Limes superior und Limes inferior

Limes superior und des Limes inferior einer Folge: Die Folge x_n wird mit blauen Punkten dargestellt. Die beiden roten Kurven nähern sich dem Limes superior und Limes inferior der Folge an, die als gestrichelte schwarze Linien dargestellt sind.

In der Mathematik bezeichnen Limes superior und Limes inferior einer Folge (x_n) den größten bzw. kleinsten Grenzwert konvergenter Teilfolgen von (x_n). Analog werden Limes superior und Limes inferior von reellwertigen Funktionen definiert. Limes superior und Limes inferior sind ein partieller Ersatz für den Grenzwert, falls dieser nicht existiert.

Definition für Folgen reeller Zahlen

Formal wird der Limes inferior einer Folge $(x_n)_{n \in \N}$ reeller Zahlen definiert als

$\sup_{n\in \N}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\inf\{x_k:k\geq n\}:n\in\N\}$

beziehungsweise als

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{k\geq n}x_k\right)$

und mit $\textstyle \liminf_{n\rightarrow\infty}x_n$ oder auch mit $\textstyle \varliminf_{n\rightarrow\infty}x_n$ bezeichnet. Analog definiert man $\textstyle \limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{k\geq n}x_k\right)$.

Für eine nach unten unbeschränkte reelle Folge existiert der Limes inferior nicht, analog existiert der Limes superior nicht für eine nach oben unbeschränkte Folge. Für beschränkte Folgen existieren beide stets und stimmen dann mit dem kleinsten bzw. größten Häufungspunkt der Folge überein. Häufig werden Limes inferior und Limes superior allerdings als Elemente der erweiterten reellen Zahlen $\R\cup\lbrace-\infty,+\infty\rbrace$ betrachtet; in diesem Fall existieren sie immer.

Existieren Limes inferior und Limes superior einer Folge $(x_n)_{n \in \N}$, so ist $\textstyle \liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n\;.$

Diese Definitionen sind allgemeiner in einer partiell geordneten Menge sinnvoll, falls die vorkommenden Suprema und Infima existieren. In einem vollständigen Verband existieren diese Größen immer, so dass in diesem Fall auch jede Folge einen Limes inferior und einen Limes superior besitzt.

Folgen reeller Funktionen

Für eine Folge von reellen Funktionen $(f_n)_{\{n \in \N\}}$ mit $f_n\colon\R\rightarrow\R$ für $n \in \N$ sind Limes inferior und Limes superior punktweise definiert, d.h.

$(\liminf_{n\rightarrow\infty} f_n)(x)=\liminf_{n\to\infty}f_n(x),$

analog für lim sup.

Eine der bekanntesten mathematischen Aussagen, die den Begriff des Limes inferior einer Funktionenfolge verwenden, ist das Lemma von Fatou.

Folgen von Mengen

Limes superior und Limes inferior

Für eine beliebige Menge $\Omega$ bildet die Potenzmenge $P(\Omega)$ einen vollständigen Verband unter der durch die Teilmengenrelation definierten Ordnung. Der Limes inferior einer Folge (A_n) von beliebigen Teilmengen von $\Omega$ ist die Menge aller Elemente aus $\Omega$, die in fast allen A_n liegen. Der Limes superior der Mengenfolge (A_n) ist die Menge aller Elemente aus $\Omega$, die in unendlich vielen A_n liegen.

In der Sprache der Mengenlehre ausgedrückt,

$\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right)$

und

$\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right).$

Der Limes superior von Mengen wird beispielsweise im Borel-Cantelli-Lemma verwendet.

Man kann sich die Formeln klar machen, wenn man zunächst Schnitt beziehungsweise Vereinigung endlicher Mengen betrachtet. Die rechte Seite der Gleichung für den Limes superior für $n=2$ und $n=3$ lautet

${\bigcap_{n=1}^2}\left({\bigcup_{m=n}^2}A_m\right)=\left(A_1\cup A_2\right)\cap A_2=A_2$

${\bigcap_{n=1}^3}\left({\bigcup_{m=n}^3}A_m\right)=\left(A_1\cup A_2\cup A_3\right)\cap\left(A_2\cup A_3\right)\cap A_3=A_3$

In jedem Schritt wird eine weitere Menge aus der Vereinigung aller Mengen herausgeteilt. Zurück bleibt schließlich für alle endlichen n nur $A_n$. Im unendlichen bleiben nur Mengen übrig, die in unendlich vielen $A_n$ vorkommen, weil diese niemals herausgeteilt werden können. Somit ist der Limes superior gerade der Teil, der in unendlich vielen $A_n$ liegt.

