Thetafunktion

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Dieser Artikel befasst sich mit den Jacobischen Thetafunktionen. Für weitere Bedeutungen des Begriffs siehe Thetafunktion (Begriffsklärung).

In der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bilden die Thetafunktionen eine spezielle Klasse von Funktionen mehrerer komplexer Variablen. Systematisch untersucht wurden sie zuerst von Carl Gustav Jakob Jacobi.

Thetafunktionen spielen eine Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und der quadratischen Formen. Eingeführt wurden sie 1829 von Jacobi in seinem Buch Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Jacobi verwendete für sie den griechischen Buchstaben \Theta und gab ihr den Namen Thetafunktion. Sie ist bei Jacobi die Grundlage seiner Behandlung elliptischer Funktionen, systematisch entwickelt in seinen Vorlesungen.[1] Die Bedeutung der Thetafunktion für die Theorie elliptischer Funktionen erkannte schon Carl Friedrich Gauß, veröffentlichte dies aber nicht. Die Thetafunktion selbst war in Spezialfällen schon Leonhard Euler und Johann Bernoulli bekannt.[2] Weitere Beiträge zur Theorie der Thetafunktion stammten im 19. Jahrhundert insbesondere von Karl Weierstrass, Bernhard Riemann, Frobenius und Henri Poincaré.

Thetafunktionen tauchen zum Beispiel bei der Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf.

Definition[Bearbeiten]

Klassische Thetafunktion[Bearbeiten]

Die klassische jacobische Thetafunktion ist definiert durch

\vartheta(z,\tau):=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi in^2\tau + 2\pi inz}

Die Reihe ist in \mathbb{C} \times \mathbb{H} normal konvergent, dabei bedeutet \mathbb{H} = \{z\in \mathbb{C} | \Im(z) > 0\} die obere Halbebene. Für festes \tau \in \mathbb{H} ist also \vartheta(\cdot, \tau) eine ganze Funktion, für festes z \in \mathbb{C} ist \vartheta(z, \cdot) eine auf \mathbb{H} holomorphe Funktion.

Weitere Thetafunktionen[Bearbeiten]

Neben der klassischen Thetafunktion findet man in der Literatur vor allem drei weitere Thetafunktionen, nämlich:

\vartheta_0(z,\tau):=\vartheta_{0,1}(z,\tau):=\vartheta(z+\frac{1}{2},\tau)=
\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n e^{\pi in^2\tau + 2\pi inz}


\vartheta_2(z,\tau):=\vartheta_{1,0}(z,\tau):=e^{\pi i\frac{\tau}{4}+\pi 
iz}\vartheta(z+\frac{\tau}{2},\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i(n+\frac{1}{2})^2\tau + 
2\pi i(n+\frac{1}{2})z}


\vartheta_1(z,\tau):=\vartheta_{1,1}(z,\tau):=e^{\pi i\frac{\tau}{4}+\pi i(z+\frac{1}{2})}\vartheta(z+\frac{\tau+1}{2},\tau)=i\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^ne^{\pi 
i(n+\frac{1}{2})^2\tau + 2\pi i(n+\frac{1}{2})z}


Die jacobische Thetafunktion wird in dieser Schreibweise als \vartheta_3(z,\tau) bzw. \vartheta_{0,0}(z,\tau) bezeichnet.

Etwas allgemeiner definiert man

\Theta_{a,b}(z,\tau):=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i(n+\frac{a}{2})^2\tau + 2\pi 
i(n+\frac{a}{2})z + \pi inb}

Theta-Nullwert[Bearbeiten]

Unter dem Theta-Nullwert versteht man jeweils die Thetafunktion für den Wert z=0, also beispielsweise für die jacobische Thetafunktion die Reihe

\vartheta(\tau):=\vartheta(0,\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi in^2\tau} = 
1+2\sum_{n=1}^\infty e^{\pi in^2\tau}

Eigenschaften[Bearbeiten]

Nullstellen[Bearbeiten]

Für festes \tau \in \mathbb{H} hat die Thetafunktion einfache Nullstellen an den Stellen

z=k+m\tau+\frac{\tau+1}{2}, k,m\in \mathbb{Z}.

Transformationsformel[Bearbeiten]

Die Thetafunktion ist periodisch in beiden Variablen, es ist

\vartheta(z+1,\tau)=\vartheta(z,\tau+2)=\vartheta(z,\tau)

Darüber hinaus gilt die wichtige Transformationsformel

\vartheta(z,\frac{-1}{\tau})=e^{\pi 
iz^2\tau}\sqrt{\frac{\tau}{i}}\vartheta(z\tau,\tau)

Speziell für den Theta-Nullwert reduziert sich dies auf

\vartheta(\frac{-1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}}\vartheta(\tau)

Bei der Wurzel ist dabei jeweils der Hauptzweig zu nehmen.

