Quadrik

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Quadriken im dreidimensionalen Raum: ein- und zweischaliges Hyperboloid, Ellipsoid, hyperbolisches Paraboloid, Zylinder, elliptisches Paraboloid und Kegel (von links nach rechts)

Eine Quadrik (von lateinisch quadra Quadrat) ist in der Mathematik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mehrerer Unbekannter. In zwei Dimensionen bildet eine Quadrik im Regelfall eine Kurve in der Ebene, wobei es sich dann um einen Kegelschnitt handelt. In drei Dimensionen beschreibt eine Quadrik im Regelfall eine Fläche im Raum, die auch Fläche zweiter Ordnung oder quadratische Fläche genannt wird. Allgemein handelt es sich bei einer Quadrik um eine algebraische Varietät, also um eine spezielle Hyperfläche, in einem endlichdimensionalen reellen Koordinatenraum. Durch eine Hauptachsentransformation lässt sich jede Quadrik auf eine von drei möglichen Normalformen transformieren. Auf diese Weise können Quadriken in verschiedene grundlegende Typen klassifiziert werden.

Quadriken werden insbesondere in der analytischen und der projektiven Geometrie untersucht. Anwendungen für Quadriken in Technik und Naturwissenschaften finden sich unter anderem in der der Geodäsie (Referenzellipsoid), der Architektur (Tragwerkskonstruktion) oder der Optik (Parabolspiegel).

Definition[Bearbeiten]

Eine Quadrik ist eine Punktmenge im n-dimensionalen reellen Koordinatenraum \R^n der Form

Q = \left\{ (x_1, \ldots , x_n) \in \R^n \mid q(x_1, \ldots , x_n) = 0 \right\},

wobei

q(x_1, \ldots , x_n) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j + 2\,\sum_{i=1}^n b_i x_i + c

ein quadratisches Polynom in den Variablen x_1, \ldots , x_n ist. Mindestens einer der Polynomkoeffizienten a_{11}, \dots, a_{nn} muss dabei ungleich null sein. Zudem kann ohne Einschränkung vorausgesetzt werden, dass a_{ij} = a_{ji} für alle i,j \in \{1,\dotsc,n\} gilt. Eine Quadrik ist damit die Nullstellenmenge eines quadratischen Polynoms mehrerer Variablen beziehungsweise die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit mehreren Unbekannten.

Beispiele[Bearbeiten]

Zum Beispiel beschreibt die Menge der Punkte

Q = \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid 2x^2 + 3 y^2 = 5 \right\}

eine Ellipse in der Ebene. Die Menge der Punkte

Q = \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x^2 + y^2 - z^2 = 1 \right\}

beschreibt ein einschaliges Hyperboloid im dreidimensionalen Raum.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Matrixdarstellung[Bearbeiten]

In kompakter Matrixnotation kann eine Quadrik als eine Menge von Vektoren

Q = \left\{ x \in \R^n \mid x^T A x + 2 b^T x + c = 0 \right\}

beschrieben werden, wobei A = (a_{ij}) \in \R^{n \times n} eine symmetrische Matrix und b = (b_i) \in \R^n sowie x = (x_i) \in \R^n Spaltenvektoren entsprechender Länge sind. Mit Hilfe der erweiterten Darstellungsmatrix

\bar{A} = \begin{pmatrix}A & b \\ b^T & c\end{pmatrix}

und dem entsprechend erweiterten Vektor \bar{x} = ( x ~ 1 )^T kann eine Quadrik auch kompakt durch die Menge

Q = \left\{ x \in \R^n \mid \bar{x}^T \bar{A} \, \bar{x} = 0 \right\}

in homogenen Koordinaten dargestellt werden.

