Landau-Symbole

Landau-Symbole werden in der Mathematik und in der Informatik verwendet, um das asymptotische Verhalten von Funktionen und Folgen zu beschreiben. In der Informatik werden sie bei der Analyse von Algorithmen verwendet und geben ein Maß für die Anzahl der Elementarschritte in Abhängigkeit von der Größe der Eingangsvariablen an. Die Komplexitätstheorie verwendet sie, um verschiedene Probleme danach zu vergleichen, wie „schwierig“ oder aufwendig sie zu lösen sind. Man sagt, „schwere Probleme“ wachsen exponentiell mit der Instanz oder schneller und für „leichte Probleme“ existiert ein Algorithmus, dessen Laufzeitzuwächse sich durch das Wachstum eines Polynoms beschränken lassen. Man nennt sie (nicht) polynomiell lösbar.

Notation	Anschauliche Bedeutung
$f\in {\hbox{o}}(g)$ oder $f={\hbox{o}}(g)$	$f$ wächst langsamer als $g$
$f\in {\mathcal {O}}(g)$ oder $f=O(g)$	$f$ wächst nicht wesentlich schneller als $g$
$f\in \Theta (g)$	$f$ wächst genauso schnell wie $g$
$f=\Omega (g)$	$f$ wächst nicht immer langsamer als $g$ (Zahlentheorie)
$f\in \Omega (g)$	$f$ wächst nicht wesentlich langsamer als $g$ (Komplexitätstheorie)
$f\in \omega (g)$	$f$ wächst schneller als $g$

Geschichte des O-Symbols

Der Großbuchstabe $O$ als Symbol für Ordnung von wurde erstmals vom deutschen Zahlentheoretiker Paul Bachmann in der 1894 erschienenen zweiten Auflage seines Buchs Analytische Zahlentheorie verwendet. Bekannt gemacht wurde diese Notation durch den ebenfalls deutschen Zahlentheoretiker Edmund Landau, mit dessen Namen sie insbesondere im deutschen Sprachraum heute in Verbindung gebracht wird.

Sonderfall: Omega-Symbol

Zwei unvereinbare Definitionen

Es gibt in der Mathematik zwei sehr häufige und inkonsistente Definitionen für

$f(x)=\Omega (g(x))\ (x\rightarrow a),$

wobei $a$ eine reelle Zahl, $\infty$ oder $-\infty$ ist, wo die reellen Funktionen $f$ und $g$ auf einer Umgebung von $a$ definiert sind und $g$ in dieser Umgebung positiv ist.

Die erste wird in der analytischen Zahlentheorie benutzt und die andere in der Komplexitätstheorie. Diese Situation kann zu Verwechslungen führen.

Die Hardy-Littlewoodsche Definition

Im Jahr 1914 führten G. H. Hardy und J. E. Littlewood das Symbol $\Omega$ mit der Bedeutung

$f(x)=\Omega (g(x))\ (x\rightarrow \infty )\;\Leftrightarrow \;\limsup _{x\to \infty }\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|>0$

ein. Also ist $f(x)=\Omega (g(x))$ die Negation von $f(x)=o(g(x))$.

Im Jahr 1918 führten dieselben Verfasser zwei neue Symbole $\Omega _{R}$ und $\Omega _{L}$ mit den Bedeutungen

$f(x)=\Omega _{R}(g(x))\ (x\rightarrow \infty )\;\Leftrightarrow \;\limsup _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}>0$;

$f(x)=\Omega _{L}(g(x))\ (x\rightarrow \infty )\;\Leftrightarrow \;\liminf _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}<0$

ein. Also ist $f(x)=\Omega _{R}(g(x))$ die Negation von $f(x)<o(g(x))$ und $f(x)=\Omega _{L}(g(x))$ die Negation von $f(x)>o(g(x))$.

Im Gegensatz zu einer späteren Aussage von D. E. Knuth verwendete Edmund Landau diese drei Symbole im Jahre 1924 mit den gleichen Bedeutungen.

