Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren zum Umformen von Termen, in denen eine Variable quadratisch vorkommt, so dass ein quadriertes Binom entsteht. Es kann zum Beispiel zur Lösung von quadratischen Gleichungen oder zur Bestimmung der Scheitelform (und damit auch des Scheitelpunkts, also des Extremwerts) von quadratischen Funktionen verwendet werden.

In der analytischen Geometrie gehört dieses Verfahren zu den Methoden, mit denen eine projektive Quadrik auf eine Normalform gebracht werden kann, dabei werden quadratische Terme in mehreren Variablen (quadratische Formen) umgeformt.

Beispiele

Allgemeines Verfahren zur Bestimmung einer Scheitelform

Gegebene quadratische Funktion:	$y=ax^2+bx+c\,$
Ausklammern des Leitkoeffizienten:	$y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$
Quadratische Ergänzung:	$y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right)+c$
Bildung des Quadrats:	$y=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right]+c$
Ausmultiplizieren:	$y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{ab^2}{4a^2}+c$
Scheitelform der Funktion:	$y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)$
Ablesen des Scheitelpunkts:	$S\left(-\frac{b}{2a}\right|\left.c-\frac{b^2}{4a}\right)$

Ergänzung: Mit $x_S=-b/(2a)$ ist also $x_S$ die $x$-Koordinate des Scheitelpunkts. Für die zugehörige $y$-Koordinate $y_S$ gilt dann $y_S=c-a \cdot (x_S)^2$.

Beispiel

Gegebene quadratische Funktion:	$y=2x^2-12x+13\,$
Ausklammern des Leitkoeffizienten:	$y=2(x^2-6x)+13\,$
Quadratische Ergänzung:	$y=2(x^2-6x+9-9)+13\,$ eingefügt wurde eine "nahrhafte Null" und es gilt $9=\left(\frac{6}{2}\right)^2$
Bildung des Quadrats:	$y=2[(x-3)^2-9]+13\,$
Ausmultiplizieren:	$y=2(x-3)^2-18+13\,$
Scheitelform der Funktion:	$y=2(x-3)^2-5\,$
Ablesen des Scheitelpunkts:	$S(3|-5)\,$

Lösung einer quadratischen Gleichung

(Es sind die allgemeinen Regeln zum Lösen von Gleichungen zu beachten.)

Gegebene quadratische Gleichung:	$2x^2-12x=32\,$
Normierung:	$x^2-6x=16\,$
Quadratische Ergänzung:	$x^2-6x+9=16+9\,$
Bildung des Quadrats:	$(x-3)^2=25\,$
Wurzelziehen:	$x-3= \pm 5\,$
Auflösen der Betragsfunktion:	$x-3=-5\,$ oder $x-3=5\,$
Lösungsmenge:	$\mathbb{L}=\{-2;8 \}$

Bestimmung einer Stammfunktion

Das unbestimmte Integral

$\int\frac{1}{4x^2-8x+13}\,\mathrm{d}x$

soll berechnet werden. Die quadratische Ergänzung im Nenner liefert

$4x^2-8x+13 = \dots = 4(x-1)^2+9\,.$

Für das Integral bedeutet dies:

$\begin{align}\int\frac{1}{4x^2-8x+13}\,\mathrm{d}x & = \frac{1}{4}\int\frac{1}{(x-1)^2+(\frac{3}{2})^2}\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}\arctan\frac{2(x-1)}{3}+ C \end{align}$

Beim letzten Umformungsschritt oben wurde das folgende bekannte Integral eingesetzt, welches man einer Tabelle von Stammfunktionen entnehmen kann:

$\int\frac{1}{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C$

Alternativen

• Die Scheitelform einer quadratischen Funktion kann auch mit Hilfe der Differentialrechnung (durch Bestimmung der Nullstelle der ersten Ableitung) gewonnen werden.

• Zum Lösen von quadratischen Gleichungen gibt es bereits fertige Lösungsformeln, in die man nur noch einsetzen muss. Die Herleitung dieser Formeln geschieht aber doch wieder unter Verwendung der quadratischen Ergänzung.

Weblinks

• Darstellung von MathWorld (englisch)
• Darstellung von Mathe-Online.at (deutsch)
• Darstellung von PlanetMath (englisch)