Compton-Effekt

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Compton-Streuung
Feynman-Diagramme
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Als Compton-Effekt bezeichnet man die Vergrößerung der Wellenlänge eines Photons bei der Streuung an einem Teilchen. Erstmals wurde der Compton-Effekt an Elektronen beobachtet. Diese Compton-Streuung (nach Arthur Compton) ist ein wichtiger Ionisationsprozess und der dominierende Wechselwirkungsprozess energiereicher Strahlung mit Materie für Photonenenergien zwischen etwa 100 keV und 10 MeV.

Geschichte[Bearbeiten]

Bis zur Entdeckung des Compton-Effekts war der Photoeffekt der einzige Befund, dass Licht sich nicht nur wie eine Welle, sondern auch, wie von Albert Einstein 1905 postuliert, wie ein Strom von Teilchen verhält (siehe auch Welle-Teilchen-Dualismus).

Als Arthur Compton im Jahre 1922 die Streuung von hochenergetischen Röntgenstrahlen an Graphit untersuchte, machte er zwei Beobachtungen: Zum einen war die Streuwinkelverteilung in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung nicht gleich und zum anderen war die Wellenlänge der gestreuten Strahlung größer als die der einfallenden Strahlung. Beide Beobachtungen waren mit der Vorstellung unverträglich, eine elektromagnetische Welle werde an freien Elektronen (Thomson-Streuung) oder an gebundenen Elektronen (Rayleigh-Streuung) gestreut. Die Elektronen würden mit der Frequenz der einfallenden Welle schwingen und eine Welle mit unveränderter Frequenz aussenden.

Stattdessen zeigten Comptons Messungen, dass sich die Wellenlänge der gestreuten Strahlung je nach Streuwinkel wie bei einem Stoß von Teilchen, dem Photon und dem Elektron, verhält (Herleitung siehe unten). Damit bewies Compton den Teilchencharakter von Licht – oder den Wellencharakter der Elektronen, denn behandelt man Elektronen als Materiewellen und Licht als elektromagnetische Welle, so ergibt sich wie in den obigen Feynmangraphen wiederum der Compton-Effekt.[1][2]

Compton-Wellenlänge[Bearbeiten]

Energien von Elektron (blau) und Photon (grau) nach der Compton-Streuung eines Photons mit 51 keV, 511 keV bzw. 5 MeV (die Ordinaten sind in Einheiten der Ruheenergie des Elektrons E = m_e c^2) jeweils in Abhängigkeit vom Streuwinkel (180° bedeutet Rückstreuung des Photons mit maximalem Energieübertrag).

Beim Stoß an einem (quasi) freien, ruhenden Elektron übernimmt dieses einen Teil der Energie  \ E des Photons, dessen Energie sich auf  \ E' vermindert – es handelt sich um einen elastischen Stoß. Je größer seine Ausgangsenergie, desto vollständiger kann die Energie übertragen werden, siehe Abbildungen rechts. Bei einem „Streifschuss“ mit \phi \approx 0 behält das Photon fast seine ganze Energie, bei einem „Frontalzusammenstoß“ mit \phi = 180^\circ wird das Photon zurückgestreut und verliert maximal an Energie. Dabei ist \phi der Winkel, um den sich die Bewegungsrichtung des Photons ändert.

Durch den Energieverlust nimmt die Wellenlänge des Photons zu. Bemerkenswert ist, dass diese Zunahme  \ \Delta \lambda=\lambda'-\lambda nur noch vom Winkel  \ \phi, und nicht von der ursprünglichen Photonenenergie abhängt:

\Delta \lambda=\frac{h}{m_e c}\left(1- \cos \phi \right)=\lambda_C\left(1- \cos \phi \right)\,.

Die Compton-Wellenlänge ist für ein Teilchen mit Masse eine charakteristische Größe. Sie gibt die Zunahme der Wellenlänge des rechtwinklig an ihm gestreuten Photons an.

