Liouville-Funktion

Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben λ bezeichnet und ist wie folgt definiert:

$\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)},\,$

wobei Ω(n) die Anzahl der (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren von n bezeichnet.

Man definiert außerdem λ(0) = 0 und λ(1) = 1.

Die ersten Werte (beginnend bei n = 1) sind

1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, ...

Eigenschaften

Es gilt

$\sum_{d|n}\lambda(d)=\begin{cases} 1, \qquad \mathrm{wenn}\; n\; \mathrm{eine\; Quadratzahl\; ist} \\ 0,\qquad\mathrm{sonst.}\end{cases}$

Die Liouville-Funktion ist verwandt mit der Möbius-Funktion μ durch

$\lambda(n)=\sum_{d^2|n} \mu\left(\frac{n}{d^2}\right).$

Reihen

Die Dirichlet-Reihe der Liouville-Funktion lässt sich durch die riemannschen Zeta-Funktion ζ ausdrücken:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}=\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.$

Ihre Lambert-Reihe ist gegeben durch

$\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n}=\sum_{n=1}^\infty q^{n^2}=\frac12(\vartheta_3(q)-1),$

wobei $\vartheta_3$ die Jacobische Theta-Funktion bezeichnet.

Summen

Graph von L_n bis n=10.000

Graph von L_n bis 10⁷

Es sei

$L(n)=\sum_{k=1}^n \lambda(k).$

Die Pólya-Vermutung besagt, es sei – wie die Grafiken rechts vermuten lassen – stets

$L(n)\le 0.$

Diese Vermutung wurde mittlerweile widerlegt; das kleinste Gegenbeispiel ist n = 906150257. Es ist bisher allerdings nicht bekannt, ob L sein Vorzeichen unendlich oft wechselt.

Eine verwandte Summe ist

$M(n)=\sum_{k=1}^n \frac{\lambda(k)}k.$

Für diese wurde vermutet, sie sei für hinreichend große n stets positiv; dies wurde von Haselgrove widerlegt, wobei er zeigte, dass M unendlich oft negative Werte annimmt. Ein Beweis der Vermutung hätte die Richtigkeit der riemannschen Vermutung zur Folge gehabt.

Referenzen

1. Eric W. Weisstein: Liouville Function. In: MathWorld. (englisch)