Wirkungsquerschnitt

Der Wirkungsquerschnitt ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen einer einfallenden Wellenstrahlung oder einem einfallenden Teilchen („Projektil“) und einem anderen Teilchen („Target“) eine bestimmte Wechselwirkung wie z. B. Absorption, ein Streuprozess oder eine Reaktion stattfindet. Der Begriff findet vornehmlich in der Atom-, Kern- und Teilchenphysik Verwendung.

Formelzeichen für den Wirkungsquerschnitt ist der griechische Buchstabe σ (sigma). Der Wirkungsquerschnitt hat die Größenart Fläche; in der Kern- und Teilchenphysik werden Wirkungsquerschnitte meist in der Einheit Barn angegeben (1 Barn = 10^–28m²), in der Atom- und Molekülphysik häufig in 10^–22m².

Der Wirkungsquerschnitt (im Folgenden als WQ abgekürzt) hängt ab von der jeweils interessierenden Wechselwirkung, von Art und kinetischer Energie des einfallenden Teilchens und von der Art des getroffenen Teilchens (z. B. Atoms, Atomkerns). Die letztgenannte Abhängigkeit bedeutet, dass WQ Materialeigenschaften sind. Beispielsweise sind zur Berechnung von Kernreaktoren oder Kernfusionsreaktoren umfangreiche Kerndatenbibliotheken erforderlich, die die WQ der verschiedenen Materialien für einfallende Neutronen verschiedener Energien für verschiedene mögliche Streuprozesse und Kernreaktionen enthalten.

Insbesondere bei Kernreaktionen wird der WQ, betrachtet als Funktion der Energie des einfallenden Teilchens/Quants, manchmal auch als Anregungsfunktion bezeichnet.

Definition

Dem Zielteilchen (Targetteilchen) wird eine Fläche σ als gedachte „Zielscheibe“ zugeordnet. Ihre Größe wird so gewählt, dass bei einem Experiment mit gleichmäßiger Bestrahlung des Targets die Zahl der beobachteten Reaktionen ("Wechselwirkungen") genau durch die Anzahl der Projektilteilchen angeben wird, die durch diese Fläche hindurchfliegen. Dabei ist das Projektil punktförmig – also ausdehnungslos – gedacht. Diese Fläche ist der WQ des gegebenen Targets für diese Wechselwirkung bei der gegebenen Energie der einfallenden Teilchen.

Die Wahrscheinlichkeit $\,w$, dass ein einfallendes Teilchen mit einem Targetteilchen wechselwirkt, errechnet sich aus

$w=\frac{\sigma N_{T}}{F}$.

Darin ist $\,F$ die bestrahlte Targetfläche und $\,N_{T}$ die Anzahl der darin enthaltenen Targetteilchen. Auch wird $\sigma N_{T} \ll F$ vorausgesetzt, weil sonst die Targetteilchen sich gegenseitig abschatten.

Wenn insgesamt $\,N$ Projektilteilchen einlaufen und jedes von ihnen mit der Wahrscheinlichkeit $\,w$ eine Reaktion verursacht, dann ist die Gesamtzahl der Reaktionen $\,N_{Reaktion}$ gegeben durch:

$\,N_{Reaktion}= w N$.

Zusammen:

$N_{Reaktion}= \sigma N_{T}\;\frac{N}{F}$.

Im Experiment wird $\,N_{Reaktion}$ durch geeignete Detektoren gemessen, während die Größen $\,N_{T}$, $\,N$, und $\,F$ aus Aufbau und Durchführung bekannt sind. So kann daraus σ bestimmt werden. In der theoretischen Herleitung (z.B. in der quantenmechanischen Streutheorie) wird diese Formel häufig noch pro Zeiteinheit ausgedrückt, also die Reaktionsrate $\tfrac{N_{Reaktion}}{t}$ gebildet:

$\frac{N_{Reaktion}}{t}= \sigma N_{T} \; j$

Darin ist

$j = \frac{N}{F \, t}$

die Stromdichte der Projektilteilchen.

Interpretation

Die Vorstellung vom WQ als einer jedem Targetteilchen zugeordneten Trefferfläche bietet ein anschauliches Maß für die „Stärke“ einer Wechselwirkung, d.h. für die näheren physikalischen Gründe für die Wahrscheinlichkeit des Eintritts einer Reaktion. Einer häufigen oder wahrscheinlichen Wechselwirkung entspricht ein großer WQ, einer seltenen ein kleiner WQ.

