Wurzelkriterium

Das Wurzelkriterium (von Cauchy) (nach dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy [1789–1857]) ist ein mathematisches Konvergenzkriterium, also ein Mittel zur Entscheidung, ob eine unendliche Reihe konvergent ist.

Formulierungen

Sei eine unendliche Reihe $S = \sum_{n=0}^\infty a_n$ mit reellen oder komplexen Summanden $a_n$ gegeben. Falls man nun

$\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}<1$ ($\limsup$ steht hier für den Limes superior) oder

$\sqrt[n]{|a_{n}|}\le C$ für ein $C < 1$ und fast alle Indizes $n$

nachweisen kann, so ist die Reihe $S$ konvergent. Sie konvergiert dann sogar absolut, d. h. die Reihe $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ konvergiert ebenfalls.

Ist jedoch

$\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}> 1$ oder

$\sqrt[n]{|a_n|} \ge 1$ für unendlich viele Indizes $n$,

so divergiert die Reihe, da die Reihenglieder keine Nullfolge bilden.

Im Fall

$\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}= 1$ und

$\sqrt[n]{|a_n|} < 1$ für fast alle Indizes $n$

lässt sich nichts über die Konvergenz der Reihe aussagen. So lässt sich beispielsweise mit dem Wurzelkriterium keine Aussage über die Konvergenz der allgemeinen harmonischen Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ für $\alpha\ge 1$ machen, da

$\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1/n^\alpha}=\left(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1/n}\right)^\alpha= 1$.

Für $\alpha=1$ ist die allgemeine harmonische Reihe divergent, für $\alpha>1$ konvergent; das Wurzelkriterium kann aber die beiden Fälle nicht unterscheiden.

Beispiele

Beispiel 1. Wir untersuchen die Reihe

$\sum_{n=1}^\infty \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n^2}$

auf Konvergenz. Über das Wurzelkriterium erhalten wir:

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( 1 - \frac1n \right)^{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac1n\right)^{n} = \frac{1}{e} < 1$

mit der eulerschen Zahl $e$. Somit ist diese Reihe konvergent.

Beispiel 2. Wir prüfen nun die Reihe

$\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{2^n n!}$

auf Konvergenz. Wir erhalten:

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^n}{2^n n!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} = \frac{e}{2} > 1.$

Somit ist diese Reihe divergent.

Beweisskizze

Das Wurzelkriterium wurde erstmals von Augustin Louis Cauchy bewiesen. Es folgt mit dem Majorantenkriterium aus Eigenschaften der geometrischen Reihe:

• Denn gilt für alle $n\in\mathbb N:\;\sqrt[n]{|a_{n}|}\le C<1$, so ist das Majorantenkriterium $\forall n\in\mathbb N:\;|a_{n}|\le C^n$ mit einer konvergenten geometrischen Reihe $\sum_{n=0}^\infty C^n=\frac1{1-C}$ als Majorante erfüllt.

• Daran ändert sich auch nichts, falls dieses Kriterium für die ersten N Glieder der Reihe nicht erfüllt ist.

• Gilt $\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=C<1$, so ist $\sqrt[n]{|a_{n}|}\le \frac{1+C}2<1$ für fast alle n erfüllt, nach Definition des größten Häufungspunktes, womit wieder eine Majorante konstruiert werden kann.

Restgliedabschätzung

Ist die Reihe nach dem Wurzelkriterium konvergent, erhält man noch eine Fehlerabschätzung, d.h. eine Abschätzung des Restglieds der Summe nach N Summanden:

$S-S_N = \sum_{n=N+1}^\infty a_n \le C^{N+1} \frac1{1-C}$.

Das Wurzelkriterium ist schärfer als das Quotientenkriterium

Sei $(a_n)\,$ eine positive Folge und sei

$\alpha=\liminf \frac{a_{n+1}}{a_n} \quad , \quad \alpha'=\liminf \sqrt[n]{a_n} \quad , \quad \beta'=\limsup \sqrt[n]{a_n} \quad , \quad \beta=\limsup \frac{a_{n+1}}{a_n}$.

Liefert bei einer Reihe das

Quotientenkriterium eine Entscheidung (das heißt $\beta<1$ im Falle der Konvergenz bzw. $\alpha>1$ im Falle der Divergenz)

so liefert auch das Wurzelkriterium eine Entscheidung (das heißt $\beta'<1$ im Falle der Konvergenz bzw. $\alpha'>1$ im Falle der Divergenz).

Dies wird induziert durch die Ungleichungskette

$0\le \alpha\le \alpha'\le \beta'\le \beta\le \infty$

Ist ohne Einschränkung $\alpha>0\,$ und $\beta<\infty$ so gibt es zu jedem noch so kleinen ($<\alpha\,$) aber positivem $\varepsilon$ eine Indexschranke $m\,$ ab der gilt

$\alpha-\varepsilon<\frac{a_{k+1}}{a_k}<\beta+\varepsilon \qquad \forall k\ge m$

Multipliziert man die Ungleichung durch von $k=m\,$ bis $n-1\,$ so erhält man in der Mitte ein Teleskopprodukt.

$(\alpha-\varepsilon)^{n-m}<\frac{a_n}{a_m}<(\beta+\varepsilon)^{n-m}$

Multipliziert man anschließend mit $a_m\,$ durch und zieht die $n\,$-te Wurzel so ist

$\sqrt[n]{a_m}\,(\alpha-\varepsilon)^{1-\frac{m}{n}}<\sqrt[n]{a_n}<\sqrt[n]{a_m}\,(\beta+\varepsilon)^{1-\frac{m}{n}}$

Für $n\to\infty$ konvergiert die linke Seite gegen $\alpha-\varepsilon$ und die rechte Seite gegen $\beta+\varepsilon$. Daher ist

$\alpha-\varepsilon\le \liminf \sqrt[n]{a_n}$     und     $\limsup \sqrt[n]{a_n}\le \beta+\varepsilon$

Da $\varepsilon\,$ beliebig klein gewählt werden kann, folgt daher

$\alpha\le \alpha'$     und     $\beta'\le \beta$

Sind beispielsweise die Reihenglieder $a_{2n}=\frac1{2^{2n}}$ und $a_{2n+1}=\frac4{2^{2n+1}}$ dann ist $\frac{a_{2n+1}}{a_{2n}}=2$ und $\frac{a_{(2n+1)+1}}{a_{2n+1}}=\frac18$.

Hier ist $\alpha=\frac18\le 1$ und $\beta=2\ge 1$ wonach das Quotientenkriterium keine Entscheidung liefert.

Das Wurzelkriterium liefert hier aber eine Entscheidung weil $\alpha'=\beta'=\lim \sqrt[n]{a_n}=\frac12$ ist.

Aus $\beta'=\frac12<1$ folgt die Konvergenz von $\sum a_n$. Das Wurzelkriterium ist also echt schärfer als das Quotientenkriterium.