Diese Hardy-Littlewood-Symbole sind Prototypen, sie werden nie genau so verwendet. $\Omega _{R}$ ist zu $\Omega _{+}$ und $\Omega _{L}$ zu $\Omega _{-}$ geworden.

Diese drei Symbole $\Omega ,\Omega _{+},\Omega _{-}$ sowie $f(x)=\Omega _{\pm }(g(x))$ (dies bedeutet, dass die beiden Eigenschaften $f(x)=\Omega _{+}(g(x))$ und $f(x)=\Omega _{-}(g(x))$ erfüllt sind) werden heute noch systematisch in der analytischen Zahlentheorie verwendet.

Einfache Beispiele

Wir haben

$\sin x=\Omega (1)\ (x\rightarrow \infty )$

und speziell

$\sin x=\Omega _{\pm }(1)\ (x\rightarrow \infty ).$

Wir haben

$\sin x+1=\Omega (1)\ (x\rightarrow \infty )$

und speziell

$\sin x+1=\Omega _{+}(1)\ (x\rightarrow \infty )$

aber

$\sin x+1\not =\Omega _{-}(1)\ (x\rightarrow \infty ).$

Zahlentheoretische Notation

Die strenge Notation $f\in \Omega (g)$ wird in der Zahlentheorie nie benutzt und man schreibt weniger streng immer $f=\Omega (g)$. Dies bedeutet hier „$f$ ist ein Omega von $g$“ und nicht „$f$ ist gleich ein Omega von $g$“.

Die Knuthsche Definition

Im Jahr 1976 veröffentlichte D. E. Knuth einen Artikel, dessen Hauptziel es ist, eine andere Verwendung des $\Omega$-Symbols zu rechtfertigen. Er bemüht sich, seine Leser zu überzeugen, dass die Hardy-Littlewoodsche Definition fast nie benutzt wird (auch im Jahr 1976 war es für mindestens 25 Jahre falsch). Er schreibt, dass er bei Landau keine Anwendung finden konnte und dass George Pólya, der bei Landau studierte, seine, Knuths, Einschätzung bestätigte, dass Landau das $\Omega$-Symbol wohl nicht verwendet hat. Knuth schreibt: “For all the applications I have seen so far in computer science, a stronger requirement […] is much more appropriate”. Es besteht kein Zweifel, dass er recht hat, wenn er das Symbol $\Omega$ verwendet, um diese stärkere Anforderung zu beschreiben: “Unfortunately, Hardy and Littlewood didn't define $\Omega (f(n))$ as I wanted to”.

Unter der Gefahr von Missverständnissen und Verwirrung definiert er auch

$f(x)=\Omega (g(x))\Leftrightarrow g(x)={\mathcal {O}}(f(x))$.

Definition

In der folgenden Tabelle bezeichnen $f$ und $g$ entweder

• Folgen reeller Zahlen, dann ist $x\in \mathbb {N}$ und der Grenzwert $a=\infty$, oder
• reellwertige Funktionen der reellen Zahlen, dann ist $x\in \mathbb {R}$ und der Grenzwert aus den erweiterten reellen Zahlen: $a\in \mathbb {R} \cup \lbrace -\infty ,+\infty \rbrace$, oder
• reellwertige Funktionen beliebiger topologischer Räume $(X,{\mathfrak {T}})$, dann ist $x\in X$ und auch der Grenzwert $a\in X$. Wichtigster Spezialfall ist dabei $X=\mathbb {R} ^{n}$.