Die Compton-Wellenlänge eines Teilchens der Masse m beträgt

 \lambda_{\text{C}} = \frac{h}{m\,c}\,,

wobei h das Plancksche Wirkungsquantum und c die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit ist.

Häufig (besonders in der Elementarteilchenphysik) wird auch die reduzierte Comptonwellenlänge {\lambda\!\!\!^{-}}_{\text{C}}=  \frac{\hbar}{m\,c}\, mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum \hbar=\frac {h}{2 \cdot \pi} benutzt und auch ohne den Zusatz reduziert als Comptonwellenlänge bezeichnet.[3] In dieser Form taucht die Comptonwellenlänge als Parameter in der Klein-Gordon-Gleichung auf.

Compton-Wellenlängen von Elektron, Proton und Neutron[Bearbeiten]

Die Compton-Wellenlängen von Elektronen, Protonen und Neutronen sind somit, anders als deren De-Broglie-Wellenlängen, von ihrer Geschwindigkeit unabhängig; ihre Werte betragen nach derzeitiger Messgenauigkeit: [4] [5] [6]

\begin{align}
\lambda_{\text{C (Elektron)}} & = 2{,}426\,310\,2389\,(16)\cdot 10^{-12}\ \mathrm{m}\\
\lambda_{\text{C (Proton)}}   & = 1{,}321\,409\,856\,23\,(94)\cdot 10^{-15}\ \mathrm{m}\\
\lambda_{\text{C (Neutron)}}  & = 1{,}319\,590\,9068\,(11)\cdot 10^{-15}\ \mathrm{m}
\end{align}

Die eingeklammerten Ziffern geben die geschätzte Standardabweichung für den Mittelwert an, der den beiden letzten Ziffern vor der Klammer entspricht.

Die reduzierte Compton-Wellenlänge des Elektrons beträgt rund 400 Femtometer oder genauer  3{,}86 \cdot 10^{-13}\ \mathrm{m}, beim Proton und Neutron rund  2{,}10 \cdot 10^{-16}\ \mathrm{m} oder 0,2 Femtometer.

Die sehr kleinen Wellenlängenänderungen sind der Grund dafür, dass der Compton-Effekt nur bei sehr kurzwelliger Strahlung, im Bereich der Röntgen- und Gammastrahlung, beobachtet werden kann. Bei großer Wellenlänge ist deren relative Zunahme gering, die Streuung scheint ohne Energieverlust stattzufinden, man spricht dann von Thomson-Streuung.

Streuquerschnitt[Bearbeiten]

Der winkelabhängige Wirkungsquerschnitt für die Compton-Streuung ist (in der Näherung freier, ruhender Elektronen) durch die Klein-Nishina-Formel gegeben. Bei der Compton-Streuung in Materie wird ein Elektron aus der Atomhülle geschlagen. In diesem Fall gelten diese Formeln nur noch näherungsweise. Der Einfluss des Impulses des gebundenen Elektrons auf die Energie des gestreuten Photons wird als Dopplerverbreiterung bezeichnet. Es handelt sich dabei um die Projektion der Impulsverteilung der streuenden Elektronen auf die Richtung des Impulsübertrags während der Streuung. Sie ist bei niedrigen Photonenergien, großen Streuwinkeln und Atomen mit hoher Kernladungszahl besonders ausgeprägt.

Streut man Photonen an anderen Objekten als Elektronen, zum Beispiel an einem Proton, so muss in obigen Gleichungen die Masse m entsprechend angepasst werden, wodurch sich Compton-Wellenlänge und Wirkungsquerschnitt ändern würden.