Zusammenhang mit Folgen von Zahlen

Die charakteristische Funktion des Limes inferior bzw. Limes superior von Mengen ist der punktweise Limes inferior bzw. Limes superior der charakteristischen Funktionen der einzelnen Mengen: Aus

$\chi_A(x)=\sup_n\chi_{A_n}(x)$ für $A=\bigcup_nA_n$

und

$\chi_A(x)=\inf_n\chi_{A_n}(x)$ für $A=\bigcap_nA_n$

folgt

$\chi_{\bigcup_n\bigcap_{m\geq n}A_m}(x)=\sup_n\chi_{\bigcap_{m\geq n}A_m}(x)=\sup_n\inf_{m\geq n}\chi_{A_m}(x),$

analog für lim sup.

Konvergenz

Man sagt, die Folge (A_n) konvergiert gegen eine Menge A, falls der Limes inferior und der Limes superior gleich sind und schreibt $A=\lim_{n\rightarrow\infty}A_n$ oder auch $A_n\rightarrow A$. Eine Folge von Teilmengen einer Menge $X$ konvergiert genau dann, wenn es zu jedem $x$ einen Index $N$ gibt, so dass entweder $x\in A_n$ für alle $n\geq N$ oder $x\notin A_n$ für alle $n\geq N$ gilt.

Monotone Konvergenz

Ist $A_1\subseteq A_2\subseteq \cdots$, dann kann man zeigen, dass (A_n) gegen die Menge $A = \bigcup_nA_n$ konvergiert und man schreibt $A_n\uparrow A$.

Entsprechend kann man für $A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots$ zeigen, dass (A_n) gegen die Menge $A = \bigcap_nA_n$ konvergiert und man schreibt $A_n\downarrow A$.

Limes superior und Limes inferior von Funktionen

Ist eine reellwertige Funktion $f:I\to \R$ auf einem Intervall $I$ gegeben und $\xi$ ein innerer Punkt des Intervalls, so sind Limes superior und Limes inferior jene Werte aus den erweiterten reellen Zahlen $\bar{\R}=\R\cup\{-\infty,+\infty\}$, die folgendermaßen definiert sind:

$\limsup_{x\to\xi} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi+a))$,

$\liminf_{x\to\xi} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi+a))$.

$f((\xi-a,\xi+a))$ bezeichnet dabei die Bildmenge des offenen Intervalls $(\xi-a,\xi+a)$; $a$ ist dabei so klein zu wählen, dass $(\xi-a,\xi+a)\subseteq I$.

Analog zu einseitigen Grenzwerten werden ein einseitiger Limes superior und ein einseitiger Limes inferior definiert:

$\limsup_{x\to\xi+} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi,\xi+a))$,

$\liminf_{x\to\xi+} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi,\xi+a))$,

$\limsup_{x\to\xi-} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi))$,

$\liminf_{x\to\xi-} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi))$.

Limes superior und Limes inferior von Funktionen werden beispielsweise bei der Definition der Halbstetigkeit verwendet.

Verallgemeinerung

Die Definitionen von Limes superior und Limes inferior können verallgemeinert werden.

Definition

Sei $T$ ein beliebiger topologischer Raum, $M$ eine partiell geordnete Menge, in welcher zu jeder nichtleeren Teilmenge $A \subseteq M$ $\inf A$ und $\sup A$ existiert. M trage die von dieser Ordnung induzierte Topologie. Sei weiter $f: V\rightarrow M$, $V \subseteq T$ und $a \in T$ ein Häufungspunkt von $V$ (das heißt jede Umgebung von $a$ enthalte ein von $a$ verschiedenes Element aus $V$). Die Menge der Umgebungen von $a$ in $V$ werde mit $\mathfrak{U}(a)$ bezeichnet.

Definiere nun:

$\limsup_{x\to a} f(x):=\inf_{U\in\mathfrak{U}(a)} \sup_{x\in U\backslash\{a\}} f(x)$

$\liminf_{x\to a} f(x):=\sup_{U\in\mathfrak{U}(a)} \inf_{x\in U\backslash\{a\}} f(x)$

$\mathfrak{U}(a)$ darf hierbei durch eine beliebige Umgebungsbasis von $a$ ersetzt werden.

Eigenschaften

• es gilt stets $\liminf_{x\to a} f(x) \leq \limsup_{x\to a} f(x)$
• gilt

$\liminf_{x\to a} f(x) = \limsup_{x\to a} f(x)$

so folgt, dass $\lim_{x\to a} f(x)$ existiert und es gilt

$\lim_{x\to a} f(x) = \liminf_{x\to a} f(x) = \limsup_{x\to a} f(x)$

Beispiele

• für $T = \mathbb{N} \cup \{\infty\}$, $V = \mathbb{N}$, $M = \mathbb{R} \cup \{-\infty, \infty\}$ und $a = \infty$ erhält man die aus der Analysis bekannte Definition des Limes Inferiors und Limes Superiors einer Folge reeller Zahlen.
• für $T = \mathbb{N} \cup \{\infty\}$, $V = \mathbb{N}$, $M = Pot(\Omega)$ und $a = \infty$ erhält man die Definition des Limes Inferiors und Limes Superiors für Mengenfolgen.

Literatur

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Auflage, De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Gebunden), ISBN 3-11-013625-2 (Broschiert), S. 93 (zu Folgen von Mengen).