Limes superior und Limes inferior

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Limes superior und des Limes inferior einer Folge: Die Folge xn wird mit blauen Punkten dargestellt. Die beiden roten Kurven nähern sich dem Limes superior und Limes inferior der Folge an, die als gestrichelte schwarze Linien dargestellt sind.

In der Mathematik bezeichnen Limes superior und Limes inferior einer Folge (xn) den größten bzw. kleinsten Grenzwert konvergenter Teilfolgen von (xn). Analog werden Limes superior und Limes inferior von reellwertigen Funktionen definiert. Limes superior und Limes inferior sind ein partieller Ersatz für den Grenzwert, falls dieser nicht existiert.

Definition für Folgen reeller Zahlen[Bearbeiten]

Formal wird der Limes inferior einer Folge (x_n)_{n \in \N} reeller Zahlen definiert als

\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n = \varliminf_{n\rightarrow\infty}x_n := \sup_{n\in \N}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\inf\{x_k:k\geq n\}:n\in\N\}

beziehungsweise als

\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{k\geq n}x_k\right)

Analog definiert man den Limes Superior einer Folge (x_n)_{n \in \N} reeller Zahlen als

\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}x_n:=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{k\geq n}x_k\right)

Für eine nach unten unbeschränkte reelle Folge existiert der Limes inferior nicht, analog existiert der Limes superior nicht für eine nach oben unbeschränkte Folge. Für beschränkte Folgen existieren beide stets und stimmen dann mit dem kleinsten bzw. größten Häufungspunkt der Folge überein. Häufig werden Limes inferior und Limes superior allerdings als Elemente der erweiterten reellen Zahlen \R\cup\lbrace-\infty,+\infty\rbrace betrachtet; in diesem Fall existieren sie immer.

Existieren Limes inferior und Limes superior einer Folge (x_n)_{n \in \N}, so ist \textstyle \liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n\;.

Diese Definitionen sind allgemeiner in einer partiell geordneten Menge sinnvoll, falls die vorkommenden Suprema und Infima existieren. In einem vollständigen Verband existieren diese Größen immer, so dass in diesem Fall auch jede Folge einen Limes inferior und einen Limes superior besitzt.

Folgen reeller Funktionen[Bearbeiten]

Für eine Folge von reellen Funktionen (f_n)_{\{n \in \N\}} mit f_n\colon\R\rightarrow\R für n \in \N sind Limes inferior und Limes superior punktweise definiert, d. h.

(\liminf_{n\rightarrow\infty} f_n)(x)=\liminf_{n\to\infty}f_n(x),

analog für lim sup.

Eine der bekanntesten mathematischen Aussagen, die den Begriff des Limes inferior einer Funktionenfolge verwenden, ist das Lemma von Fatou.

Limes superior und Limes inferior von Funktionen[Bearbeiten]

Ist eine reellwertige Funktion f:I\to \R auf einem Intervall I gegeben und \xi ein innerer Punkt des Intervalls, so sind Limes superior und Limes inferior jene Werte aus den erweiterten reellen Zahlen \bar{\R}=\R\cup\{-\infty,+\infty\}, die folgendermaßen definiert sind:[1]

\limsup_{x\to\xi} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi+a)\backslash\{\xi\}),
\liminf_{x\to\xi} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi+a)\backslash\{\xi\}).

 f((\xi-a,\xi+a)) bezeichnet dabei die Bildmenge des offenen Intervalls (\xi-a,\xi+a); a ist dabei so klein zu wählen, dass (\xi-a,\xi+a)\subseteq I.

Analog zu einseitigen Grenzwerten werden ein einseitiger Limes superior und ein einseitiger Limes inferior definiert:

\limsup_{x\to\xi+} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi,\xi+a)),
\liminf_{x\to\xi+} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi,\xi+a)),
\limsup_{x\to\xi-} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi)),
\liminf_{x\to\xi-} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi)).

Limes superior und Limes inferior von Funktionen werden beispielsweise bei der Definition der Halbstetigkeit verwendet.

Folgen von Mengen[Bearbeiten]

Limes superior und Limes inferior[Bearbeiten]

Für eine beliebige Menge \Omega bildet die Potenzmenge P(\Omega) einen vollständigen Verband unter der durch die Teilmengenrelation definierten Ordnung. Der Limes inferior einer Folge (An) von beliebigen Teilmengen von \Omega ist die Menge aller Elemente aus \Omega, die in fast allen An liegen. Der Limes superior der Mengenfolge (An) ist die Menge aller Elemente aus \Omega, die in unendlich vielen An liegen.

In der Sprache der Mengenlehre ausgedrückt,

\liminf_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right)

und

\limsup_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right).

Der Limes superior von Mengen wird beispielsweise im Borel-Cantelli-Lemma verwendet.