Inverser Compton-Effekt[Bearbeiten]

Beim inversen Compton-Effekt streut ein hochenergetisches Elektron (oder ein anderes geladenes Teilchen, etwa ein Proton) an einem niederenergetischen Photon und überträgt Energie auf das Photon. Der inverse Compton-Effekt tritt in Teilchenbeschleunigern auf und kann in der Astrophysik bei Ausströmungen in den Koronen von Akkretionsscheiben aktiver Galaxienkerne und bei Supernovae beobachtet werden (siehe auch Sunjajew-Seldowitsch-Effekt). Inverse Compton-Streuung an der Hintergrundstrahlung beschränkt die Maximalenergie von Protonen in der kosmischen Strahlung (siehe auch GZK-Cutoff).

Anwendungen[Bearbeiten]

Da es sehr schwierig ist, Gammastrahlung mittels Linsen zu fokussieren, spielt der Compton-Effekt eine wichtige Rolle bei der Abbildung mittels Gammastrahlen im Energiebereich von einigen hundert Kiloelektronenvolt bis zu einigen zehn Megaelektronenvolt. In sogenannten Compton-Teleskopen (auch Compton-Kameras genannt) misst man Energie und Richtung des gestreuten Photons sowie Energie und (manchmal) auch Richtung des Elektrons. So können Energie, Ursprungsrichtung und unter Umständen die Polarisation des einfallenden Photons bestimmt werden. In der Realität wird dies durch Messunsicherheiten und nicht gemessene Größen wie die Richtung des Elektrons jedoch stark erschwert, so dass komplexe Ereignis- und Bildrekonstruktionsmethoden angewandt werden müssen.

Das wohl bekannteste Compton-Teleskop war COMPTEL, das an Bord des NASA-Satelliten CGRO von 1991 bis 2000 als erstes Teleskop den Sternenhimmel im Energiebereich zwischen 0,75 und 30 MeV erforschte. Zu den Erfolgen von COMPTEL zählen u. a. die Erstellung der ersten Himmelskarten in diesem Energiebereich, die Erforschung der Nukleosynthese z. B. von radioaktivem 26Al (massereiche Sterne und Supernovae) und 44Ti sowie Fortschritte bei der Erforschung von Pulsaren, Aktiven Galaxien (AGNs) etc.

Es laufen Entwicklungsarbeiten zum Einsatz von Compton-Kameras im Bereich der Medizin oder Nukleartechnik. In der Medizin könnten sie gegenüber den heute verwendeten Szintigraphie-Gammakameras Bilder mit besserer räumlicher Auflösung liefern, also Tumore und Metastasen exakter lokalisieren. In der Nukleartechnik könnten in Zukunft mittels Compton-Kameras z. B. Nuklearanlagen oder nukleare Abfälle überwacht werden.

Für die Sicherheitskontrollen an Flughäfen wurden Scanner-Geräte entwickelt, welche die Compton-Rückstreuung (engl. Backscatter) von Röntgenstrahlung an Oberflächen nutzen. Diese werden zurzeit in den USA getestet.

Der inverse Compton-Effekt wird genutzt, um durch Rückstreuung von Laserphotonen an hochenergetischen Elektronen monochromatische, linear polarisierte Gammastrahlung zu erzeugen.[7]

Compton-Kontinuum und Compton-Kante[Bearbeiten]

Energieverteilung der Compton-Elektronen bei einfallenden monochromatischen γ-Quanten mit der Energie

Aus den unten hergeleiteten Formeln errechnet man leicht einen Ausdruck für die winkelabhängige Energie des Photons E_{\nu}' und die kinetische Energie des Elektrons E_{\rm e}' nach der Streuung (Klein-Nishina-Formel):

  • Photon: E_{\nu}'(\phi)=\frac{E_{\nu}}{1+\frac{E_{\nu}}{m_ec^2}(1-\cos\phi)}
  • Elektron: E_{\rm e}'(\phi)=E_{\nu} - E_{\nu}'(\phi)=E_{\nu}\left(1-\frac{1}{1+\frac{E_{\nu}}{m_ec^2}(1-\cos(\phi))}\right)