Typen[Bearbeiten]

Bei Quadriken werden drei grundlegende Typen unterschieden. Die Entscheidung, um welchen Typ es sich bei einer gegebenen Quadrik handelt, kann anhand der Ränge der Matrizen A, (A \mid b) und \bar{A} getroffen werden:[1]

  • Kegeliger Typ: \operatorname{rang}(\bar{A}) = \operatorname{rang}(A \mid b) = \operatorname{rang}(A)
  • Mittelpunktsquadrik: \operatorname{rang}(\bar{A}) > \operatorname{rang}(A \mid b) = \operatorname{rang}(A)
  • Parabolischer Typ: \operatorname{rang}(A \mid b) > \operatorname{rang}(A)

Eine Quadrik heißt dabei ausgeartet, falls

\det \bar{A} = 0

gilt. Während nichtausgeartete Quadriken in allen Richtungen gekrümmte Hyperflächen bilden, weisen ausgeartete Quadriken in manchen Richtungen geradlinige Strukturen auf oder sind anderweitig degeneriert.

Transformationen[Bearbeiten]

Quadriken lassen sich durch Ähnlichkeitsabbildungen transformieren, ohne dass sich ihr Typ dadurch verändert. Ist S \in \R^{n \times n} eine reguläre Matrix, dann erhält man durch die lineare Transformation y = S^{-1}x eine neue Quadrik in den Koordinaten y_1, \ldots , y_n, die der Gleichung

\begin{pmatrix} y^T \!\! & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} S^T & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & b \\ b^T & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} S & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y^T \!\! & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} S^TAS & S^Tb \\ b^TS & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ 1 \end{pmatrix} = 0

genügt. Ebenso erhält man durch eine Parallelverschiebung y = x - u um einen Vektor u \in \R^n eine neue Quadrik, die die Gleichung

\begin{pmatrix} y^T \!\! & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & 0 \\ u^T & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & b \\ b^T & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & u \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y^T \!\! & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & Au+b \\ u^TA+b^T & u^TAu+2b^Tu+c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ 1 \end{pmatrix} = 0

mit der Einheitsmatrix I \in \R^{n \times n} erfüllt. Insbesondere ändert sich der Rang der Matrizen A, (A \mid b) und \bar A durch solche Affinitäten nicht.

Normalformen[Bearbeiten]

Durch eine Hauptachsentransformation lässt sich jede Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren. Hierzu wird zunächst eine orthogonale Matrix S, beispielsweise eine Dreh- oder Spiegelungsmatrix, derart gewählt, dass S^TAS eine Diagonalmatrix ergibt, die die Eigenwerte von A in absteigender Reihenfolge enthält. Im zweiten Schritt wird die transformierte Quadrik derart um einen Vektor u verschoben, dass auch die linearen Terme und der konstante Term weitestgehend verschwinden. Schließlich wird die Quadrik noch so normiert, dass der konstante Term, sofern er nicht null ist, zu eins wird. Dadurch ergeben sich die folgenden drei Normalformen:[1]

  • Kegeliger Typ: \frac{x_1^2}{\alpha_1^2} + \dotsb + \frac{x_p^2}{\alpha_p^2} - \frac{x_{p+1}^2}{\alpha_{p+1}^2} - \dotsb - \frac{x_r^2}{\alpha_r^2} = 0   mit   1 \leq p \leq r \leq n, p \geq r-p
  • Mittelpunktsquadrik: \frac{x_1^2}{\alpha_1^2} + \dotsb + \frac{x_p^2}{\alpha_p^2} - \frac{x_{p+1}^2}{\alpha_{p+1}^2} - \dotsb - \frac{x_r^2}{\alpha_r^2} = 1   mit   1 \leq p \leq r \leq n
  • Parabolischer Typ: \frac{x_1^2}{\alpha_1^2} + \dotsb + \frac{x_p^2}{\alpha_p^2} - \frac{x_{p+1}^2}{\alpha_{p+1}^2} - \dotsb - \frac{x_r^2}{\alpha_r^2} -2x_{r+1} = 0   mit   1 \leq p \leq r < n, p \geq r-p

Hinzu kommt als Spezialfall die

  • Leere Menge: -\frac{x_1^2}{\alpha_1^2} - \dotsb - \frac{x_r^2}{\alpha_r^2} = 1   mit   1 \leq r \leq n

In allen Fällen sind die Koeffizienten \alpha_1, \dotsc, \alpha_r > 0. Die Kennzahlen p und r = \operatorname{rang}(A) ergeben sich dabei aus der Signatur der Matrix A.

Klassifikation[Bearbeiten]

Quadriken in einer Dimension[Bearbeiten]

In einer Dimension ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung in einer Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

Q = \left\{ x \in \R \mid a x^2 + bx + c = 0 \right\}.