Produktdarstellung[Bearbeiten]

Die Thetafunktion lässt sich mit Hilfe des jacobischen Tripelproduktes auch als unendliches Produkt darstellen, es gilt:

\vartheta(z,\tau)=\prod_{n=1}^\infty(1-e^{2\pi in\tau})(1+e^{\pi 

i[(2n-1)\tau+2z]})(1+e^{\pi i[(2n-1)\tau-2z]})

Speziell für den Theta-Nullwert reduziert sich dies auf

\vartheta(\tau)=\prod_{n=1}^\infty(1-e^{2\pi in\tau})(1+e^{\pi i(2n-1)\tau})^2

Aus dieser Darstellung folgt insbesondere, dass \vartheta(\tau) keine Nullstellen in der oberen Halbebene \mathbb{H} hat.

Integraldarstellung[Bearbeiten]

Die Thetafunktion besitzt eine Integraldarstellung:

\vartheta(z, \tau) = -i 
\int_{i - \infty}^{i + \infty} {e^{i \pi \tau u^2} 
\cos (2 u z + \pi u) \over \sin (\pi u)} \text{d}u

Differentialgleichung[Bearbeiten]

Die Thetafunktion spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der Wärmeleitung, für reelle x und t>0 ist sie eine Lösung der partiellen Differentialgleichung

\frac{\partial}{\partial t} \vartheta(x,it)=\frac{1}{4\pi} \frac{\partial^2}{\partial 
x^2} \vartheta(x,it).

wie man durch Einsetzen von :\vartheta(x,it)=\sum_{n=-\infty}^\infty e^{- n^2\cdot \pi \cdot t + 2\pi inx}= 1+ 2 \sum_{n=1}^\infty e^{- n^2\cdot \pi \cdot t } \cos {(2 \pi n x)} sieht. Dies entspricht einer Fourierentwicklung im Ortsraum mit Koeffizienten mit exponentiell abfallender Zeitabhängigkeit.

Jacobi-Identität[Bearbeiten]

Die Theta-Nullwerte erfüllen die sogenannte Jacobi-Identität:

\vartheta_3(\tau)^4 = \vartheta_0(\tau)^4 + \vartheta_2(\tau)^4

Zusammenhang mit der riemannschen Zetafunktion[Bearbeiten]

Riemann benutzte in seiner berühmten Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe die Transformationsformel der Thetafunktion für einen Beweis der Funktionalgleichung der Zetafunktion, es gilt nämlich:

\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\pi ^{-\frac{s}{2}} \zeta(s) =  \frac{1}{2}\int_0^\infty (\vartheta(0,it)-1)\,t^{\frac{s}{2}}\frac{\text{d}t}{t}

Zusammenhang mit Modulformen und elliptischen Funktionen[Bearbeiten]

Zusammenhang mit der dedekindschen Eta-Funktion[Bearbeiten]

Die Thetafunktion hängt eng zusammen mit der dedekindschen Eta-Funktion, es gilt:

\vartheta(0,\tau)= \frac{\eta^2(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau+1)}

Die Thetafunktion als Modulform zu einer Untergruppe der Modulgruppe[Bearbeiten]

Mittels der Thetafunktion lassen sich Modulformen definieren. Setzt man f(\tau):=\vartheta^8(\tau), so gilt aufgrund des Transformationsverhaltens

f(\tau+2)= f(\tau) und f(\frac{-1}{\tau})=\tau^4f(\tau)

Die Funktion f(\tau) ist also eine Modulform vom Gewicht 4 zu der von den beiden Transformationen \tau\mapsto \tau+2 und \tau\mapsto 

\frac{-1}{\tau} erzeugten Untergruppe \Gamma_\vartheta der Modulgruppe \Gamma.

Quotienten von Thetafunktionen[Bearbeiten]

Die Thetafunktion lässt sich zur Definition elliptischer Funktionen heranziehen. Setzt man etwa für festes \tau\in\mathbb{H}:

f(z)= \frac{\vartheta^2(z+\frac{1}{2},\tau)}{\vartheta^2(z,\tau)},

so ist f(z) eine elliptische Funktion zum Gitter \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau.

Auf ähnliche Weise lässt sich auch die weierstraßsche ℘-Funktion konstruieren. Erfüllt nämlich eine holomorphe Funktion f(z) die beiden Bedingungen f(z+1) = f(z) und f(z+\tau) = \text{e}^{-az-b}f(z) für ein festes \tau\in\mathbb{H}, so ist die zweite logarithmische Ableitung eine elliptische Funktion zum Gitter \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\tau. Beispielsweise gilt für die weierstraßsche ℘-Funktion:

\wp(z)= -\frac{\text{d}^2}{\text{d}z^2}\log\vartheta_1(z,\tau) + c

mit einer passenden Konstanten c.

Zusammenhang mit zahlentheoretischen Funktionen[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Thetafunktion und deren Produktdarstellung lässt sich der Pentagonalzahlensatz beweisen.

Als weitere Anwendung erhält man eine Formel für die dritte Potenz des Euler-Produktes:

\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^3 = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m(2m+1)q^{(m^2+m)/2}

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Theorie der elliptischen Funktionen aus den Eigenschaften der Thetareihe abgeleitet, Vorlesungsausarbeitung von Karl Wilhelm Borchardt 1838, in Jacobi Werke, Band 1, 1881 (Herausgeber Borchardt, Karl Weierstrass), S. 497-538
  2. Carl Ludwig Siegel Lectures on Complex Function Theory, Band 2, Wiley-Interscience 1971, S. 163