Werden viele Photonen der Energie E_{\nu}=h\nu nach Compton gestreut (etwa in einem Szintillator oder anderen Detektor), so ergibt sich ein charakteristisches Energiespektrum der gestreuten Elektronen, wie es die nebenstehende Grafik zeigt. Die hierbei auf die Elektronen übertragene Energie ist eine kontinuierliche Funktion des Streuwinkels \phi (Compton-Kontinuum), hat jedoch eine scharfe obere Schranke. Diese sogenannte Compton-Kante ergibt sich, weil die gestreuten Photonen bei \phi = 180° die größtmögliche Energie an die Elektronen übertragen. Somit liegt die Kante im Spektrum bei

E_{\rm e}'(180^\circ)=E_{\nu}\left(1-\frac{1}{1+\frac{2 E_{\nu}}{m_ec^2}}\right) = \frac{2 E_{\nu}^2}{m_ec^2+2 E_{\nu}}.

Zusätzlich erhält man im Energiespektrum einen „Photopeak“ oder „Full Energy Peak“, eine Spektrallinie bei der Energie E_{\nu}. Sie stammt von Detektionsereignissen, bei denen die gesamte Energie des Photons im Detektor deponiert wurde, beispielsweise durch den Photoeffekt. Aus der obigen Formel lässt sich ablesen, dass sich die zu einem Photopeak gehörige Compton-Kante um

Beispiel: Gammaspektrum mit Spektrallinie bei 4,4 MeV, aufgenommen mit einem Germanium-Halbleiterdetektor.
\frac{E_{\nu}}{1+\frac{2 E_{\nu}}{m_ec^2}}

links von diesem Peak befindet.

Die Abbildung rechts zeigt ein mit einem Germaniumdetektor (siehe Gammaspektroskopie) aufgenommenes \gamma-Spektrum. Bei etwa 4,4 MeV findet sich der Photopeak der Gammastrahlung, die aus unelastischer Neutronenstreuung an 12C-Atomkernen stammt (die Linie ist durch Rückstoßbewegung der Kohlenstoff-Kerne dopplerverbreitert). Aus der Gammaenergie 4,4 MeV folgt mit der obigen Gleichung, dass die zugehörige Compton-Kante bei etwa 4,2 MeV liegen muss, wo sie in der Abbildung auch leicht zu erkennen ist. Links von ihr zeigt sich das zugehörige Kontinuum mit darauf aufsitzenden Peaks anderer Herkunft.

Elastische oder inelastische Streuung[Bearbeiten]

Der Compton-Effekt ist in der Fachliteratur nicht einheitlich als inelastische Streuung oder elastische Streuung benannt. Ein Richtig oder Falsch gibt es in diesem Zusammenhang nicht, sondern es kommt auf die Art der Betrachtung an.

Richtig ist jedoch, dass es sich bei der Compton-Streuung um einen elastischen Stoß handelt, denn dieses ist zum einen die Voraussetzung für die Berechnung (Energie und Impulserhaltung), zum anderen werden alle Eigenschaften eines elastischen Stoßes erfüllt.

Inelastische Streuung durch elastischen Stoß[Bearbeiten]

Obwohl es in manchen Büchern leider oft gleichgesetzt wird, muss ein elastischer Stoß nicht auch automatisch bedeuten, dass es sich um elastische Streuung handelt. Bei Streuprozessen, insbesondere bei der Streuung von Photonen, wird oft nur das gestreute Objekt betrachtet. Beim Compton-Effekt verliert das Photon durch Wechselwirkung mit dem streuenden Objekt Energie (dabei ändert es seine Frequenz/Wellenlänge), daher sprechen manche Physiker hierbei von inelastischer Streuung.[8]

(In)elastische Streuung und innere Freiheitsgrade[Bearbeiten]

In der Fachliteratur werden inelastische Prozesse oft aber auch damit erklärt, dass innere Freiheitsgrade angeregt werden.[9] Ein einzelnes freies Elektron hat aber nach unserem heutigen Verständnis keine inneren Freiheitsgrade. Man könnte lediglich bei einem noch schwach an ein Atom gebundenen Elektron davon sprechen, dass innere Freiheitsgrade des Atoms angeregt werden. Bei dieser Betrachtungsweise kann man also von elastischer Streuung sprechen.[10]

