Poisson-Klammer

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Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

Definition[Bearbeiten]

Die Poisson-Klammer ist definiert als

\left \{ f,g \right \} := \sum_{k=1}^{s}{\left ( \frac{\partial f}{\partial q_k} \frac{\partial g}{\partial p_k} - \frac{\partial f}{\partial p_k} \frac{\partial g}{\partial q_k} \right )},

wobei f und g Funktionen der generalisierten Koordinaten q_k und der kanonisch konjugierten Impulse p_k sind. Die Anzahl der Freiheitsgrade ist s.

Hamiltonsche Bewegungsgleichung[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Poisson-Klammer kann die Zeitevolution einer beliebigen Observablen f(q_k,p_k,t) eines Hamiltonschen Systems H(q_k,p_k) ausgedrückt werden.

Die totale Ableitung nach der Zeit einer beliebigen Observablen f(\mathbf{q}(t),\mathbf{p}(t),t) ist

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\sum_{k=1}^s \left(\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial q_k}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\partial p_k}{\partial t}\right)+\frac{\partial f}{\partial t}

und beschreibt die Zeitevolution der Observablen. Einsetzen der Hamiltonschen Gleichungen

\dot{q}_k=\frac{\partial H}{\partial p_k}

und

\dot{p}_k=-\frac{\partial H}{\partial q_k}

ergibt

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\sum^s_{k=1}\left(\frac{\partial f}{\partial q_k}\frac{\partial H}{\partial p_k}-\frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\partial H}{\partial q_k}\right)+\frac{\partial f}{\partial t}.

Der vordere Teil entspricht der Definition der Poisson-Klammer:

\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\{f,H\}+\frac{\partial f}{\partial t}.

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen F und G, die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischem Impulsen abhängen, definiert werden. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:

\{F,G\}_{ab}:=\sum^s_{k=1}\left(\frac{\partial F}{\partial a_k}\frac{\partial G}{\partial b_k}-\frac{\partial F}{\partial b_k}\frac{\partial G}{\partial a_k}\right).

Eigenschaften[Bearbeiten]

\,\{c_1 f_1+c_2 f_2,g\}=c_1 \{f_1,g\}+ c_2 \{f_2,g\}
\{f,g\}=-\{g,f\}\,\Rightarrow\, \{f,f\}=0
\,\{f,gh\}=\{f,g\}h+g\{f,h\}
\,\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0
  • Invarianz

Physikalisch liegt es nahe anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte. Damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien (\mathbf{q},\mathbf{p}) und (\mathbf{Q},\mathbf{P}) zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen transformiert werden, so gilt

\{f,g\}_{\mathbf{qp}}=\{f,g\}_{\mathbf{QP}}=\{f,g\}.

Der Beweis für die Invarianzeigenschaft ist länglich, sodass wir ihn hier auslassen.

Fundamentale Poisson-Klammern[Bearbeiten]

Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

\left \{ q_k, p_l \right \} = \delta_{kl}
\left \{ q_k, q_l \right \} = 0
\left \{ p_k, p_l \right \} = 0

welche einfach aus den trivialen Beziehungen

\frac{\partial q_k}{\partial q_l}=\delta_{kl}
\frac{\partial q_k}{\partial p_l}=0
\frac{\partial p_k}{\partial q_l}=0
\frac{\partial p_k}{\partial p_l}=\delta_{kl}

folgen.

Dabei ist \delta_{kl} das Kronecker-Delta.

Anwendung[Bearbeiten]

  • Die Poisson-Klammer kann dazu benutzt werden, um die zeitliche Änderung von Observablen durch die Dynamik des Systems zu bestimmen. Es gilt für eine Observable f(\mathbf{q(\mathrm{t})},\mathbf{p(\mathrm{t})},t)
 \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} t}=\{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t},
  • Insbesondere kann man mit dieser Gleichung Konstanten der Bewegung (Erhaltungsgrößen) charakterisieren. Eine Observable f(\mathbf{q},\mathbf{p},t) ist nämlich genau dann eine Erhaltungsgröße, wenn
 0=\{f,H\} + \frac{\partial f}{\partial t}
gilt. Ist f nicht explizit zeitabhängig, wird daraus
 \,0=\{f,H\}
 \dot{\rho}=\{H,\rho\}.
\{H,f\}\rightarrow-\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{f}]
Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator \hat{H} im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.
  • Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.
  • Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit in lokalen Koordinaten durch \textstyle \omega=\sum_{ij}\omega_{ij}\,\mathrm dx^i\wedge\mathrm d x^j gegebener symplektischer Form die Poisson-Klammer der Funktionen f und g durch
\{f, g\} = \sum_{ij}\omega^{ij}\,\partial_i f\, \partial_j g\,.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Hong-Tao Zhang: A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software. In: arXiv.org > quant-ph > arXiv:quant-ph/0204081v1. [v1] Mon, 15 Apr 2002 13:10:24 GMT.