Rayleigh-Quotient

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Der Rayleigh-Quotient, auch Rayleigh-Koeffizient genannt, ist ein Objekt aus der linearen Algebra, das nach dem Physiker John William Strutt, 3. Baron Rayleigh benannt ist. Der Rayleigh-Quotient wird insbesondere zur numerischen Berechnung von Eigenwerten einer quadratischen Matrix A verwendet.

Definition[Bearbeiten]

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, f \colon V \to V ein Vektorraumendomorphismus mit Darstellungmatrix A und x \in V mit x\neq 0 ein Vektor, dann ist der Rayleigh-Quotient definiert durch[1]

R_A(x) = \frac{x^* A x}{x^*x}\,.

Hierbei bezeichnet x^* = \overline x^T das hermitesch Transponierte von x. Der Bildbereich des Rayleigh-Quotient ist genau der numerische Wertebereich von A.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Bei einer Multiplikation des Vektors x mit einem Skalar \alpha \neq 0 ändert sich der Rayleigh-Quotient nicht: R_A(\alpha x) = R_A(x), er ist also eine homogene Funktion vom Grad 0.

Der Rayleigh-Quotient hat eine enge Beziehung zu den Eigenwerten von A. Ist v ein Eigenvektor der Matrix A und \lambda der zugehörige Eigenwert, dann gilt:

R_A(v) = \frac{v^* A v}{v^*v} = \frac{v^* \lambda v}{v^*v} = \lambda\,.

Durch den Rayleigh-Quotient wird also jeder Eigenvektor von A auf den dazugehörigen Eigenwert \lambda abgebildet. Diese Eigenschaft wird unter anderem in der numerischen Berechnung von Eigenwerten benutzt. Insbesondere gilt für eine hermitesche Matrix A mit dem kleinsten Eigenwert \lambda_{\rm min} und dem größten Eigenwert \lambda_{\rm max}:

\lambda_{\rm min} \leq R_A(x) \leq \lambda_{\rm max}\,.

Die Berechnung des kleinsten bzw. größten Eigenwerts ist damit äquivalent zum Auffinden des Minimums bzw. Maximums des Rayleigh-Quotienten. Das lässt sich unter geeigneten Voraussetzungen auch noch auf den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinern und ist als Rayleigh-Ritz-Prinzip bekannt.

Die Eigenvektoren hermitescher A bilden die stationären Punkte des Rayleigh-Quotienten. Dies gilt nicht für asymmetrische Matrizen. Deswegen führte Ostrowski 1958/59 den sogenannten 2-seitigen Rayleigh-Quotienten

R_A(x,y) = \frac{y^* A x}{y^*x}

ein, wobei y^*x \neq 0, der wiederum stationär an den Rechts- und Linkseigenvektoren x und y ist. Da für normale Matrizen Rechts- und Linkseigenvektoren übereinstimmen, fällt der 2-seitige mit dem (einseitigen) Rayleigh-Quotienten in diesem Fall zusammen.

Verwendung in der Numerischen Mathematik[Bearbeiten]

Bei numerischen Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen, die, wie beispielsweise die Vektoriteration oder die inverse Iteration, primär Eigenvektornäherungen berechnen, lassen sich mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten zusätzlich auch Eigenwertnäherungen bestimmen. Bei der inversen Iteration wird ein Parameter \theta, der Shift, benötigt. Wird \theta in jedem Iterationsschritt als Rayleigh-Quotient der aktuellen Eigenvektornäherung gewählt, ergibt dies das sogenannte Rayleigh-Quotienten-Verfahren.[2]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka: Numerik-Algorithmen: Verfahren, Beispiele, Anwendungen. Gabler Wissenschaftsverlage, 2010, ISBN 9783642134722, S. 271 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Lloyd N. Trefethen, David Bau: Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997, ISBN 978-0-89871-361-9, S. 207–210 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).