Durch Verschiebung (quadratische Ergänzung) und Normierung lassen sich die folgenden zwei Fälle unterscheiden:

Nicht ausgeartete Quadriken Ausgeartete Quadriken
Zwei Lösungen {x^2 \over \alpha^2} = 1 Solution quadratic equation qtl1.png Eine Lösung {x^2 \over \alpha^2} = 0 Solution quadratic equation qtl2.png

In dem verbleibenden Fall -\tfrac{x^2}{\alpha^2} = 1 ergibt sich als Lösungsmenge die leere Menge. In allen Fällen ist \alpha >0.

Quadriken in der Ebene[Bearbeiten]

In der Ebene ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit zwei Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

Q = \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid a x^2 + bx y + c y^2 + dx + e y + f = 0 \right\}.

Hierbei handelt es sich bis auf degenerierte Fälle um Kegelschnitte, wobei ausgeartete Kegelschnitte, bei denen die Kegelspitze in der Schnittebene enthalten ist, von nicht ausgearteten Kegelschnitten unterschieden werden. Durch Hauptachsentransformation lässt sich die allgemeine Gleichung einer Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren:

Nicht ausgeartete Quadriken Ausgeartete Quadriken
Ellipse {x^2 \over \alpha^2} + {y^2 \over \beta^2} = 1 Kegs-n-ausg-e.png Zwei schneidende Geraden {x^2 \over \alpha^2} - {y^2 \over \beta^2} = 0 Kegs-ausg-sg.png
Hyperbel {x^2 \over \alpha^2} - {y^2 \over \beta^2} = 1 Kegs-n-ausg-h.png Zwei parallele Geraden {x^2 \over \alpha^2} = 1 Kegs-ausg-pg.png
Parabel {x^2 \over \alpha^2} - 2y = 0 Kegs-n-ausg-p.png Eine Gerade {x^2 \over \alpha^2} = 0 Kegs-ausg-1g.png
Ein Punkt \frac{x^2}{\alpha^2} + \frac{y^2}{\beta^2} = 0 Kegs-ausg-pu.png

In den beiden verbleibenden Fällen -\tfrac{x^2}{\alpha^2} - \tfrac{y^2}{\beta^2} = 1 und -\tfrac{x^2}{\alpha^2} = 1 ergibt sich als Lösungsmenge jeweils die leere Menge. In allen Fällen sind \alpha, \beta >0.

Quadriken im Raum[Bearbeiten]

In dreidimensionalen Raum ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit drei Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

Q = \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid a x^2 + b xy + cxz  + d y^2 + e yz + f z^2 + g x + h y + i z + j = 0 \right\}.

Im Raum ist die Vielfalt der Quadriken deutlich größer als in der Ebene. Hier gibt es ebenfalls ausgeartete und nicht ausgeartetete Quadriken. Unter den ausgearteten Quadriken finden sich dabei auch einfach gekrümmte Flächen, wie Zylinder und Kegel. Ähnlich wie im zwei Dimensionen lässt sich die allgemeine Gleichung einer Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren:[2]

