Liouville-Gleichung

Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines physikalischen Systems in der statistischen Mechanik, im Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik, dort auch Von-Neumann-Gleichung genannt. Die Liouville-Gleichung besagt anschaulich, dass das Volumen einer beliebigen Teilmenge des Phasenraums unter einer zeitlichen Entwicklung erhalten bleibt, das heißt dass der Fluss durch den Phasenraum volumen- und sogar orientierungserhaltend ist.

Klassische Gleichung

In der statistischen Physik kann ein Ensemble von Realisierungen eines physikalischen Systems durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte $\rho$ im Phasenraum charakterisiert werden ("Phasenraumdichte"). Für die zeitliche Entwicklung eines solchen Ensembles gilt

$\frac{d \rho }{dt}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum_{i=1}^{N}\left[ \frac{\partial \rho }{\partial q_{i}}\dot{q}_{i}+\frac{\partial \rho }{\partial p_{i}}\dot{p}_{i}\right] =0,$

wobei die $q_i$ und $p_i$ die kanonischen Orts- und Impulskoordinaten des $i$-ten Teilchens im Phasenraum bezeichnen. Unabhängig vom gewählten Ensemble verschwindet die totale zeitliche Ableitung, was bedeutet, dass sich entlang einer Phasenraumtrajektorie die Phasenraumdichte nicht verändert. Ersetzt man $\dot q_i$ und $\dot p_i$ gemäß der hamiltonschen Bewegungsgleichungen, so lässt sich dieser Sachverhalt mit Hilfe der Poisson-Klammer kürzer ausdrücken:

$\frac{\partial}{\partial t}\rho(\tau,t)=-\{\,\rho(\tau,t) ,H\,\}=\{\,H,\rho(\tau,t)\,\},$

wobei H die Hamilton-Funktion und $\tau$ die Gesamtheit der Phasenraumkoordinaten bezeichnet.

Aus der Liouville-Gleichung folgt unmittelbar der Satz von Liouville (auch „Liouville-Theorem“ genannt).

Quantenmechanische Gleichung

$\frac{\partial}{\partial t}\rho=\frac{i}{\hbar}[\rho,H]$

Hier bezeichnet H den Hamilton-Operator, $\rho$ die Dichtematrix und die eckigen Klammern den Kommutator. Diese Form der Liouville-Gleichung wird auch Von-Neumann-Gleichung genannt. Mit Hilfe des Wigner-Bildes kann im semiklassischen Grenzfall eine direkte Beziehung zwischen der klassischen Poisson-Klammer und dem Hamilton-Operator hergeleitet werden:

$\lim\limits_{\hbar \rightarrow 0}~ \frac{i}{\hbar} [\hat{A},\hat{B}] = \{{A}_w,{B}_w\}$

Literatur

Franz Schwabl, Statistische Mechanik, Springer 2004

Siehe auch

• Satz von Liouville (Physik)