Zusammenfassend lässt sich also festhalten, dass es im Zusammenhang mit dem Compton-Effekt nicht mehr möglich ist, eine einheitliche Verwendung des Begriffes der inelastischen oder elastischen Streuung festzulegen. Man sollte sich stattdessen bewusst sein, dass beim Compton-Effekt das Photon durch Wechselwirkung einen Teil seiner Energie an das streuende Objekt (Elektron, Proton, ...) abgibt. Ob der Betrachter für die Beschreibung der Streuart nun die Abgabe der Energie als wesentlich ansieht und daher von inelastischer Streuung spricht, oder ob er sich stattdessen auf die Definition über die inneren Freiheitsgrade stützen will, hängt in den meisten Fällen vom Kontext oder dem Gesprächspartner ab. Je nachdem kann Compton-Streuung also sowohl als elastische als auch als inelastische Streuung aufgefasst werden.

Herleitung der Compton-Formel[Bearbeiten]

Bei den unterschiedlichen Herleitungen wird immer ein freies Elektron angenommen. Ist das Elektron in einem Atom gebunden, muss man die Bindungsenergie von der kinetischen Energie des Elektrons nach dem Stoß abziehen.

Ruhendes Elektron[Bearbeiten]

Im Folgenden berechnen wir die Compton-Formel, indem wir das Teilchen als zu Beginn ruhend annehmen. Bei der Streuung überträgt das Photon einen Teil seiner Energie auf das Elektron, sodass sich die beiden Teilchen nach der Streuung in verschiedenen Richtungen auseinander bewegen.

Prozessskizze des Compton-Effekts

Zunächst betrachten wir, welche Energie und welchen Impuls die jeweiligen Teilchen vor sowie nach der Streuung tragen (\nu steht dabei für die Frequenz und \varphi = \phi für den Streuwinkel):

Energie des Elektrons vorher Energie des Photons vorher Impuls des Photons vorher Impuls des Elektrons vorher
 \ E_e=m_0c^2  \ E_\nu^{}=h\nu  \ p_\nu=h\nu/c  \ p_e = 0
Energie des Elektrons nachher Energie des Photons nachher Impuls des Photons nachher Impuls des Elektrons nachher
 \ E_e'  \ E_\nu^{\prime }=h\nu'  \ p'_\nu=h\nu'/c  \ p'_e

Die beiden Teilchen müssen vor und nach der Streuung den Energie- und Impulserhaltungssatz erfüllen.

Energieerhaltungssatz Impulserhaltungssatz
E_e+E_\nu = E_e'+E_\nu^{\prime} \vec p_\nu=\vec p^{\,\prime}_e+\vec p^{\,\prime}_\nu

Da wir noch einen Ausdruck für E_e' benötigen, stellen wir den Energieerhaltungssatz danach um und setzen die entsprechenden Größen ein.

 \ E_e' = h\nu-h\nu'+m_0c^2

In der speziellen Relativitätstheorie stehen die Energie und der Impuls eines Teilchens über die sogenannte Energie-Impuls-Beziehung miteinander in Zusammenhang. Weiterhin benötigen wir den Kosinussatz aus der Trigonometrie, da sich die Teilchen auf den Seiten eines Dreiecks bewegen, die ihrem jeweiligen Impuls entsprechen. Wir benutzen ihn dafür, um den uns unbekannten Impuls des Elektrons p'_e durch den Impuls des Photons p_\nu auszudrücken.