Man kann sich die Formeln klarmachen, wenn man zunächst Schnitt beziehungsweise Vereinigung endlicher Mengen betrachtet. Die rechte Seite der Gleichung für den Limes superior für n=1;2 und n=1;2;3 lautet

{\bigcap_{n=1}^2}\left({\bigcup_{m=n}^2}A_m\right)=\left(A_1\cup A_2\right)\cap A_2=A_2
{\bigcap_{n=1}^3}\left({\bigcup_{m=n}^3}A_m\right)=\left(A_1\cup A_2\cup A_3\right)\cap\left(A_2\cup A_3\right)\cap A_3=A_3

In jedem Schritt wird eine weitere Menge aus der Vereinigung aller Mengen herausgeteilt. Zurück bleibt schließlich für alle endlichen n nur A_n. Im unendlichen bleiben nur Mengen übrig, die in unendlich vielen A_n vorkommen, weil diese niemals herausgeteilt werden können. Somit ist der Limes superior gerade der Teil, der in unendlich vielen A_n liegt.

Zusammenhang mit Folgen von Zahlen[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion des Limes inferior bzw. Limes superior von Mengen ist der punktweise Limes inferior bzw. Limes superior der charakteristischen Funktionen der einzelnen Mengen: Aus

\chi_A(x)=\sup_n\chi_{A_n}(x) für A=\bigcup_nA_n

und

\chi_A(x)=\inf_n\chi_{A_n}(x) für A=\bigcap_nA_n

folgt

\chi_{\bigcup_n\bigcap_{m\geq n}A_m}(x)=\sup_n\chi_{\bigcap_{m\geq n}A_m}(x)=\sup_n\inf_{m\geq n}\chi_{A_m}(x),

analog für lim sup.

Konvergenz[Bearbeiten]

Man sagt, die Folge (An) konvergiert gegen eine Menge A, falls der Limes inferior und der Limes superior gleich sind und schreibt A=\lim_{n\rightarrow\infty}A_n oder auch A_n\rightarrow A. Eine Folge von Teilmengen einer Menge X konvergiert genau dann, wenn es zu jedem x einen Index N=N(x) gibt, so dass entweder x\in A_n für alle n\geq N oder x\notin A_n für alle n\geq N gilt.

Monotone Konvergenz[Bearbeiten]

Ist A_1\subseteq A_2\subseteq \cdots, dann kann man zeigen, dass (An) gegen die Menge A = \bigcup_nA_n konvergiert und man schreibt A_n\uparrow A.

Entsprechend kann man für A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots zeigen, dass (An) gegen die Menge A = \bigcap_nA_n konvergiert und man schreibt A_n\downarrow A.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Die Definitionen von Limes superior und Limes inferior können verallgemeinert werden.

Definition[Bearbeiten]

Sei  T ein beliebiger topologischer Raum,  M eine partiell geordnete Menge, in welcher zu jeder nichtleeren Teilmenge  A \subseteq M  \inf A und  \sup A existiert. M trage die von dieser Ordnung induzierte Topologie. Sei weiter  f: V\rightarrow M ,  V \subseteq T und  a \in T ein Häufungspunkt von V (das heißt jede Umgebung von  a enthalte ein von  a verschiedenes Element aus  V ). Die Menge der Umgebungen von a in V werde mit  \mathfrak{U}(a) bezeichnet.

Definiere nun:

 \limsup_{x\to a} f(x):=\inf_{U\in\mathfrak{U}(a)} \sup_{x\in U\backslash\{a\}} f(x)
 \liminf_{x\to a} f(x):=\sup_{U\in\mathfrak{U}(a)} \inf_{x\in U\backslash\{a\}} f(x)

 \mathfrak{U}(a) darf hierbei durch eine beliebige Umgebungsbasis von  a ersetzt werden.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • es gilt stets \liminf_{x\to a} f(x) \leq \limsup_{x\to a} f(x)
  • gilt
\liminf_{x\to a} f(x) = \limsup_{x\to a} f(x)

so folgt, dass \lim_{x\to a} f(x) existiert und es gilt

 \lim_{x\to a} f(x) = \liminf_{x\to a} f(x) = \limsup_{x\to a} f(x)

Beispiele[Bearbeiten]

  • für T = \mathbb{N} \cup \{\infty\} , V = \mathbb{N}, M = \mathbb{R} \cup \{-\infty, \infty\} und a = \infty erhält man die aus der Analysis bekannte Definition des Limes Inferiors und Limes Superiors einer Folge reeller Zahlen.
  • für T = \mathbb{N} \cup \{\infty\} , V = \mathbb{N}, M = Pot(\Omega) und a = \infty erhält man die Definition des Limes Inferiors und Limes Superiors für Mengenfolgen.

Quellen[Bearbeiten]

  1. Nelson Dunford and Jacob T. Schwartz. Linear Operators. Part I. General Theory. John Wiles and Sons, 1988, p. 4. ISBN 0-471-60848-3.

Literatur[Bearbeiten]