Langzeitkorrelation

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Langzeitkorrelationen, auch Langzeitpersistenz, Erhaltungsneigung oder Memory-Effekt genannt, sind Korrelationen mit divergierender Korrelationslänge.

Bei positiven Korrelationen folgt auf einen hohen Wert eher ein weiterer hoher und auf einen niedrigen ein niedriger; bei Langzeikorrelationen gilt dies aufgrund der langsam abfallenden Korrelationsfunktion ebenso für ausgedehnte hohe bzw. niedrige Bereiche, die dann auf gleiche Weise miteinander korreliert sind wie die Einzelwerte. Dies führt zu einer ausgeprägten Berg- und Talstruktur, die sich etwa darin äußert, daß sich langzeitkorrelierte Sequenzen nur schwer von Trends abgrenzen lassen.

Langzeitkorrelationen sind selbstaffine Strukturen, die Selbstähnlichkeit nur unter anisotroper Längentransformation zeigen. Damit also z. B. eine langzeitkorrelierte Reihe aus Zufallszahlen sich selbst ähnelt, müssen die Abszisse und die Ordinate mit unterschiedlichen Faktoren gestreckt oder gestaucht werden.

Eine Erweiterung der Beschreibung von Langzeitkorrelationen stellt die Multifraktalität dar, bei der verschiedene Momente unterschiedlich langzeitkorreliert sind, was besonders stark bei Abflusszeitreihen auftritt.

Auftreten[Bearbeiten]

Langzeitkorrelationen sind bisher hauptsächlich bei Autokorrelationen untersucht worden, können grundsätzlich aber auch bei Kreuzkorrelationen und allgemein im multivariaten Fall auftreten. Sie wurden in den verschiedensten Bereichen gefunden, z. B. in

Erstmals wurde der Effekt der Langzeitkorrelationen 1951 von H.E. Hurst bei der Untersuchung der langjährigen Nilreihe beschrieben. Er untersuchte, welche Pegelschwankungen des Nils ein Staudamm fassen muß, ohne überzulaufen oder auszutrocknen, was zu seiner R/S-Analyse mit dem Hurst-Exponenten H (verwandt mit \alpha, s. u.) führte. Im Zuge der Chaosforschung wurde die Thematik aufgegriffen und ist heute in vielen Bereichen Gegenstand der Forschung.

Mathematische Beschreibung[Bearbeiten]

Bei Langzeitkorrelationen hat das Integral über die Korrelationsfunktion C(s) keinen endlichen Wert:

s_{\times} = \int_0^\infty \! \! C(s) \cdot {\rm d}s \quad \rightarrow \quad \infty \, .

Dies gilt vor allem für eine potenzgesetzartig abfallende Korrelationsfunktion:

C(s) \sim s^{-\gamma}

mit einem Korrelationsexponenten 0<\gamma<1 (im eindimensionalen Fall).

Derartige Korrelationen können mit verschiedenen Methoden quantifiziert werden:

Zwischen den drei Exponenten gelten die Beziehungen:

\begin{alignat}{2}
& \alpha + \gamma/2 && = 1\\
& \beta  + \gamma   && = 1 \, ,
\end{alignat}

letztere kann mittels des Wiener-Chintschin-Theorems gezeigt werden.

Im Gegensatz zu Langzeitkorrelationen haben Kurzzeitkorrelationen, die z. B. aus einem autoregressiven Prozess hervorgehen, eine endliche Korrelationslänge, z. B.

C(s) = {\rm e}^{-s/s_\times}.

Literatur[Bearbeiten]