Quadrik

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Eine Quadrik ist, in Abhängigkeit von der Anzahl der Variablen, eine Kurve, Fläche oder Hyperfläche zweiter Ordnung. Ihre Gleichung entsteht durch Nullsetzen einer quadratischen Funktion.

Inhaltsverzeichnis

1 Definitionen
2 Beispiele
- 2.1 Kurven zweiter Ordnung
- 2.2 Flächen zweiter Ordnung
3 Weblinks

[Bearbeiten] Definitionen

[Bearbeiten] Definition (Quadrik)

Für symmetrische Matrizen $A$ heißt die Funktion

$q: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R},\ x \mapsto q(x) = x^t \cdot A \cdot x + 2 \cdot L \cdot x + c$

eine quadratische Funktion. Dabei ist $A$ eine beliebige symmetrische $n \times n$ Matrix und $L$ ein Vektor aus $\mathbb{R}^n$ , sowie $c$ eine reelle Konstante. Eine Quadrik ist die Menge der Punkte (mit dem Ortsvektor $x$ ), deren Koordinaten einer Gleichung genügen, die durch Nullsetzen einer quadratischen Funktion entsteht.

Bemerkung: Ist $A$ zusätzlich eine Diagonalmatrix und $L = 0$ , dann heißt $q(\mathbf{x})$ rein quadratisch.

Die Gleichung jeder allgemeinen Quadrik im obigen Sinn lässt sich durch Translationen und eine Hauptachsentransformation auf rein quadratische Form bringen. Anhand dieser allgemeinen Gleichung kann die Quadrik charakterisiert werden, d.h. bestimmt werden, welche geometrische Figur (nämlich Ellipsoid, Paraboloid, Geradenpaar, ...) sie darstellt.

[Bearbeiten] Erläuterung

$\begin{align} q(x) &= x^t A x + 2Lx + c = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} l_1 \\ \vdots \\ l_n \end{pmatrix}^t \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} + c \\ &= \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j + 2\cdot\sum_{i=1}^n l_i x_i + c \end{align}$

[Bearbeiten] Definition (Definitheit)

Sei $x \in \mathbb{R}^n$ und $q(\mathbf{x})$ eine quadratische Funktion, dann heißt $q(\mathbf{x})$ :

positiv definit bzw. negativ definit, falls ∀x ≠ 0 : q(x) > 0 bzw. ∀x ≠ 0 : q(x) < 0

positiv semidefinit bzw. negativ semidefinit, falls ∀x ≠ 0 : q(x) ≥ 0 bzw. ∀x ≠ 0 : q(x) ≤ 0

indefinit, falls ∃x : q(x) > 0 und ∃x : q(x) < 0

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Kurven zweiter Ordnung

Allgemein für R²→R: $q(x) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 +a_{22}x_2^2$ .

Die geometrische Figur einer Kurve zweiter Ordnung wird als Kegelschnitt bezeichnet.

Beispiel 1.1

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow q(x) = x_1^2 + 4 x_1 x_2 + x_2^2$

Definitheit: Für x = (1,1) : q(x) > 0 und für x = (1,-1) : q(x) < 0 $\Rightarrow$ q(x) ist indefinit

Beispiel 1.2

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow q(x) = x_1^2 + 2 x_2^2$

Definitheit: ∀x ≠ 0 : q(x) > 0 ⇒ q(x) ist positiv definit

Als Kurven zweiter Ordnung (Kegelschnitte) können auftreten: Ellipse, Parabel, Hyperbel und Geradenpaar.

[Bearbeiten] Flächen zweiter Ordnung

Allgemein für R³→R: $q(x) = a_{11}x_1^2 + 2a_{12}x_1x_2 + a_{22}x_2^2 + 2a_{13}x_1x_3 + 2a_{23}x_2x_3 + a_{33}x_3^2.$

Als geometrische Figur kann auftreten: Hyperboloid (einschalig und zweischalig), Ellipsoid, Doppelkegel, Paraboloid (elliptisch und hyperbolisch), Zylinder (elliptisch, parabolisch und hyperbolisch), Ebenenpaar (eventuell konjugiert komplex mit reeller Schnittgerade), Doppelebene.

Beispiel 2.1

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \Rightarrow q(x) = x_1^2 + x_2^2 + 4 x_1 x_3 + 4 x_2 x_3 + \frac{1}{2} x_3^2$