 1 im Nenner:

K_1=\frac12+\frac13+\cdots+\frac19+\frac1{20}+\frac1{22}+\cdots+\frac1{30}+\frac1{32}+\cdots+\text{ usw. }+\cdots+\frac1{99}+\frac1{200}+\frac1{202}+\cdots

Sie wurden erstmals von Aubrey J. Kempner 1914 beschrieben.[1]

Das Interessante an diesen zehn Reihen ist, dass sie alle konvergieren, obwohl die harmonische Reihe selbst nicht konvergiert. Dies wurde von Kempner bewiesen; daher werden die Reihen oft Kempner-Reihen genannt.

Beweis der Konvergenz[Bearbeiten]

Für die Kempner-Reihe K_0 sind

  • im einstelligen Nennerbereich 1 bis 9 genau \!\ 9 Nenner (alle) zulässig;
  • im zweistelligen Nennerbereich 10 bis 99 genau 9\cdot 9=9^2 Nenner (neun Ziffern an der ersten Stelle mal neun Ziffern an der zweiten Stelle möglich) zulässig;
  • im dreistelligen Nennerbereich 100 bis 999 genau 9\cdot 9\cdot 9=9^3 Nenner zulässig; usw.,

allgemein sind

  • im n-stelligen Nennerbereich 10^{n-1} bis 10^n-1 genau \!\ 9^n Nenner zulässig.

Die 9 zulässigen einstelligen Nennerwerte sind allesamt größergleich 1, daher sind die Brüche in der Reihe jeweils kleinergleich 1; die 9^2 zulässigen zweistelligen Nenner sind alle größergleich 10, daher sind die entsprechenden Brüche alle kleinergleich \tfrac1{10}; die 9^3 dreistelligen zulässigen Nenner sind jeweils größergleich 100, daher sind die entsprechenden Brüche allesamt kleinergleich \tfrac1{100}; usw.

Das ergibt die obere Schranke

\begin{matrix} K_0&=&(\frac11+\frac12+\frac13+\cdots+\frac19)&+&(\frac1{11}+\cdots+\frac1{99})&+&(\frac1{111}+\cdots+\frac1{999})&+&\cdots \\
&<& (\frac11+\frac11+\frac11+\cdots+\frac11)&+& (\frac1{10}+\cdots+\frac1{10})&+& (\frac1{100}+\cdots+\frac1{100})&+&\cdots \\
&=& 9\cdot\frac11 &+& 9^2\cdot\frac1{10}&+&9^3\cdot\frac1{100}&+&\cdots \end{matrix}
= 9\cdot \left(1+\left(\frac9{10}\right)+\left(\frac9{10}\right)^2+\left(\frac9{10}\right)^3+\cdots\right)
=\frac9{1-\frac9{10}}=90.

(Bei der Reihe in der vorletzten Zeile handelt es sich um eine konvergente geometrische Reihe)

Damit konvergiert K_0 und es gilt die (ziemlich großzügige) Schranke

K_0<90.

Der Beweis der Konvergenz der anderen Reihen verläuft analog, es ist aber zu beachten, dass im einstelligen Nennerbereich nur 8 Werte, im zweistelligen Nennerbereich aber 8\cdot 9 Nennerwerte zulässig sind, da an der ersten Stelle sowohl die Null als auch die entsprechende Ziffer, an der zweiten Stelle aber nur die entsprechende Ziffer "verboten" sind, usw.; insgesamt ergibt sich dadurch die Schranke 80.

Werte[Bearbeiten]

Die Reihen konvergieren extrem langsam.

Näherungswerte[Bearbeiten]

Ausgelassene Ziffer Näherungswert[2]
0 23,10344
1 16,17696
2 19,25735
3 20,56987
4 21,32746
5 21,83460
6 22,20559
7 22,49347
8 22,72636
9 22,92067

Effiziente Berechnungsmöglichkeiten[Bearbeiten]

Aufgrund der ziemlich langsamen Konvergenz benötigt man schnelle und effiziente Berechnungsalgorithmen, vgl. [3].