Energie-Impuls-Beziehung Kosinussatz
E_e^2=E_e^{\prime\,2}-p_e^{\prime\,2} c^2 p_e^{\prime\,2} = p_\nu^2+p_\nu^{\prime\,2}-2p_\nu p'_\nu \cos \varphi

Nun setzen wir unsere Ausdrücke für E_e' und p'_e in die Energie-Impuls-Beziehung ein, multiplizieren alle Klammern aus und fassen die vielen Terme zusammen

\left(h\nu-h\nu'+m_0c^2\right)^2-\left(p_\nu^2+p^{\prime 2}_\nu-2p_\nu p'_\nu \cos \varphi\right)c^2=m_0^2c^4
\left(h\nu-h\nu'+m_0c^2\right)^2-\left[\left(\frac{h\nu}{c}\right)^2+\left(\frac{h\nu'}{c}\right)^2-2\left(\frac{h\nu}{c}\right)\left(\frac{h\nu'}{c}\right) \cos \varphi\right]c^2=m_0^2c^4
\left(h\nu\right)^2-h^2\nu\nu'+h\nu m_0c^2-h^2\nu\nu'+\left(h\nu'\right)^2-h\nu'm_0c^2+h\nu m_0c^2-h\nu 'm_0c^2+\left(m_0c^2\right)^2 -\left(h\nu\right)^2-\left(h\nu'\right)^2+2h^2\nu\nu' \cos \varphi = m_0^2c^4
 \left(h\nu\right)^2-2h^2\nu\nu'+2h\nu m_0c^2+\left(h\nu' \right)^2-2h\nu'm_0c^2-\left(h\nu \right)^2-\left(h\nu'\right)^2+2h^2\nu\nu' \cos \varphi=0
 \ 2h\nu m_0c^2-2h\nu'm_0c^2-2h^2\nu\nu' +2h^2\nu\nu' \cos \varphi=0
 \ m_0c^2\left(\nu-\nu'\right)=h\nu\nu'\left(1- \cos \varphi \right)
 \frac{\nu-\nu'}{\nu\nu'}=\frac{1}{\nu'}-\frac{1}{\nu}=\frac{h}{m_0c^2}\left(1- \cos \varphi \right)
 \frac{c}{\nu'}-\frac{c}{\nu}=\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_0c}\left(1- \cos \varphi \right)
\Delta \lambda=\frac{h}{m_0c}\left(1- \cos \varphi \right)

Im letzten Schritt haben wir verwendet, dass die Wellenlänge und die Frequenz über c=\lambda\nu miteinander zusammenhängen (Wellengleichung).

Beliebiges Bezugssystem[Bearbeiten]

Während sich der Compton-Effekt im Falle eines ruhenden Elektrons leicht trigonometrisch berechnen lässt, stellt sich die Situation schwieriger dar, wenn wir sie aus einem beliebigen Bezugssystem betrachten. In diesem Fall bewegt sich das Elektron vor dem Stoß mit der Geschwindigkeit v, wobei es die Gesamtenergie E_e=\gamma m_{0}c^2 und den Impuls |\mathbf p|=\gamma m_{0}c\mathbf{\beta} trägt,

mit \beta=\frac{v}{c} und \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.

Um den Compton-Effekt im nun betrachteten Fall zu berechnen, verwenden wir den Vierervektor-Formalismus.

Die Viererimpulse, welche die beteiligten Teilchen vor und nach dem Streuprozess besitzen, sind

Elektron vorher Photon vorher
\mathbf{p}^{\mu}= \left(\frac{E_{e}}{c}, \mathbf {p}\right) \mathbf{q}^{\mu} = \left(\frac{E_\nu}{c}, \frac{E_\nu}{c}\mathbf {n}\right)
Elektron nachher Photon nachher
\mathbf{p'}^{\mu} = \left(\frac{E'_{e}}{c}, \mathbf {p}'\right) \mathbf{q'}^{\mu} = \left(\frac{E'_\nu}{c}, \frac{E'_\nu}{c}\mathbf {n}'\right)

Hierbei bezeichnet \mathbf{n} einen Einheitsvektor, der in Bewegungsrichtung des Photons zeigt.

