Arkustangens und Arkuskotangens

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Arkustangens)
Wechseln zu: Navigation, Suche
Graph der Funktion arctan(x)
Graph der Funktion arccot(x)

Arkustangens und Arkuskotangens sind zwei miteinander verwandte mathematische zyklometrische Funktionen.

Arkustangens (geschrieben \rm arctan, \rm atan oder \tan^{-1})[1] sowie Arkuskotangens (geschrieben \rm arccot, \rm acot und neuerdings auch \cot^{-1})[2] sind die Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Tangens- und Kotangensfunktionen: Eine Einschränkung der ursprünglichen Definitionsbereiche ist nötig, weil Tangens und Kotangens periodische Funktionen sind. Man wählt beim Tangens das Intervall \left]-\pi/2; \pi/2\right[ und beim Kotangens das Intervall ]0; \pi[.

Zusammen mit Arkussinus und Arkuskosinus als Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus bildet der Arkustangens den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der heute für Umkehrfunktionen gebräuchlichen allgemeinen Schreibweise f^{-1} beginnt dabei aber auch in diesem Fall die namentlich auf Taschenrechnern verbreitete Schreibweise \tan^{-1} die klassische Schreibweise \arctan zu verdrängen, was leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert des Tangens, dem Kotangens, führen kann.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Arkustangens Arkuskotangens
Definitionsbereich x\in\mathbb R x\in\mathbb R
Wertebereich -\tfrac{\pi}{2} < f(x) < \tfrac{\pi}{2} 0 < f(x) < \pi
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion:
\arctan(-x) = -\arctan x
Punktsymmetrie zu \left(x = 0, y = \tfrac{\pi}{2}\right)
\arccot x = \pi - \arccot(-x)
Asymptoten f(x) \to\pm \tfrac{\pi}{2} für x \to\pm\infty f(x) \to \pi für x \to -\infty
f(x) \to 0 für x \to + \infty
Nullstellen x = 0 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte (0;0) \left(0; \tfrac \pi 2 \right)

Einige spezielle Werte[Bearbeiten]

x 0 2-\sqrt3 \sqrt{1-\textstyle\frac25\sqrt5} \sqrt2-1 \frac{1}{\sqrt3} \sqrt{5-2\sqrt5} 1 \sqrt3 \infty
\arctan(x) 0 \frac{\pi}{12} \frac{\pi}{10} \frac{\pi}{8} \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{5} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2}

Wegen der Punktsymmetrie \arctan(-x)=-\arctan(x) ist mit (x,y) auch (-x,-y) ein Wertepaar der Arkustangensfunktion.

Näherungsweise Berechnung[Bearbeiten]

Es gelten folgende Näherungen:

Arkustangens, maximale Abweichung unter 0,005 Radianten:[3]

 \arctan x \approx \frac{x}{1 + 0{,}28x^2} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad |x| \le 1
 \arctan x \approx \frac{\pi}{2} - \frac{x}{x^2 + 0{,}28} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x > 1
 \arctan x \approx - \frac{\pi}{2} - \frac{x}{x^2 + 0{,}28} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad x < -1

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit bietet CORDIC.

Arkuskotangens:

 \arccot x \approx \frac{3x}{3x^2-1} \quad \mathrm{f\ddot ur} \quad |x| \gg 1

Reihenentwicklung[Bearbeiten]

Die Taylorreihe des Arkustangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:


\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{7} x^7 + \cdots

Die Taylorreihe des Arkuskotangens mit dem Entwicklungspunkt x=0 lautet:


\arccot x= \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}= \frac{\pi}{2}- x + \frac13 x^3 - \frac15 x^5 + \frac17 x^7- \cdots

Diese Reihen konvergieren genau dann, wenn |x| \le 1 und x\neq\pm i ist. Zur Berechnung des Arkustangens für |x| > 1 kann man ihn auf einen Arkustangens von Argumenten mit |x| < 1 zurückführen. Dazu kann man entweder die Funktionalgleichung benutzen oder (um ohne π auszukommen) die Gleichung


\arctan x = 2\arctan\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}

Durch mehrfache Anwendung dieser Formel lässt sich der Betrag des Arguments beliebig verkleinern, was eine sehr effiziente Berechnung durch die Reihe ermöglicht. Schon nach einmaliger Anwendung obiger Formel hat man ein Argument mit |x| < 1, so dass schon mal obige Taylorreihe konvergiert, und mit jeder weiteren Anwendung wird |x| mindestens halbiert, was die Konvergenzgeschwindigkeit der Taylorreihe mit jeder Anwendung der Formel erhöht.