Formal lassen sich die Landau-Symbole dann mittels Limes superior und Limes inferior folgendermaßen definieren:

Notation	Definition	Mathematische Definition
$f\in {\hbox{o}}(g)$	asymptotisch gegenüber $g$ vernachlässigbar	$\lim _{x\to a}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|=0$
$f\in {\mathcal {O}}(g)$	asymptotische obere Schranke	$\limsup _{x\to a}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|<\infty$
$f\in \Theta (g)$	asymptotisch scharfe Schranke, sowohl $f\in {\mathcal {O}}(g)$ als auch $g\in {\mathcal {O}}(f)$	$0<\liminf _{x\to a}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|\leq \limsup _{x\to a}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|<\infty$
$f=\Omega (g)$	(Zahlentheorie) asymptotische untere Schranke, $f$ ist nicht in $o(g)$	$\limsup _{x\to a}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|>0$
$f\in \Omega (g)$	(Komplexitätstheorie) asymptotische untere Schranke, $g\in {\mathcal {O}}(f)$	$\liminf _{x\to a}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|>0$
$f\in \omega (g)$	asymptotisch dominant, $g\in {\hbox{o}}(f)$	$\lim _{x\to a}\left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|=\infty$

In der Praxis existieren meist die Grenzwerte $\lim {\tfrac {f(x)}{g(x)}}$, sodass die Abschätzung des limes superior oft durch die (einfachere) Berechnung eines Grenzwerts ersetzt werden kann.

Äquivalent zur Definition mit Limessymbolen können für einen metrischen Raum $(X;d)$, insbesondere also für die Fälle $X=\mathbb {R}$ und $X=\mathbb {N}$, folgende Definitionen mit Quantoren verwendet werden:

Notation	$x\to a<\infty$
$f\in {\hbox{o}}(g)$	$\forall \ C>0\ \exists \ \varepsilon >0\ \forall \ x\in \lbrace x:d(x,a)<\varepsilon \rbrace :|f(x)|\leq C\cdot |g(x)|$
$f\in {\mathcal {O}}(g)$	$\exists \ C>0\ \exists \ \varepsilon >0\ \forall \ x\in \lbrace x:d(x,a)<\varepsilon \rbrace :|f(x)|\leq C\cdot |g(x)|$
$f\in \Theta (g)$	$\exists \ c>0\ \exists \ C>0\ \exists \ \varepsilon >0\ \forall \ x\in \lbrace x:d(x,a)<\varepsilon \rbrace :c\cdot |g(x)|\leq |f(x)|\leq C\cdot |g(x)|$
$f=\Omega (g)$	(Zahlentheorie) $\exists \ c>0\ \forall \ \varepsilon >0\ \exists \ x\in \lbrace x:d(x,a)<\varepsilon \rbrace :c\cdot |g(x)|\leq |f(x)|$
$f\in \Omega (g)$	(Komplexitätstheorie) $\exists \ c>0\ \exists \ \varepsilon >0\ \forall \ x\in \lbrace x:d(x,a)<\varepsilon \rbrace :c\cdot |g(x)|\leq |f(x)|$
$f\in \omega (g)$	$\forall \ c>0\ \exists \ \varepsilon >0\ \forall \ x\in \lbrace x:d(x,a)<\varepsilon \rbrace :c\cdot |g(x)|\leq |f(x)|$

Notation	$x\to \infty$
$f\in {\hbox{o}}(g)$	$\forall \ C>0\ \exists \ x_{0}>0\ \forall \ x>x_{0}:|f(x)|\leq C\cdot |g(x)|$
$f\in {\mathcal {O}}(g)$	$\exists \ C>0\ \exists \ x_{0}>0\ \forall \ x>x_{0}:|f(x)|\leq C\cdot |g(x)|$
$f\in \Theta (g)$	$\exists \ c>0\ \exists \ C>0\ \exists \ x_{0}>0\ \forall \ x>x_{0}:c\cdot |g(x)|\leq |f(x)|\leq C\cdot |g(x)|$
$f=\Omega (g)$	(Zahlentheorie) $\exists \ c>0\ \forall \ x_{0}>0\ \exists \ x>x_{0}:c\cdot g(x)\leq |f(x)|$ (die Test-Funktion g ist immer positiv)
$f\in \Omega (g)$	(Komplexitätstheorie) $\exists \ c>0\ \exists \ x_{0}>0\ \forall \ x>x_{0}:c\cdot |g(x)|\leq |f(x)|$
$f\in \omega (g)$	$\forall \ c>0\ \exists \ x_{0}>0\ \forall \ x>x_{0}:c\cdot |g(x)|\leq |f(x)|$

Analoge Definitionen lassen sich auch für den Fall $x\to -\infty$ sowie für einseitige Grenzwerte geben.