Nicht ausgeartete Quadriken Ausgeartete Quadriken (gekrümmte Flächen) Ausgeartete Quadriken (Ebenen u.a.)
Ellipsoid {x^2 \over \alpha^2} + {y^2 \over \beta^2} + {z^2 \over \gamma^2} = 1 Ellipsoid Quadric.png Elliptischer Kegel {x^2 \over \alpha^2} + {y^2 \over \beta^2} - {z^2 \over \gamma^2} = 0 Elliptical Cone Quadric.Png Zwei schneidende Ebenen \frac{x^2}{\alpha^2}-\frac{y^2}{\beta^2}=0 Quadrik-ausg-se.png
Einschaliges Hyperboloid {x^2 \over \alpha^2} + {y^2 \over \beta^2} - {z^2 \over \gamma^2} = 1 Hyperboloid Of One Sheet Quadric.png Elliptischer Zylinder {x^2 \over \alpha^2} + {y^2 \over \beta^2} = 1 Elliptic Cylinder Quadric.png Zwei parallele Ebenen \frac{x^2}{\alpha^2}=1 Quadrik-ausg-pe.png
Zweischaliges Hyperboloid {x^2 \over \alpha^2} - {y^2 \over \beta^2} - {z^2 \over \gamma^2} = 1 Hyperboloid Of Two Sheets Quadric.png Hyperbolischer Zylinder {x^2 \over \alpha^2} - {y^2 \over \beta^2} = 1 Hyperbolic Cylinder Quadric.png Eine Ebene {x^2 \over \alpha^2} = 0 Quadrik-ausg-1e.png
Elliptisches Paraboloid {x^2 \over \alpha^2} + {y^2 \over \beta^2} - 2z = 0 Paraboloid Quadric.Png Parabolischer Zylinder {x^2 \over \alpha^2} - 2y = 0 Parabolic Cylinder Quadric.png Eine Gerade \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=0 Quadrik-ausg-g.png
Hyperbolisches Paraboloid {x^2 \over \alpha^2} - {y^2 \over \beta^2} - 2z = 0 Hyperbolic Paraboloid Quadric.png Ein Punkt  \frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}+\frac{z^2}{\gamma^2} =0 Quadrik-ausg-pu.png

In den drei verbleibenden Fällen -\tfrac{x^2}{\alpha^2}-\tfrac{y^2}{\beta^2}-\tfrac{z^2}{\gamma^2}=1, -\tfrac{x^2}{\alpha^2}-\tfrac{y^2}{\beta^2}=1 und -\tfrac{x^2}{\alpha^2}=1 ergibt sich als Lösungsmenge wiederum jeweils die leere Menge. In allen Fällen sind \alpha, \beta, \gamma >0.

Für \alpha = \beta (bzw. \beta = \gamma im Fall des zweischaligen Hyperboloids) erhält man in folgenden Fällen Rotationsflächen, die auch als Drehquadriken bezeichnet werden: Rotationsellipsoid, ein- und zweischaliges Rotationshyperboloid, Rotationsparaboloid, Kreiskegel und Kreiszylinder. Regelflächen, also Flächen, die von einer einparametrigen Geradenschar erzeugt werden, sind Kegel, elliptischer und parabolischer Zylinder, Ebene, einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid. Die letzteren drei Flächen werden sogar von zwei Geradenscharen erzeugt und sind die einzig möglichen doppelt gekrümmten Regelflächen im Raum.

Projektive Quadriken[Bearbeiten]

Hauptartikel: Projektive Quadrik

Die Vielfalt der Quadriken verringert sich erheblich, wenn man sowohl den affinen Raum, in dem eine Quadrik definiert ist, als auch die Quadrik selbst projektiv abschließt. Die projektiven Erweiterungen von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln sind projektiv alle zueinander äquivalent, das heißt es gibt eine projektive Kollineation, die die eine Kurve auf die andere abbildet (siehe projektiver Kegelschnitt).

Im dreidimensionalen Raum sind folgende Quadriken äquivalent:

  • Ellipsoid, zweischaliges Hyperboloid und elliptisches Paraboloid,
  • einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid,
  • elliptischer, hyperbolischer, parabolischer Zylinder und Kegel.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Allgemeiner können Quadriken auch in Vektorräumen über einem beliebigen Körper, also auch über dem Körper der komplexen Zahlen oder auch über endlichen Körpern betrachtet werden.[3]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b  Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2011, ISBN 3-827-42347-3, S. 719.
  2.  Kurt Meyberg, Peter Vachenauer: Höhere Mathematik 1. 6. Auflage. Springer, 2003, ISBN 978-3-540-41850-4, S. 345.
  3. Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie. Akad. Verl., Leipzig 1965, S.155.

Literatur[Bearbeiten]

  • Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Teubner-Verlag, Leipzig 1983, ISBN 3871444928, S. 283
  • Burg, Haf, Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure. Band II,Teubner-Verlag, Stuttgart, ISBN 3-519-22956-0, S. 341
  • dtv-Atlas zur Mathematik. Deutscher Taschenbuch-Verlag, Band 1, ISBN 3-423-03007-0, S.200–203
  • Meyberg & Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-59188-5, S.343

Weblinks[Bearbeiten]