Preisfunktional

Das Preisfunktional (englisch price functional) ist ein Begriff aus der Finanzmathematik. Das Preisfunktional weist einem erreichbaren Konsumprozess (englisch attainable consumption process) seine Initialkosten zu.

Definition

Wir betrachten einen (arbitrage-freien) multiperiodischen Finanzmarkt in stetiger Zeit $[0,T]$ mit $N$ endogenen Wertpapieren, wobei das Wertpapier $1$ eine lokal-risikolose Anleihe (Numéraire) ist. Wir verzichten auf eine detaillierte Beschreibung des Finanzmarktes und erwähnen nur die wichtigsten Elemente, die für das Verständnis der Definition relevant sind.

Wie üblich haben wir einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathbb {F} ,\{{\mathcal {F}}_{t}\},P)$ mit den üblichen Bedingungen.

Annahmen

Sei $S$ ein Preissystem und die Preisprozesses $S_{t}=(S_{1t},\dots ,S_{Nt})$ seien Semimartingale. Mit $D_{1},\dots ,D_{N}$ bezeichnen wir die Auszahlungen (englisch payoffs), so dass diese messbar bezüglich der terminalen σ-Algebra ${\mathcal {F}}_{T}$ sind und $S_{nT}=D_{n}$ für $1\leq n\leq N$.

$Q$ sei ein Equilibriums-Preis-Maß auf $\{\Omega ,\mathbb {F} \}$, das heißt $Q$ ist äquivalent zu $P$ und der diskontierte Preisprozess ${\tfrac {S_{nt}}{S_{1t}}}$ für $1\leq n\leq N$ ist ein $Q$-gleichgradig-integrierbares Martingal.

Mit $\Theta$ bezeichnen wir die Menge der Handelsstrategien. Die Elemente in $\theta \in \Theta$ sind so definiert, dass der diskontierte Wertprozess ${\tfrac {\theta _{t}'S_{t}}{S_{1t}}}$ ein $Q$-gleichgradig-integrierbares Martingal ist, das impliziert, dass keine Arbitrage-Strategie existiert.

$M(S)$ ist die Menge der erreichbaren Konsumprozessen zu den Preisen $S$.

Preisfunktional

Das Preisfunktional $\phi :M(S)\to \mathbb {R}$ ist für jeden erreichbaren Konsumprozess $C=\{C_{0},C_{T}\}\in M(S)$ durch

$\phi (C)=C_{0}+\theta '_{0}S_{0}$

für alle Handelsstrategien $\theta \in \Theta$ mit

$C_{T}=\theta _{T}'D$

definiert.

Existenz

Die Existenz des Preisfunktionals ist eine Folge davon, dass keine Arbitrage-Strategien in $\Theta$ existieren.