Neuner- und Elferprobe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Neuner- und Elferprobe sind Verfahren, um Rechenfehler in Addition, Subtraktion oder Multiplikation zu erkennen. Der Vorteil dieser Proben liegt darin, dass sich die Richtigkeit des Ergebnisses einer langwierigen Rechnung anhand leichterer alternativer Rechenwege auf Glaubwürdigkeit prüfen lässt.

Umgangssprachlich wird der Begriff Neunerprobe auch allgemein für eine überschlägige Prüfung von Ergebnissen verwendet.

Vorgehensweise[Bearbeiten]

Um den Neunerrest einer Zahl zu ermitteln, berechnet man zuerst die Quersumme dieser Zahl, anschließend die Quersumme der Quersumme und so fort, bis letztendlich eine einstellige Zahl übrigbleibt. Der Neunerrest von 5919 ist beispielsweise 6 und berechnet sich wie folgt:

5 + 9 + 1 + 9 = 24 und 2 + 4 = 6.

Der Elferrest berechnet sich ähnlich, nur dass hier die alternierende Quersumme berechnet wird. Bei dieser werden die Ziffern, beginnend bei der letzten Ziffer, abwechselnd subtrahiert und addiert. Der Elferrest von 5919 ist beispielsweise 1 und berechnet sich wie folgt:

9 − 1 + 9 − 5 = 12 und 2 − 1 = 1.

Die Neunerprobe für eine Berechnung, z.B. 12 + 47 = 69, besteht darin, die entsprechende Berechnung mit den Neunerresten durchzuführen, also hier 3 + 2 = 6. Geht diese Probe nicht auf, wie in diesem Beispiel, so hat man einen Fehler aufgedeckt. Geht die Probe jedoch auf, so ist die Berechnung wahrscheinlich richtig – sicher ist dies natürlich nicht, denn schon ein einfacher Zahlendreher verfälscht das Ergebnis der Berechnung, aber nicht das Ergebnis der Neunerprobe. Bei einer erfolgreichen Neunerprobe weicht ein falsches Ergebnis immer genau um ein Vielfaches von 9 vom korrekten Ergebnis ab, deswegen kann man sagen, dass die Neunerprobe 8 von 9 Fehlern aufdeckt.

Eine höhere Sicherheit wird erzielt, indem zusätzlich die Elferprobe angewendet wird. Die Elferprobe deckt 10 von 11 Fehlern auf. Führt man beide Proben erfolgreich durch, ist das Ergebnis in 98 von 99 Fällen richtig.

Das Verfahren lässt sich gleichermaßen auf Additionen, Subtraktionen und Multiplikationen anwenden (nicht jedoch auf Divisionen und Potenzen).

Man kann eventuell auftretende negative Neunerreste (bzw. Elferreste) in positive Reste überführen, indem man 9 (bzw. 11) addiert. Beispielsweise ist der Elferrest von 492 gleich -3; durch Addition von 11 erhält man 8.

Rechenbeispiele[Bearbeiten]

Addition[Bearbeiten]

Rechnung Neunerprobe Elferprobe
 
573
+492
+145
1210
 
Rest Probe
6 6
6 +6
1 +1
4 134
4 = 4
Rest Probe
1 1
8 +8
2 +2
0 110
0 = 0

Subtraktion[Bearbeiten]

Rechnung Neunerprobe Elferprobe
 
573
−492
18
 
Rest Probe
6 6
6 −6
0 0
0 = 0
Rest Probe
1 1
8 -8
7 −74
7 ≠ 4

Bei diesem Beispiel liegt ein Zahlendreher vor. Die richtige Antwort wäre 81, fälschlicherweise wird im Beispiel 18 berechnet. Die Neunerprobe ist nicht in der Lage, Zahlendreher zu erkennen, da diese die Quersumme nicht verändern; die Elferprobe kann hingegen in vielen Fällen Zahlendreher erkennen.

Multiplikation[Bearbeiten]

Rechnung Neunerprobe Elferprobe
 
573
×492
281916
 
Rest Probe
6 6
6 ×6
9 369
9 = 9
Rest Probe
1 1
8 ×8
8 8
8 = 8

Herkunft[Bearbeiten]

Das Verfahren ist - wohl durch arabische Vermittlung - bereits seit dem 12. Jahrhundert in Europa bekannt.

Im al-Khwarizmis "Algorismus" (9. Jh.) wird die Neunerprobe, aber ohne Verwendung der Quersummen, zum ersten Mal für die Verdopplung und Multiplikation besprochen. Die Faktoren bzw. das Produkt werden durch 9 dividiert und der Rest wird aufgeschrieben. Die so ermittelten Reste entsprechen den Neunerresten der Faktoren bzw. des Produkts.

Einschränkung[Bearbeiten]

Mit der Neunerprobe kann man nicht, wie vielfach angenommen, die Richtigkeit, sondern nur die Fehlerhaftigkeit einer Rechnung nachweisen. Während das Misslingen der Neunerprobe klar ausschließt, dass man korrekt gerechnet hat, lässt ihr Gelingen die Korrektheit der Ergebnisses lediglich wahrscheinlicher werden: das Ergebnis könnte beispielsweise durch Vertauschen der Ziffern trotz erfolgreicher Neunerprobe falsch sein. Zur weiteren Prüfung kann die Elferprobe angeschlossen werden, deren zusätzliches Gelingen die Wahrscheinlichkeit der Korrektheit auf 98:99 erhöht.

Hinweis: Es sollte bedacht werden, dass in der Neunerprobe selbst natürlich Rechenfehler stecken können; besonders wenn man sie selten anwendet (im Computerzeitalter anzunehmen), kann man sich bereits beim Ermitteln der Neunerreste im Kopf leicht vertun.

Mathematischer Hintergrund und andere Basen[Bearbeiten]

Die besondere Bedeutung der Neuner- und Elferprobe im Dezimalsystem ergibt sich daraus, dass sich der Neunerrest einfach als Quersumme und der Elferrest als alternierende Quersumme berechnen lässt. In einem Stellenwertsystem zur Basis b lassen sich wegen

b^n\equiv 1 \mod (b-1) und
b^n\equiv (-1)^n \mod (b+1)

die Proben mit den Zahlen b-1 und b+1 besonders einfach durchführen. Beispielsweise ergibt im Hexadezimalsystem die Quersumme den 15er-Rest und die alternierende Quersumme den 17er-Rest. Die 15er und die 17er-Probe sehen dann beispielsweise für die Rechnung A1F+C02 folgendermaßen aus:

Rechnung 15er-Probe 17er-Probe
 
A1F
+C02
1621
 
Rest Probe
B B
E +E
A 25A
A = A
Rest Probe
7 7
E +E
4 214
4 = 4

Quellen[Bearbeiten]

  • Mohammed ibn Musa Alchwarizmi's Algorismus : Das frühste Lehrbuch zum Rechnen mit indischen Ziffern : Nach der einzigen (lateinischen) Handschrift (Cambridge Un. Lib. Ms. Ii.6.5.) in Faksimile mit Transkription und Kommentar - Hrsg. von Kurt Vogel - Otto Zeller: Aalen, 1963.