Da wir die Produkte von jeweils zwei der einzelnen Impulse benötigen werden, wollen wir diese nun berechnen. Für die Quadrate gilt stets

(\mathbf{p}^{\mu})^2 = (\mathbf{p'^{\mu}})^2 = (m_{0}c)^2
(\mathbf{q}^{\mu})^2 = (\mathbf{q'}^{\mu})^2 = \frac{E^2_\nu}{c^2}- \frac{E^2_\nu}{c^2}\mathbf{n}^2 = 0,

wobei zu beachten ist, dass \mathbf n^2 = 1 gilt, da es sich bei \mathbf{n} um einen Vektor mit der Länge 1 handelt.

Nun fehlen uns noch die gemischten Produkte:

\begin{align}
\mathbf{p}_{\mu} \mathbf{q}^{\mu} & = E_\nu\left(\frac{E_e}{c^2} - \frac{1}{c} \mathbf p \mathbf n\right)\\
& = E_\nu\left(\frac{\gamma m_{0}c^2}{c^2} - \frac{1}{c}|\mathbf p| |\mathbf n| \cos \Omega\right)\\
& = E_\nu\left(\frac{\gamma m_{0}c^2}{c^2} - \frac{1}{c}\gamma m_{0}c \beta \cos \Omega\right)\\
& = \gamma m_{0}E_\nu (1- \beta \cos \Omega)\end{align}

Bei \Omega handelt es sich um den Winkel zwischen Elektron und Photon vor der Streuung.

Analog erhält man

\mathbf{p}_{\mu} \mathbf{q'}^{\mu} = E'_\nu\left(\frac{E_e}{c^2} - \frac{1}{c} \mathbf p \mathbf n'\right) = \gamma m_{0}E'_\nu (1- \beta \cos \Omega'),

wobei \Omega' der Winkel zwischen dem Elektron vor der Streuung und dem Photon nach der Streuung ist.

\mathbf q_{\mu} \mathbf q'^{\mu} = \frac{E_\nu E'_\nu}{c^2}(1-\mathbf n \mathbf n') = \frac{E_\nu E'_\nu}{c^2}(1-\cos\phi),

wobei \phi der Winkel zwischen dem Photon vor der Streuung und dem Photon nach der Streuung ist.

Wird ein Photon an einem Elektron gestreut, so muss die Energie- und Impulserhaltung erfüllt sein. Da die Energie proportional der Nullkomponente des Viererimpulses ist und die restlichen Komponenten den Impuls repräsentieren, folgt

 \mathbf{p}^{\mu} + \mathbf{q}^{\mu} -\mathbf{q'}^{\mu} = \mathbf{p'}^{\mu}
 (\mathbf{p}^{\mu} + \mathbf{q}^{\mu} -\mathbf{q'}^{\mu})^2 = (\mathbf{p'}^{\mu})^2
 (\mathbf p^{\mu})^2 + 2 \mathbf p_{\mu} \mathbf q^{\mu} - 2 \mathbf{q}_{\mu} \mathbf{q'}^{\mu} - 2 \mathbf{p}_{\mu} \mathbf{q'}^{\mu} + (\mathbf{q}^{\mu})^2 +(\mathbf{q'}^{\mu})^2 = (\mathbf{p'}^{\mu})^2.

Unter Verwendung von (\mathbf{p}^{\mu})^2 = (\mathbf{p'}^{\mu})^2 sowie (\mathbf{q}^{\mu})^2 = (\mathbf{q'}^{\mu})^2 = 0 vereinfacht sich dies zu

\mathbf{p}_{\mu} \mathbf{q}^{\mu} - \mathbf{q}_{\mu} \mathbf{q'}^{\mu} - \mathbf{p}_{\mu} \mathbf{q'}^{\mu} = 0.

