Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt

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Klein–Nishina-Wirkungsquerschnitt für den Streuwinkel bei verschiedenen Energien
(Einspeisung von links, d.h. bei 180°)

Der Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt ist ein Wirkungsquerschnitt, der die Winkelverteilung von Photonen angibt, die an ruhenden Elektronen gestreut werden (Compton-Streuung). Er wurde 1929 von Oskar Klein und Yoshio Nishina berechnet und war eines der ersten Ergebnisse der Quantenelektrodynamik. Er stimmt mit den experimentellen Ergebnissen überein.

Definition[Bearbeiten]

Bei der Photon-Elektron-Streuung legen Energie- und Impulserhaltung fest, wie die Energie E' des gestreuten Photons vom Streuwinkel \theta und der ursprünglichen Photonenenergie E abhängen:

E' = E \cdot P(E, \theta) \, ,

wobei

P(E, \theta) = \frac{1}{1 + \frac{E}{m \, c^2}(1 - \cos \theta)} ist und m die Masse des Elektrons.

Aus den Erhaltungssätzen folgt aber nicht, wie häufig dieser oder jener Streuwinkel auftritt. Diese Häufigkeit wird durch den differenziellen Wirkungsquerschnitt \mathrm d\sigma / \mathrm d\Omega angegeben, mit dem Raumwinkelelement \mathrm d\Omega = \sin \theta \, \mathrm d\theta \, \mathrm d\phi.

Für einfallende Photonen der Energie E ist der Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt

\frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}_\text{ Klein-Nishina} = \frac{1}{2} \, r_\text{e}^2 \, P(E, \theta) \, \Bigl( 1 - P(E, \theta) \sin^2\theta + P(E, \theta)^2 \Bigr).

Hierbei ist

r_\mathrm{e} = \frac{e^2}{4\pi \, \varepsilon_0 \, m \, c^2} \approx 2,818\cdot 10^{-15}\,\mathrm{m}

der klassische Elektronenradius.

Für Photonenergien, die klein gegen die Ruheenergie des Elektrons sind, gilt

P(E, \theta) \rightarrow 1;

dann geht der Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt gegen den Wirkungsquerschnitt

\Rightarrow \frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}{}_{\text{ Thomson}} = \frac{1}{2} \, r_{\text{e}}{}^2 \, \bigl(1 + \cos^2\theta \bigr) \, ,

den Joseph Thomson für die Streuung einer elektromagnetischen Welle an einer Punktladung berechnet hatte. Für kleine Energien ist Vorwärtsstreuung des Photons also genauso wahrscheinlich wie Rückwärtsstreuung, erst bei höheren Energien wird Vorwärtsstreuung wahrscheinlicher (vgl. Abbildung).

Gesamtwirkungsquerschnitt[Bearbeiten]

Den Gesamtwirkungsquerschnitt erhält man durch Integration über die Winkel \mathrm d\Omega.

Ist die Photonenergie E groß gegen die Ruhenergie des Elektrons, so fällt der Gesamtwirkungsquerschnitt mit der Energie ab:

\sigma_\text{Klein-Nishina} = \frac{m \, c^2}{E} \, \pi \, r_\text{e}^2 \left( \frac 1 2 + \ln \left( \frac{2 \, E}{m \, c^2} \right) + \operatorname{O} \left( \frac{m \, c^ 2}{E} \right) \right).

Für niederenergetische Photonen ist der Gesamtwirkungsquerschnitt bis auf einen Faktor 8/3 die Fläche einer Kreisscheibe, deren Radius der klassische Elektronenradius ist:

\sigma_\text{Thomson} = \frac{8}{3} \, \pi  \, r_\text{e}^2.

Literatur[Bearbeiten]

  • Otto Nachtmann: Phänomene und Konzepte der Elementarteilchenphysik. Vieweg Braunschweig, 1986, ISBN 3-528-08926-1.
  • O. Klein und Y. Nishina: Über die Streuung von Strahlung durch freie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantenmechanik nach Dirac. In: Zeitschrift für Physik. 52, 1929, S. 853–868, doi:10.1007/BF01366453.