Majorantenkriterium

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Das Majorantenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium für unendliche Reihen. Die Grundidee ist, eine Reihe durch eine größere, so genannte Majorante, abzuschätzen, deren Konvergenz bekannt ist. Umgekehrt kann mit einer Minorante die Divergenz nachgewiesen werden.

Formulierung des Kriteriums[Bearbeiten]

Sei eine unendliche Reihe

S = \sum_{n=0}^\infty a_n

mit reellen oder komplexen Summanden a_n gegeben. Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe

T = \sum_{n=0}^\infty b_n

mit nichtnegativen reellen Summanden b_n und gilt für fast alle n:

|a_n| \le b_n,

dann ist die Reihe S absolut konvergent. Man sagt, die Reihe S wird von T majorisiert oder T ist die Majorante von S.

Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das Minorantenkriterium: Sind S und T Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden a_n bzw. b_n, und gilt

a_n \ge b_n

für fast alle n, dann folgt: Ist T diesmal divergent, dann ist auch S divergent.

Beweis[Bearbeiten]

Konvergiert die Reihe T = \sum_{\nu=0}^\infty b_\nu, dann gibt es zu jedem \varepsilon > 0 ein  N \in \mathbb{N}, so dass \sum _{\nu=n}^m b_\nu < \varepsilon für alle  m \ge n > N gilt (Cauchykriterium).

Aus |a_\nu| \le b_\nu folgt \Big|\sum_{\nu=n}^m a_\nu\Big| \le \sum_{\nu=n}^m b_\nu < \varepsilon. Daraus folgt die (absolute!) Konvergenz von S = \sum_{\nu=0}^\infty a_\nu nach dem Cauchykriterium.

Beispiel[Bearbeiten]

Die geometrische Reihe

T=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\dots

ist konvergent. Wegen \frac{1}{2^n+1}\le\frac{1}{2^n} konvergiert somit auch die Reihe

S=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{17}+\dots.

Anwendungen[Bearbeiten]

Das Majorantenkriterium wird auch als allgemeinste Form eines Vergleichskriteriums 1. Art bezeichnet, alle weiteren ergeben sich durch das Einsetzen konkreter Reihen für T=\sum_{n=0}^\infty b_n. Am prominentesten sind dabei das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium, in welchen die geometrische Reihe als Vergleichsreihe gewählt wird.


Ebenfalls lässt sich aus dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium das Cauchysche Verdichtungskriterium herleiten, mit dem sich beispielsweise zeigen lässt, dass die harmonische Reihe

S_n = \sum_{k=1}^n \frac1{k^\alpha}

konvergent für \alpha>1 und divergent für 0<\alpha\leq 1 ist.

Das Majorantenkriterium kann auf den Fall normierter Vektorräume ausgedehnt werden, es besagt dann, dass falls \|a_n\|\le b_n für fast alle n gilt, die Partialsummenfolge von S = \sum_{n=0}^\infty a_n eine Cauchy-Folge ist. Ist der Raum vollständig, d.h. ein Banachraum, so konvergiert S, falls T konvergiert. Insbesondere folgt daraus der Fixpunktsatz von Banach, der in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt wird.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]