Nach Einsetzen der zuvor berechneten Komponenten erhalten wir

\begin{align}
E'_\nu & = E_\nu \frac{E_e - c\mathbf p \mathbf n}{E_e - c\mathbf p \mathbf n'+E_\nu(1-\mathbf n\mathbf n')}\\
  & = E_\nu \frac{\gamma m_{0}c^2(1-\beta\cos\Omega)}{\gamma m_{0}c^2(1-\beta\cos\Omega')+E_\nu(1-\cos\phi)}\\
  & = E_\nu \frac{(1-\beta\cos\Omega)}{(1-\beta\cos\Omega')+\frac{E_\nu}{\gamma m_{0}c^2}(1-\cos\phi)}
\end{align}
 E'_\nu = E_\nu \frac{(1-\beta\cos\Omega)}{(1-\beta\cos\Omega')+\frac{h\nu}{\gamma m_{0}c^2}(1-\cos\phi)}

Je nach Einfallswinkel und kinetischer Energie kann das Elektron eine gewisse Energie an das Photon übertragen (inverse Compton-Streuung). Im Ruhesystem des Elektrons war die Geschwindigkeit desselben vor dem Stoß gleich Null. Demnach ist

\gamma = 1 und \beta = 0 ,

womit sich die bereits bekannte Formel

E'_\nu = \frac{E_\nu}{1+ \frac {E_\nu}{m_{0} c^2}(1-\cos\phi)}

ergibt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Peter Schmüser: Feynman-Graphen und Eichtheorien für Experimentalphysiker. Springer, 1994, ISBN 3540584862.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Arthur H. Compton: Secondary Rediations produced by X-rays and some of their applications to physical problems. In: Bulletin of the National Research Council. 20, 1922, S. 10.; Nachdruck in:  Arthur Holly Compton, Robert S. Shankland: Scientific papers of Arthur Holly Compton. University of Chicago Press, 1973, ISBN 0226114309 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2.  Arthur H. Compton: A Quantum Theory of the Scattering of X-rays by Light Elements. In: Physical Review. 21, Nr. 5, 1923, S. 483–502, doi:10.1103/PhysRev.21.483.
  3. Zum Beispiel Bjoerken/Drell Relativistic Quantum Mechanics, McGraw Hill 1964, Peskin, Schröder Introduction to Quantum Field Theory, West View Press 2007. Jedoch nicht bei der Particle Data Group, PDG, Physical Constants
  4. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 22. Juni 2011. Wert für die Compton-Wellenlänge des Elektrons.
  5. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 22. Juni 2011. Wert für die Compton-Wellenlänge des Protons.
  6. Vorlage:Internetquelle/Wartung/Zugriffsdatum nicht im ISO-FormatCODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 22. Juni 2011. Wert für die Compton-Wellenlänge des Neutrons.
  7. Peter Schmüser, S. 69.
  8. Hans J. Paus: Physik in Experimenten und Beispielen. 3. Auflage. Hanser, München 2007, ISBN 978-3-446-41142-5, S. 733. „Hier zeigt sich, daß die übliche Klassifizierung der Streuprozesse in ‚elastisch‘ und ‚inelastisch‘ nicht sehr glücklich ist. Die Compton-Streuung ist wegen \omega_s \neq \omega_p inelastisch; sie wird aber erklärt mit dem elastischen Stoß zweier Quantenteilchen, dem Photon und dem Elektron.“
  9. Theo Mayer-Kuckuk: Kernphysik. 7. Auflage. Teubner, Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden 2002, ISBN 3-519-13223-0, S. 110. „Wir sprechen von elastischer Streuung, wenn bei einem Streuprozeß keine inneren Freiheitsgrade der beteiligten Partner angeregt werden und die Summe der kinetischen Energien konstant bleibt.“
  10. Günter Schatz, Alois Weidinger, Manfred Deicher: Nukleare Festkörperphysik. 4. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8351-0228-6, S. 23. „Als Compton-Effekt bezeichnet man die elastische Streuung eines γ-Quants an einem freien Elektron.“