Folgerung

Für jede Funktion f werden durch

$\Omega (f),{\mathcal {O}}(f),\Theta (f),{\hbox{o}}(f),\omega (f)$

jeweils Mengen von Funktionen beschrieben. Es gelten folgende Beziehungen zwischen diesen:

${\begin{aligned}\Theta (f)&\subseteq {\mathcal {O}}(f)\\\Theta (f)&\subseteq \Omega (f)\\\Theta (f)&={\mathcal {O}}(f)\cap \Omega (f)\\\omega (f)&\subseteq \Omega (f)\\{\hbox{o}}(f)&\subseteq {\mathcal {O}}(f)\\\emptyset \,&=\,\omega (f)\cap {\hbox{o}}(f)\end{aligned}}$

Beispiele und Notation

Bei der Verwendung der Landau-Symbole wird die darin verwendete Funktion häufig verkürzt angegeben. Statt zum Beispiel

${\mathcal {O}}(g){\text{ mit }}g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{3}$

schreibt man häufig verkürzend

${\mathcal {O}}(x^{3}).$

Dies wird auch in den folgenden Beispielen so gehandhabt.

Notation	Bedeutung	Anschauliche Erklärung	Beispiele für Laufzeiten
$f\in {\mathcal {O}}(1)$	$f$ ist beschränkt	$f$ überschreitet einen konstanten Wert nicht (unabhängig vom Wert des Arguments).	Nachschlagen des $x$-ten Elementes in einem Feld.
$f\in {\mathcal {O}}(\log x)$	$f$ wächst logarithmisch	$f$ wächst ungefähr um einen konstanten Betrag, wenn sich das Argument verdoppelt. Die Basis des Logarithmus ist dabei egal.	Binäre Suche im sortierten Feld mit $x$ Einträgen
$f\in {\mathcal {O}}({\sqrt {x}})$	$f$ wächst wie die Wurzelfunktion	$f$ wächst ungefähr auf das Doppelte, wenn sich das Argument vervierfacht	naiver Primzahltest mittels Teilen durch jede ganze Zahl $\leq {\sqrt {x}}$
$f\in {\mathcal {O}}(x)$	$f$ wächst linear	$f$ wächst ungefähr auf das Doppelte, wenn sich das Argument verdoppelt.	Suche im unsortierten Feld mit $x$ Einträgen (Bsp. Lineare Suche)
$f\in {\mathcal {O}}(x\log x)$	$f$ hat super-lineares Wachstum		Fortgeschrittenere Algorithmen zum Sortieren von $x$ Zahlen Mergesort, Heapsort
$f\in {\mathcal {O}}(x^{2})$	$f$ wächst quadratisch	$f$ wächst ungefähr auf das Vierfache, wenn sich das Argument verdoppelt	Einfache Algorithmen zum Sortieren von $x$ Zahlen Selectionsort
$f\in {\mathcal {O}}(2^{x})$	$f$ wächst exponentiell	$f$ wächst ungefähr auf das Doppelte, wenn sich das Argument um eins erhöht	Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik (SAT) mittels exhaustivem Verfahren
$f\in {\mathcal {O}}(x!)$	$f$ wächst faktoriell	$f$ wächst ungefähr auf das $(x+1)$-fache, wenn sich das Argument um eins erhöht.	Problem des Handlungsreisenden (Mit Enumerationsansatz)

Die Landau-Notation wird verwendet, um das asymptotische Verhalten bei Annäherung an einen endlichen oder unendlichen Grenzwert zu beschreiben. Das große ${\mathcal {O}}$ wird verwendet, um eine maximale Größenordnung anzugeben. So gilt beispielsweise nach der Stirling-Formel für das asymptotische Verhalten der Fakultät

$n!={\sqrt {2\pi n}}~{\left({\frac {n}{e}}\right)}^{n}\left(1+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{n}}\right)\right)$ für $n\to \infty$

und

$n!={\mathcal {O}}\left({\sqrt {n}}\cdot \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\right)$ für $n\to \infty$.