Im Bereich der klassischen Mechanik, wo alle Teilchen auf wohldefinierten Trajektorien fliegen, kann man dem WQ außer der Angabe seiner Fläche auch eine wohlbestimmte Form und Lage (relativ zum Targetteilchen) zuschreiben und ihm damit eine direkte geometrische Bedeutung geben: Alle Teilchen, die auf ihrer Trajektorie durch diese Fläche hindurchfliegen, lösen die betrachtete Reaktion aus, alle anderen nicht. Bei Wellenphänomenen ist das unmöglich. Auch in der Quantenmechanik können solche deterministischen Aussagen über einzelne Projektile oder Targetteilchen prinzipiell nicht gemacht werden.

Abschwächung des einfallenden Teilchenstrahls im dicken Target

Für eine infinitesimal dünne Targetschicht der Dicke dx erhält man aus der obigen Gleichung, wenn man „Teilchen pro Fläche“ durch „Teilchendichte ρ_T mal Dicke dx" ersetzt:

$\frac{N_{Reaktion}}{N} = \sigma \, \rho_T \, \mathrm{d}x$.

Hierbei ist ρ_T nicht die Massendichte des Targetmaterials, sondern seine Teilchendichte, also Anzahl der Targetteilchen pro Volumeneinheit. Diese errechnet sich aus makroskopischen Größen folgendermaßen:

$\rho_T = \frac{N_A \cdot \rho}{M}$ mit N_A – Avogadrokonstante; ρ – Stoffdichte; M – Molare Masse.

Die wechselwirkenden Projektilteilchen sind nicht mehr Teil des primären Teilchenstrahls, da sie (bei Reaktion) absorbiert oder (bei Streuung) aus ihrer ursprünglichen Bahn abgelenkt worden sind. Bezeichnet N₀ die anfänglich im Strahl vorhandenen Teilchen, sind nach dem Durchlaufen einer infinitesimalen Targetschicht nur noch N₀ − N_Reaktion Teilchen im Strahl vorhanden. Löst man die letzte Gleichung nach N_W auf und setzt N_Reaktion = − dN, erhält man für die Schwächung des Strahls in einem dicken Target die Differentialgleichung

$-\mathrm{d}N = N(x) \, \rho_T \, \sigma \, \mathrm{d}x$.

Die Lösung hierfür ist

$N(x) = N_0 e^{-\sigma \rho_T x}$.

Hat man ein bestimmtes Volumen, in dem man die Wechselwirkungen beobachtet, so ist x = l, wenn l die Länge dieses Volumens ist. Setzt man dieses ein, kann man zur Berechnung des WQ die Gleichung direkt umstellen, da N(l) = N₀ − N_W ist:

$\sigma = \frac{1}{l \cdot \rho_T} \ln\left(\frac{N_0}{N_0 - N_W}\right)$

Es gilt offenbar auch

$\sigma \cdot \rho_T = \frac{1}{\lambda},$

wobei λ die mittlere freie Weglänge ist. Eingesetzt sieht man sofort, dass dieses die Länge ist, nach der die Intensität des einfallenden Strahls auf $\frac{1}{e}$ ihres ursprünglichen Wertes abgefallen ist. Hieraus folgt:

$\sigma = \frac{1}{\lambda \cdot \rho_T}$.

Sofern mehr als eine Art von Wechselwirkung möglich ist, bezieht sich σ in dieser Gleichung offensichtlich auf alle zusammen, ist also der totale WQ (siehe unten).

Spezielle Bezeichnungen für Wirkungsquerschnitte

Je nach Art der betrachteten Wechselwirkung werden verschiedene Bezeichnungen für den WQ verwendet wie beispielsweise:

• Absorptionsquerschnitt für jede Absorption des einfallenden Teilchens;
• Einfangquerschnitt für eine spezielle Absorption, nämlich den Neutroneneinfang (die (n,γ)-Kernreaktion);
• Reaktionsquerschnitt für die chemische Reaktion, die durch den Stoß zweier Atome oder Moleküle ausgelöst wird;
• Streuquerschnitt für Streuung, also Ablenkung des einfallenden Teilchens;
• Elastischer Wirkungsquerschnitt (oft auch nur „elastischer Querschnitt“) für elastischen Stoß, also einen Stoß, bei dem die gesamte kinetische Energie erhalten bleibt;
• Inelastischer Wirkungsquerschnitt („inelastischer Querschnitt“) für inelastischen Stoß, also einen Stoß, bei dem kinetische Energie in andere Energieformen übergeht, z. B. wird ein Teilchen angeregt (d. h. in einen Zustand höherer Energie versetzt) oder es werden neue Teilchen erzeugt;
• Ionisationsquerschnitt für die Ionisation des getroffenen Atoms;
• Spaltquerschnitt für die induzierte Kernspaltung.