Erweiterungen[Bearbeiten]

n-faches Auftreten[Bearbeiten]

F. Irwin verallgemeinerte das Resultat der Konvergenz der zehn Kempner-Reihen, indem er bewies, dass alle Reihen, die über die Kehrwerte aller natürlicher Zahlen, in denen die Ziffer x_0 genau n_0 mal, die Ziffer x_1 genau n_1, usw. auftreten, ebenfalls konvergieren.[4]

Die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, in denen genau eine 9 vorkommt, beträgt etwa 23,044287080747848319. Dieser Wert ist größer als Kempners K_9, obwohl diese mit größeren Summanden beginnt. Ein extremeres Beispiel dafür ist die Summe der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, in denen einhundert Nullen vorkommen, sie beginnt mit dem Summanden 1/10^{100} und ist dennoch größer als etwa K_9.[3]

Zusammenhängende Ziffernfolgen[Bearbeiten]

Eine Möglichkeit, die harmonische Reihe weit weniger auszudünnen, ist, nur alle Summanden herauszunehmen, deren Nenner irgendwo eine bestimmte zusammenhängende Ziffernfolge – etwa 314 (die ersten drei Stellen der Kreiszahl \pi) – enthält. Auch derartige Reihen konvergieren; im genannten Beispiel ergibt sich ein Grenzwert von etwa 2299,829782.[5] Bei Herausnahme der ersten sechs Stellen 314159 ergibt sich ein Grenzwert von etwa 2302582,333863782607892.[6] Allgemein gilt: Wenn alle Summanden mit einer zusammenhängenden Ziffernfolge der Länge n herausgenommen werden, konvergiert die Reihe mit einem Grenzwert in der Größenordnung von etwa  10^n \cdot\ln 10 .[7]

In anderen Stellenwertsystemen[Bearbeiten]

Es gibt natürlich auch analoge Reihen in anderen Stellenwertsystemen. Die duale Kempner-Reihe etwa entsteht durch Streichen aller Summanden, die eine \rm O in ihrer Dualdarstellung enthalten. Alle Dualzahlen zu streichen, in denen eine \rm I vorkommt, geht nicht. Die einzige duale Kempner-Reihe ist also

\begin{alignat}{2} K_{\text{dual}} &= \frac{\rm I}{\rm I}+\frac{\rm I}{\rm II}+\frac{\rm I}{\rm III}+\frac{\rm I}{\rm IIII}+\cdots &\text{(dual)} \\
&= 1+\frac13+\frac17+\frac1{15}+\frac1{31}+\cdots  &\text{    (dezimal)}\\
&= \sum_{k=1}^\infty \frac1{2^k-1}\\
&= 1{,}60669515241529 \ldots,
\end{alignat}

welche gegen die Erdős-Borwein-Konstante konvergiert. Zum Beweis der Konvergenz betrachte man die unendliche konvergente geometrische Reihe \sum_{k=0}^\infty\frac1{2^k} =\sum_{k=0}^\infty\left(\frac12\right)^k = \frac1{1-\frac12}=2 als obere Schranke.

Quellen[Bearbeiten]

  1. Aubrey J. Kempner: A Curious Convergent Series. In: Amer. Math. Monthly, Band 21 Nr. 2, Mathematical Association of America, Washington 1914, Seiten 48–50, ISSN 00029890.
  2. Eric W. Weisstein: Kempner Series. In: MathWorld (englisch).
  3. a b Robert Baillie: Summing the Curious Series of Kempner and Irwin, 27. Juni 2008, arxiv
  4. F. Irwin: A Curious Convergent Series. In: Amer. Math. Monthly. Band 23, 1916, Seiten 149-152.
  5. R. Baillie, T. Schmelzer: Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series. 20. Mai 2008; vgl. in Wolfram Library Archive
  6. R. Baillie, T. Schmelzer: Summing Kempner's Curious (Slowly-Convergent) Series. 20. Mai 2008; vgl. in Wolfram Library Archive
  7. Eric W. Weisstein: Kempner Series. In: MathWorld (englisch).