Der Faktor ${\sqrt {2\pi }}$ ist dabei nur eine Konstante und kann für die Abschätzung der Größenordnung vernachlässigt werden.

Die Landau-Notation kann auch benutzt werden, um den Fehlerterm einer Approximation zu beschreiben. Beispielsweise besagt

$e^{x}=1+x+x^{2}/2+{\mathcal {O}}(x^{3})\qquad$ für $x\to 0$,

dass der Absolutbetrag des Approximationsfehlers kleiner als eine Konstante mal $x^{3}$ für $x$ hinreichend nahe bei Null ist.

Das kleine ${\hbox{o}}$ wird verwendet, um zu sagen, dass ein Ausdruck vernachlässigbar klein gegenüber dem angegebenen Ausdruck ist. Für differenzierbare Funktionen gilt beispielsweise

$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+{\hbox{o}}(h)\qquad$ für $h\to 0$,

der Fehler bei Approximation durch die Tangente geht also schneller als linear gegen $0$.

Notationsfallen

Symbolisches Gleichheitszeichen

Oft wird in der Mathematik bei der Landau-Notation das Gleichheitszeichen verwendet. Es handelt sich dabei aber um eine rein symbolische Schreibweise und nicht um eine Gleichheitsaussage, auf die beispielsweise die Gesetze der Transitivität oder der Symmetrie anwendbar wären: Eine Aussage wie $f(x)={\mathcal {O}}(g(x))$ ist keine Gleichung und keine Seite ist durch die andere bestimmt. Aus $f_{1}(x)={\mathcal {O}}(g(x))$ und $f_{2}(x)={\mathcal {O}}(g(x))$ folgt nicht, dass $f_{1}$ und $f_{2}$ gleich sind. Genauso wenig kann man aus $f(x)={\mathcal {O}}(g_{1}(x))$ und $f(x)={\mathcal {O}}(g_{2}(x))$ schließen, dass ${\mathcal {O}}(g_{1}(x))$ und ${\mathcal {O}}(g_{2}(x))$ dieselbe Klasse sind oder die eine in der anderen enthalten ist.

Tatsächlich handelt es sich bei ${\mathcal {O}}(g(x))$ um eine Menge, welche alle diejenigen Funktionen enthält, welche höchstens so schnell wachsen wie $g(x)$. Die Schreibweise $f(x)\in {\mathcal {O}}(g(x))$ ist also formal korrekt.

Die Notation mit dem Gleichheitszeichen wie in $f={\mathcal {O}}(g)$ wird trotzdem in der Praxis ausgiebig genutzt. Beispielsweise soll der Ausdruck $f(n)=h(n)+\Theta (g(n))$ besagen, dass es Konstanten $c_{1}$ und $c_{2}$ gibt, sodass

$h(n)+c_{1}\cdot g(n)\,\leq \,f(n)\,\leq \,h(n)+c_{2}\cdot g(n)$

für hinreichend große $n$ gilt.

Vergessener Grenzwert

Eine weitere Falle besteht darin, dass oft nicht angegeben wird, auf welchen Grenzwert sich das Landausymbol bezieht. Der Grenzwert ist aber wesentlich; so ist beispielsweise $\textstyle {\tfrac {1}{x}}\in {\hbox{o}}\left({\tfrac {1}{\sqrt {x}}}\right)$ für $x\to \infty$, nicht aber für den einseitigen Grenzwert $x\downarrow 0$. Normalerweise wird der betrachtete Grenzwert aber aus dem Zusammenhang klar, sodass hier Mehrdeutigkeiten nur selten auftreten.