Totaler Wirkungsquerschnitt

Die Bezeichnung „totaler WQ“ wird in zwei Bedeutungen verwendet:

1. Manchmal ist damit der WQ für das Eintreten irgendeiner von mehreren möglichen, einander ausschließenden Wechselwirkungen gemeint, z. B. Absorption oder Streuung des einfallenden Teilchens. Dieser totale WQ ist die Summe der Einzel-WQ. Er wird beispielsweise dann benötigt, wenn es nur um die Abschwächung des einfallenden Teilchenstroms geht.
2. Manchmal wird „Totaler WQ“ auch nur im Sinne des oben definierten WQ verwendet, um ihn vom differenziellen WQ (s. unten) zu unterscheiden; eine bessere Bezeichnung ist in diesem Fall „Integraler WQ“.

Differenzieller Wirkungsquerschnitt

Wenn durch die Reaktion zwischen der einfallenden Primärstrahlung und dem Target eine Sekundärstrahlung entsteht (gestreute Primärstrahlung oder eine andere Art von Strahlung), wird deren Intensitätsverteilung über die Raumrichtungen Ω durch den differenziellen Wirkungsquerschnitt   $\tfrac{\mathrm{d}\sigma} {\mathrm {d}\Omega}$    beschrieben. Er ist definiert durch:

$j_\mathrm{sek.}(\Omega) = \tfrac{\mathrm{d}\sigma} {\mathrm {d}\Omega}\; j_{prim.}$.

Darin ist $\,j_{prim.}$ die Stromdichte der (parallel) einlaufenden Primärstrahlung, $\,j_\mathrm{sek.}(\Omega)$ die Stromdichte der in Richtung Ω auslaufenden Sekundärstrahlung bei Anwesenheit eines einzigen Targetteilchens ($\,N_T=1$, vgl. Definition). Da der Teilchenstrom in $\,j_{prim.}$ pro Flächeneinheit angegeben ist, in $\,j_\mathrm{sek.}(\Omega)$ aber pro Raumwinkeleinheit, bekommt der Faktor $\tfrac{\mathrm{d}\sigma} {\mathrm {d}\Omega}$ die Dimension Fläche pro Raumwinkel und hat als Maßeinheit z. B. Millibarn pro Steradiant.

Nun ist mathematisch gesehen der Raumwinkel aber dimensionslos und der differenzielle Wirkungsquerschnitt $\tfrac{\mathrm{d}\sigma} {\mathrm {d}\Omega}$ daher von derselben Dimension Fläche wie der Wirkungsquerschnitt σ selbst. Um die richtige Trefferfläche für die Erzeugung der Sekundärstrahlung in Richtung Ω zu erhalten, betrachtet man die gesamte Sekundärstrahlung in ein kleines Raumwinkelelement ΔΩ hinein. Sie ist (in 1. Näherung) durch

$j_\mathrm{sek.}(\Omega) \; \Delta\Omega = (\tfrac{\mathrm{d}\sigma} {\mathrm {d}\Omega}\; \Delta\Omega) \; j_{prim.}$.

gegeben. Der Ausdruck auf der linken Seite entspricht genau der Reaktionsrate wie oben erwähnt (bei N_T = 1), man denke sich etwa ein Experiment mit einem Detektor von genau der Größe, die ΔΩ entspricht, und der bei jedem ankommenden Sekundärteilchen tickt. Daher ist auf der rechten Seite der Faktor vor der einlaufenden Stromdichte

$\Delta\sigma = \tfrac{\mathrm{d}\sigma} {\mathrm {d}\Omega}\; \Delta\Omega$

genau die Trefferfläche (richtig mit Dimension Fläche), die zu den in diesem Experiment beobachteten Reaktionen gehört.

Das Integral dieses differenziellen Wirkungsquerschnitt über alle Richtungen ist der (im Sinne von integrale) totale Wirkungsquerschnitt für den beobachteten Typ der Reaktion.

Der differenzielle Wirkungsquerschnitt hängt, wie der Wirkungsquerschnitt , von der Art der Reaktion ab (Art des Targets, Art und Energie der Teilchen der Primärstrahlung und der Sekundärstahlung), zusätzlich aber von der Richtung Ω, die durch zwei Winkel angegeben werden kann. Meist interessiert davon nur einer, der Ablenkwinkel relativ zur Richtung des Primärstrahls. Wird nur diese Abhängigkeit betrachtet, heißt der differenzielle Wirkungsquerschnitt auch kurz Winkelverteilung.

Mit der Bezeichnung „Differenzieller Wirkungsquerschnitt “ ohne weiteren Zusatz ist fast immer dσ/dΩ gemeint. Weitere Formen sind:

Sekundärenergieverteilung

Seltener benötigt wird der nach der Energie E_s des Sekundärteilchens, also des gestreuten Teilchens oder Reaktionsproduktes abgeleitete WQ, dσ /dE_s, der die Energieverteilung der Sekundärteilchen beschreibt. Er hängt ab von der Primär- und der Sekundärenergie.

Doppelt differenzieller Wirkungsquerschnitt

Bei komplexen Vorgängen wie etwa dem Eindringen (Transport) schneller Neutronen in dicke Materieschichten, wo ein Neutron an verschiedenen Streuprozessen und Kernreaktionen nacheinander teilnehmen kann, wird auch der doppelt differenzielle WQ d²σ/dΩdE_s betrachtet, da er die detaillierteste physikalische Beschreibung erlaubt.

Geometrischer Wirkungsquerschnitt

Im Fall der klassischen Mechanik fliegen alle Teilchen auf wohldefinierten Trajektorien. Für Reaktionen, die eine Berührung von Projektil- und Targetteilchen voraussetzen, wird der Begriff geometrischer Wirkungsquerschnitt benutzt, denn hier haben nicht nur die Größe des WQ als Trefferfläche, sondern auch deren Form und Lage eine einfache geometrische Bedeutung.

• Beispiel Stoß zweier Kugeln (Radien R₁ und R₂): Diese Reaktion findet für ein Projektil genau dann statt, wenn es mit der Trajektorie seines Mittelpunktes den Mittelpunkt des Targetteilchens nicht weiter verfehlen würde als die Summe ihrer beider Radien. Die Trefferfläche (für den Mittelpunkt der bewegten Kugel) ist also eine Kreisscheibe um den Mittelpunkt der ruhenden Kugel mit Radius R_σ = R₁ + R₂, und der (totale) Wirkungsquerschnitt ist die Fläche dieses Kreises:

$\sigma_\mathrm{geom} = \pi \, (R_1 + R_2)^2$.

• Beispiel Fußball (Radius R_Ball) und Torwand (Radius des Lochs R_Loch), Flugrichtung senkrecht zur Wand. Gefragt sei der geometrische Wirkungsquerschnitt für die (Zuschauer-)Reaktion TOOR!!, also für freies Hindurchfliegen: Falls R_Ball > R_Loch gilt, ist σ_geom = 0. Im Fall $R_{Ball} \le R_{Loch}$ passt der Ball zwar hindurch, doch darf die Trajektorie des Ballmittelpunkts den Lochmittelpunkt höchstens um den Abstand R_σ = R_Loch − R_Ball verfehlen. Die Trefferfläche (für den Mittelpunkt des Balls) liegt als Kreisscheibe mit Radius R_σ um den Mittelpunkt des Lochs. Der geometrische Wirkungsquerschnitt ist

$\sigma_\mathrm{geom} = \pi \, (R_{Loch}-R_{Ball})^2$.

Beide Beispiele zeigen, dass man nicht einmal den geometrischen Wirkungsquerschnitt mit der Größe eines der beteiligten Körper identifizieren darf (außer wenn das Projektil einschließlich der Reichweite der Kraft als punktförmig angesehen wird). Das zweite zeigt zudem, wie groß der Anwendungsbereich des Begriffs Wirkungsquerschnitt sein kann.

Makroskopischer Wirkungsquerschnitt

In der Physik der Kernreaktoren wird neben dem oben definierten mikroskopischen (d. h. auf 1 Targetteilchen, meist 1 Atom bezogenen) WQ auch der makroskopische, auf 1 cm³ Material bezogene WQ mit dem Formelzeichen Σ (großes Sigma) verwendet. Er ergibt sich aus dem mikroskopischen WQ durch Multiplikation mit der Atomzahldichte, also der Zahl der jeweiligen Atome pro cm³. Die übliche Einheit des makroskopischen WQ ist cm²/cm³ = 1/cm.

Wirkungsquerschnitt und Fermis Goldene Regel

Fermis Goldene Regel besagt, dass für die Reaktionsrate (Anzahl von Reaktionen pro Zeit)

$W=\frac{2\pi}{\hbar}|M_{fi}|^2\rho$

gilt, wobei M_fi das Übergangsmatrixelement bzw. die Wahrscheinlichkeitsamplitude ist, und ρ der Phasenraumfaktor. Da der (differentielle) WQ direkt proportional zur Reaktionsrate ist,

$W = L\,\sigma$,

wobei L die Luminosität des Teilchenstrahls ist, gilt folglich

$\sigma\,\sim |M_{fi}|^2\rho$.

Die Wahrscheinlichkeitsamplitude liefert in der Bornschen Näherung dann den Formfaktor.

Siehe auch

• Rutherford-Streuung
• Mott-Streuung
• Rosenbluth-Formel
• Formfaktor
• Strukturfunktion

Weblinks

• Der Wirkungsquerschnitt (geometrische Interpretation)