Quadrat

Quadrat mit Seitenlänge a und Diagonale d

In der Geometrie ist ein Quadrat (veraltet auch Geviert) ein spezielles Polygon, nämlich ein ebenes, konvexes und regelmäßiges Viereck. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Parallelogramms, des Trapezes, des Rechtecks und der Raute. Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe, z. B. der Länge der Seite oder der Diagonale.

Quadrate sind die Begrenzungsflächen eines der platonischen Körper (= dreidimensionale reguläre Polytope), nämlich des Würfels. Das Quadrat ist zudem ein Stein einer regulären Parkettierung. Als Spezialfall entsprechender allgemeiner n-dimensionaler Körper ist das Quadrat sowohl der zweidimensionale Hyperwürfel als auch das zweidimensionale Kreuzpolytop.

Eigenschaften

Quadrat mit Umkreis und Inkreis

Für das Quadrat gilt:

• Die vier Seiten sind gleich lang – es ist gleichseitig.
• Die vier (Innen-)Winkel sind gleich – es ist gleichwinklig (alle Winkel 90°).
• Es hat vier Symmetrieachsen: die beiden Seitensymmetralen (Mittelsenkrechten) und die beiden Diagonalen.
• Es ist 4-zählig drehsymmetrisch und daher auch punktsymmetrisch.
• Die beiden Diagonalen sind gleich lang, halbieren einander und stehen aufeinander senkrecht.
• Der Schnittpunkt der Diagonalen ist Umkreis- und Inkreis­mittelpunkt – das Quadrat ist sowohl Sehnen- als auch Tangentenviereck.
• Der Flächeninhalt des Umkreises ist doppelt so groß wie der des Inkreises.

Formelsammlung

Größen eines Quadrats mit der Seitenlänge a
Umfang	$u=\,4\cdot a$
Zentriwinkel	$\alpha ={\frac {360^{\circ }}{4}}=90^{\circ }$
Innenwinkel	$\delta =180^{\circ }-\alpha =90^{\circ }$
Inkreisradius	$r_{i}={\frac {1}{2}}a$
Umkreisradius	$r_{u}=a\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {d}{2}}$
Diagonalenlänge	$d=\,a\cdot {\sqrt {2}}=2r_{u}$
Flächeninhalt	$A=a^{2}={\frac {d^{2}}{2}}$

Konstruktion eines Quadrats

Ein Quadrat bei dem z. B. die Seitenlänge oder die Diagonale gegeben ist, ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Quadrat mit gegebener Seitenlänge, Animation
rechten Winkel mithilfe des Thaleskreises gefunden

Quadrat mit gegebener Diagonale, Animation

Verallgemeinerungen

Der Begriff Quadrat wird in der synthetischen Geometrie der affinen Ebene verallgemeinert, indem eine der äquivalenten Aussagen, die ein Quadrat in der elementaren Geometrie beschreiben, zur Definition des Begriffes verwendet wird. Zum Beispiel wird für präeuklidische Ebenen die Existenz dieser Figuren zu einem zusätzlichen Axiom.

Siehe auch: Präeuklidische Ebene

Weblinks

Wiktionary: Quadrat – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Quadrate – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wikibooks: Quadrat – Lern- und Lehrmaterialien

• Animierte Lernsequenz (Konstruktion, Umfang, Flächeninhalt)