Majorantenkriterium

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Das Majorantenkriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergiert oder divergiert.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Definition

Sei eine unendliche Reihe

S = \sum_{n=0}^\infty a_n

mit reellen oder komplexen Summanden an gegeben. Gibt es nun eine konvergente unendliche Reihe

T = \sum_{n=0}^\infty b_n

mit nichtnegativen reellen Summanden bn und gilt für alle n:

|a_n| \le b_n,

dann ist die Reihe S absolut konvergent. Man sagt, die Reihe S wird von T majorisiert oder T ist die Majorante von S.

Kehrt man diesen Schluss um, erhält man das Minorantenkriterium: Sind S und T Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden an bzw. bn, und gilt

a_n \le b_n

für fast alle n, dann folgt: Ist S divergent, dann ist auch T divergent.

[Bearbeiten] Beweis

Konvergiert die Reihe T = \sum_{\nu=0}^\infty b_\nu, dann gibt es zu jedem \varepsilon > 0 ein N \in \mathbb{N}, so dass \sum _{\nu=n}^m b_\nu < \varepsilon für alle m \ge n > N gilt (Cauchykriterium).

Aus |a_\nu| \le b_\nu folgt \Big|\sum_{\nu=n}^m a_\nu\Big| \le \sum_{\nu=n}^m b_\nu < \varepsilon. Daraus folgt die (absolute!) Konvergenz von S = \sum_{\nu=0}^\infty a_\nu nach dem Cauchykriterium.

[Bearbeiten] Beispiel

Die geometrische Reihe

T=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\dots

ist konvergent. Wegen \frac{1}{2^n+1}\le\frac{1}{2^n} konvergiert somit auch die Reihe

S=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2^n+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{17}+\dots.

[Bearbeiten] Anwendungen

Das Majorantenkriterium wird auch als allgemeinste Form eines Vergleichskriteriums 1. Art bezeichnet, alle weiteren ergeben sich durch das Einsetzen konkreter Reihen für T=\sum_{n=0}^\infty b_n. Am prominentesten sind dabei das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium, in welchen die geometrische Reihe als Vergleichsreihe gewählt wird.


Ebenfalls lässt sich aus dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium das Cauchysche Verdichtungskriterium herleiten, mit dem sich beispielsweise zeigen lässt, dass die harmonische Reihe

S_n = \sum_{k=1}^n \frac1{k^\alpha}

konvergent für α > 1 und divergent für 0<\alpha\leq 1 ist.

Das Majorantenkriterium kann auf den Fall normierter Vektorräume ausgedehnt werden, es besagt dann, dass falls \|a_n\|\le b_n für fast alle n gilt, die Partialsummenfolge von S = \sum_{n=0}^\infty a_n eine Cauchy-Folge ist. Ist der Raum vollständig, d.h. ein Banachraum, so konvergiert S, falls T konvergiert. Insbesondere folgt daraus der Fixpunktsatz von Banach, der in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt wird.

[Bearbeiten] Literatur

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Majorantenkriterium“
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