Berechnung der Kreiszahl π mit Hilfe des Arkustangens[Bearbeiten]

Die Reihenentwicklung kann zur näherungsweisen Berechnung der Zahl π verwendet werden: Die einfachste Formel ist der Spezialfall x=1, die Leibniz-Formel

\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots.

Da sie nur sehr langsam konvergiert, verwendete John Machin 1706 die kompliziertere Formel

\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239},

um die ersten 100 Nachkommastellen von π mit Hilfe der Taylorreihe für den Arkustangens zu berechnen. Letztere konvergiert schneller und wird auch heute noch für die Berechnung von π verwendet.

Im Laufe der Zeit wurden noch mehr Ausdrücke dieser Art gefunden. Ein Beispiel stammt von F. C. W. Störmer (1896):

 \frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}.

Funktionalgleichung[Bearbeiten]

Die Arkustangenswerte über 1 oder unter −1 lassen sich aus den Werten zwischen −1 und 1 ableiten:

\arctan \frac{1}{x} = \sgn(x)\cdot\frac{\pi}{2} - \arctan x

Gleiches gilt für die Arkuskotangenswerte:

\arccot \frac{1}{x} = (2-\sgn(x)) \cdot \frac{\pi}{2} - \arccot x

Ableitungen[Bearbeiten]

Arkustangens:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}=\cos^2(\arctan(x))

Arkuskotangens:

\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccot(x) = - \frac{1}{1+x^2}

Stammfunktionen[Bearbeiten]

Arkustangens:

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

\frac1{ax^2+bx+c}.

Ist die Diskriminante D=b^2-4ac nichtnegativ, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

u=\frac{2ax+b}{\sqrt{-D}}

in die Form

\frac{4a}{-D}\,\frac1{1+u^2}

bringen; eine Stammfunktion ist also

\frac2{\sqrt{-D}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{-D}}.

Eine Stammfunktion des Arkustangens selbst ist

\int \arctan \frac{x}{a} \,\mathrm dx = x \, \arctan \frac{x}{a} - \frac{a}{2} \ln\left(a^2 + x^2\right).

Arkuskotangens:

F(x) = x \, \arccot x + \frac{1}{2}\, \ln \left( 1 + x^2 \right) + C
 \int \arccot \frac{x}{a} \, \mathrm dx= x \, \arccot \frac{x}{a} + \frac{a}{2} \, \ln(a^2 + x^2)

Komplexes Argument[Bearbeiten]


\arctan(a+b\,\mathrm{i}) = \left\{
\begin{array}{ll} \displaystyle
\frac12 \!\left(\arctan \frac{a^2+b^2-1}{2a} + \frac\pi2 \sgn(a) \right)
 & \; a\neq0 \\
0
 & \; a=0,\, |b|\leq1 \\ \displaystyle
\frac\pi2 \sgn(b)
 & \; a=0,\, |b|>1 \\
\end{array} \right\}

+ \mathrm{i} \cdot \frac12 \operatorname{artanh} \frac{2b}{a^2+b^2+1}
  mit  a,b \in \mathbb{R}
\arccot(a+b\,\mathrm{i}) = \frac\pi2 - \arctan(a+b\,\mathrm{i})

Anmerkungen[Bearbeiten]

Arkustangens:

Man kann den Arkustangens durch einen komplexen Logarithmus ausdrücken:

\arctan z=\frac{\ln(1+\mathrm iz)-\ln(1-\mathrm iz)}{2\mathrm i} = \frac{1}{2\mathrm i} \ln \frac{1+\mathrm iz}{1-\mathrm iz}

für z in der zweifach geschlitzten Ebene: z \in \mathbb C ^= := 
\mathbb C\backslash \{ iy \, | \, y \in \mathbb R, |y| \geq 1 \}

Arkuskotangens:

Ebenfalls ist es möglich, den Arkuskotangens durch einen komplexen Logarithmus auszudrücken:

\arccot z=\frac{\pi}{2}-\frac{\ln(1+\mathrm iz)-\ln(1-\mathrm iz)}{2\mathrm i}

Zwischen Arkustangens und Arkuskotangens besteht folgende Beziehung:

 \arccot z = \frac{\pi}{2} - \arctan z

Der „Arkustangens“ mit zwei Argumenten (atan2)[Bearbeiten]

Diese Funktion dient bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten P(x;y) in Polarkoordinaten P(r ; \varphi) der Ermittlung des Winkels \varphi. Da der einfache Arkustangens nicht die Möglichkeit bietet, den Winkel im korrekten Quadranten zu ermitteln, und außerdem die Tangensfunktion für einen Funktionswert von \pm \tfrac{\pi}{2} nicht umkehrbar ist, gibt es in vielen Programmiersprachen eine Funktion, die mit 2 Argumenten aufgerufen wird. Sie wird üblicherweise mit \operatorname{atan2}(y,x) bezeichnet.

Die Funktion \operatorname{atan2}(y,x) kann über die folgende Eigenschaft definiert werden: Sind x,y reelle Zahlen und r=\sqrt{x^2+y^2}, so gilt:

x = r\cdot\cos(\operatorname{atan2}(y,x))
y = r\cdot\sin(\operatorname{atan2}(y,x))

\Big(r,\operatorname{atan2}(y,x)\Big) sind hierbei die Polarkoordinaten des Punktes mit den kartesischen Koordinaten (x,y).

Definition[Bearbeiten]

Darstellung von atan2(y,x) für x≠0

Eine von mehreren in der Praxis vorkommenden Definitionen:

\operatorname{atan2}(y,x) := \begin{cases}
\arctan\frac{y}{x} & \mathrm{f\ddot ur}\ x > 0\\
\arctan\frac{y}{x} + \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y \geq 0\\
\arctan\frac{y}{x} - \pi & \mathrm{f\ddot ur}\ x < 0,\ y < 0\\
+\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y > 0\\
-\pi/2 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y < 0\\
0 & \mathrm{f\ddot ur}\ x = 0,\ y = 0
\end{cases}

Für x = y = 0 ist die Funktion manchmal nicht definiert. Auch Sonderfälle wie Not a Number und Inf werden unterschiedlich behandelt.

Wertebereich[Bearbeiten]

Bei der o. g. Definition:

-\pi < \operatorname{atan2}(y,x) \le \pi

Anmerkungen[Bearbeiten]

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Funktion \operatorname{atan2}(y,x) für (x,y) ≠ (0,0) über den Hauptwert des komplexen Logarithmus zu definieren:


\operatorname{atan2}(y,x) =\arg(x+\mathrm i\,y) =\frac{1}{\mathrm i}\ln\frac{x+\mathrm i\,y}{\sqrt{x^2+y^2}}

Diese Funktion wird zum Beispiel in der inversen Kinematik genutzt, um korrekte Gelenkeinstellungen berechnen zu können. Dies ist allerdings nur eine andere formale Darstellung derselben Möglichkeit, da man letztlich \ln z mit |z|=1 bestimmen muss und dazu die gegebene kartesische Darstellung von z in die Polarform überführt, also wieder effektiv auf die obige atan2-Funktion zurückgreift.

Arkustangens mit Lageparameter[Bearbeiten]

Arkustangens mit Lageparameter

In vielen Anwendungsfällen soll die Lösung y der Gleichung x=\tan y so nahe wie möglich bei einem gegebenen Wert \eta liegen. Dazu eignet sich die mit dem Parameter \eta modifizierte Arkustangens-Funktion

y=\arctan_\eta x:=\arctan x+\pi\cdot\operatorname{rni}\frac{\eta-\arctan x}{\pi}.

Die Funktion \operatorname{rni} rundet zur nächsten ganzen Zahl.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Weisstein, Eric W. "Inverse Tangent." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InverseTangent.html
  2. Weisstein, Eric W. "Inverse Cotangent." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InverseCotangent.html
  3. Weitere Approximationen (en)

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Arkustangens und Arkuskotangens – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien