Trapez (Geometrie)

In der Geometrie ist ein Trapez (von altgriech. τράπεζα trapeza „Tisch“) ein ebenes Viereck mit mindestens zwei parallel zueinander liegenden Seiten.

Diese Definition ist relativ jung. Bis zum Beginn des 20. Jahrhunderts bezeichnete man als Trapez ein Viereck, in welchem kein Seitenpaar parallel ist. So verwendete bereits Euklid den Begriff. Für das Trapez mit zwei parallelen Seiten war die Bezeichnung Paralleltrapez üblich. Im 19. Jahrhundert verwendeten viele Mathematiker den Begriff im modernen Sinn; das unregelmäßige Viereck bezeichneten sie als Trapezoid.

Allgemeines

Trapez mit den Ecken A, B, C, D,
den Seiten a, b, c, d,
und den Winkeln α, β, γ, δ.
Mit unterbrochenen Linien sind eingezeichnet:
die Höhe h sowie
die Diagonalen AC und BD des Trapezes und deren Schnittpunkt S

Die beiden parallelen Seiten werden Grundseiten des Trapezes genannt. Eine dieser Grundseiten (meistens die längere) wird oft als Basis des Trapezes bezeichnet, die beiden angrenzenden (im Allgemeinen nicht parallelen) Seiten als Schenkel. Im Trapez gibt es zwei Paare benachbarter Supplementwinkel (das heißt die Winkel ergänzen sich zu 180 Grad).

Die Höhe $h$ des Trapezes ist der Abstand zwischen den zwei parallelen Seiten.

Jedes (konvexe) Trapez besitzt zwei Diagonalen, die einander im gleichen Verhältnis schneiden. Die Diagonalen teilen das Trapez in vier Dreiecke, von denen zwei zueinander ähnlich und zwei flächengleich sind. Beweis: Sei ABCD ein konvexes Trapez und S der Schnittpunkt seiner Diagonalen (Siehe Zeichnung), dann sind die Dreiecke DCS und ABS einander ähnlich, weil sie gleiche Winkel haben (Scheitelwinkel und Wechselwinkel bei Parallelen). Aus der Ähnlichkeit dieser beiden Dreiecke folgt dann auch direkt, dass die Diagonalen sich im gleichen Verhältnis schneiden, das heißt $\tfrac{DS}{BS}=\tfrac{CS}{AS}$. Die Dreiecke ADS und BCS sind flächengleich, weil die Dreiecke ABC und ABD flächengleich sind (beide haben gleiche Grundlinie und gleiche Höhe). Von beiden Dreiecken braucht nur noch das gemeinsame Dreieck ABS abgezogen zu werden.

Ein Trapez ist entweder ein konvexes oder ein überschlagenes Viereck. Überschlagene Trapeze werden jedoch normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Trapezen gerechnet.

Formeln

Formeln zum Trapez
Flächeninhalt	$A = \frac{a+c}{2} \cdot h$
Umfang	$U = a + b + c + d\,$
Höhe	$h = b \cdot \sin\gamma = b \cdot \sin\beta = d \cdot \sin\delta = d \cdot \sin\alpha$ $= \frac{2}{c-a} \sqrt{s\,(s+a-c) (s-b) (s-d)}$ (für a < c), mit $s=\tfrac{1}{2}(b+c+d-a)$ $= \frac{2A}{(a + c)}$
Abstand des Schwerpunkts von der Seite c	$y_S = \frac{h\,(c+2\,a)}{3\,(a+c)}$
Diagonalenlänge	$e = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos \beta} = \sqrt{c^2 + d^2 - 2cd\cos \delta}$ $f = \sqrt{a^2 + d^2 - 2ad\cos\alpha} = \sqrt{b^2 + c^2 - 2bc\cos\gamma}$
Seitenlängen	$a,b,c,d\,$
Größen der Innenwinkel	$\alpha,\beta,\gamma,\delta\,$

Die Formel zur Berechnung der Höhe aus den Seitenlängen lässt sich aus der heronischen Formel für die Dreiecksfläche herleiten. Die Beziehungen für die Diagonalenlängen beruhen auf dem Kosinussatz.

Spezialfälle

Gleichschenklige und symmetrische Trapeze

Gleichschenkliges Trapez mit Umkreis

Ein Trapez heißt gleichschenklig, wenn die beiden Schenkel gleich lang sind. Somit ist ein gleichschenkliges Trapez entweder ein Parallelogramm, oder es ist ein symmetrisches Trapez, bei dem die zwei Innenwinkel an einer der parallelen Seiten gleich sind. Daraus folgt, dass auch die Innenwinkel an der anderen der parallelen Seiten gleich groß sind.

Die beiden Diagonalen sind im symmetrischen Trapez gleich lang.

Die Eckpunkte eines symmetrischen Trapezes liegen auf einem Kreis k, dem Umkreis des Trapezes. Das Trapez ist somit ein Sehnenviereck dieses Kreises. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seiten des Trapezes. Das Trapez wird von der Höhe h, die durch den Umkreismittelpunkt M geht, in zwei spiegelsymmetrische Teile zerlegt (daher der Name).

Überschlagenes Trapez

Überschlagenes Trapez

Beim überschlagenen Trapez sind nicht die gleichseitigen Enden der Grundseiten durch die übrigen Seiten verbunden, sondern die gegenüberliegenden. Die beiden übrigen Seiten überkreuzen sich also im Mittelpunkt M des Trapezes. Man kann sich ein überschlagenes Trapez vorstellen als das Viereck, das aus den Grundseiten und den Diagonalen eines konvexen Trapezes gebildet wird.

Der Flächeninhalt des überschlagenen Trapezes berechnet sich wie folgt:

$A = \frac{h}{2} \cdot \frac {a^2+c^2}{a+c}$

Wie bereits erwähnt werden überschlagene Trapeze jedoch normalerweise nicht zu den (normalen oder „echten“) Trapezen gerechnet.

Rechtwinkliges Trapez

Rechtwinkliges Trapez

Ein Trapez heißt rechtwinklig (oder auch orthogonal), wenn es mindestens einen rechten Innenwinkel besitzt. Damit besitzt ein rechtwinkliges Trapez immer mindestens zwei rechte Winkel, die nebeneinander liegen. Ein Rechteck ist somit immer auch ein rechtwinkliges Trapez.

Verschränktes Trapez

Verschränktes Trapez

Ein verschränktes Trapez ist ein rechtwinkliges und überschlagenes Trapez. Es besteht aus zwei rechtwinkligen Dreiecken, die sich an einer Ecke berühren. Solch ein verschränktes Trapez kann man sich aus einem rechtwinkligen Trapez entstanden vorstellen: Ausgehend von diesem wird eine der Grundseiten (z.B. c) so „verschoben“, dass D rechts statt links von C liegt.

Verschränkte Trapeze werden in der Geodäsie zur Berechnung von Flächeninhalten nach dem Orthogonalverfahren verwendet. Die Differenz der Flächen der beiden Dreiecke ergibt sich zu

$A_\Delta = A_{D_1} - A_{D_2} = h\frac{a - c}2$

mit $h = \overline{BC}$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Trapezoid. In: MathWorld. (englisch)