Anwendung in der Komplexitätstheorie

In der Komplexitätstheorie werden die Landau-Symbole vor allem verwendet, um den (minimalen, mittleren oder maximalen) Zeit- oder Speicherplatzbedarf eines Algorithmus zu beschreiben. Man spricht dann von Zeitkomplexität bzw. Platzkomplexität. Die Komplexität kann vom verwendeten Maschinenmodell abhängen. In der Regel nimmt man jedoch ein „normales“ Modell an, zum Beispiel ein der Turingmaschine äquivalentes.

Oft ist es sehr aufwendig oder ganz unmöglich, für ein Problem $L$ eine Funktion $f_{L}\colon w\rightarrow f_{L}(w)$ anzugeben, die allgemein jeder beliebigen Eingabe für ein Problem die zugehörige Anzahl der Rechenschritte (bzw. der Speicherzellen) zuordnet. Daher begnügt man sich in der Regel damit, statt jede Eingabe einzeln zu erfassen, sich lediglich auf die Eingabelänge $n=|w|$ zu beschränken. Es ist aber meist ebenfalls zu aufwendig, eine Funktion $f_{L}\colon n\rightarrow f_{L}(n),n=|w|$ anzugeben.

Daher hat man die Landau-Notation entwickelt, die sich auf das asymptotische Verhalten der Funktion $f_{L}$ beschränkt. Man betrachtet also, in welchen Schranken sich der Rechenaufwand (der Bedarf an Speicher und Rechenzeit) hält, wenn man die Eingabe vergrößert. Das wichtigste Landau-Symbol ist ${\mathcal {O}}$ (großer lateinischer Buchstabe „O“), mit dem man obere Schranken angeben kann; untere Schranken sind im Allgemeinen viel schwieriger zu finden. Dabei bedeutet $f\in {\mathcal {O}}(g)$ (oft auch $f(n)={\mathcal {O}}(g(n))$), dass eine Konstante $c>0$ und ein $n_{0}\in {\mathbb {N}}$ existieren, so dass für alle $n>n_{0}$ gilt: $f(n)\leq c\cdot g(n)$. In anderen Worten: Für alle Eingabelängen ist der Rechenaufwand $f(n)$ nicht wesentlich größer – d. h. höchstens um einen konstanten Faktor $c$ – als $g(n)$.

Dabei ist die Funktion $f$ nicht immer bekannt; als Funktion $g$ wird hingegen meist eine Funktion gewählt, deren Wachstum gut bekannt ist (wie $g(x)=x^{2}$ oder $g(x)=2^{x}$). Die Landau-Notation ist gerade dazu da, den Rechenaufwand (Platzbedarf) abzuschätzen, wenn es zu aufwendig ist, die genaue Funktion anzugeben, bzw. wenn diese zu kompliziert ist.

Die Landau-Symbole erlauben es dadurch, Probleme und Algorithmen nach ihrer Komplexität in Komplexitätsklassen zusammenzufassen.

In der Komplexitätstheorie lassen sich die verschiedenen Probleme und Algorithmen dann folgendermaßen vergleichen: Man kann für Problemstellungen mit $\Omega$ eine untere Schranke für beispielsweise die asymptotische Laufzeit angeben, mit ${\mathcal {O}}$ entsprechend eine obere Schranke. Bei ${\mathcal {O}}(f)$ wird die Form von $f$ (z. B. $f(n)=n^{2}$) auch als die Komplexitätsklasse oder Aufwandsmaß bezeichnet (also z. B. quadratisch).

Bei dieser Notation werden, wie die Definitionen der Landau-Symbole zeigen, konstante Faktoren vernachlässigt. Dies ist gerechtfertigt, da die Konstanten zu großen Teilen vom verwendeten Maschinenmodell bzw. bei implementierten Algorithmen von der Qualität des Compilers und diversen Eigenschaften der Hardware des ausführenden Computer abhängig sind. Damit ist ihre Aussagekraft über die Komplexität des Algorithmus sehr beschränkt.

Siehe auch

• Grenzwert (Limes)
• Konvergenzgeschwindigkeit

Weblinks

• O-Notation auf linux-related.de